2019高考数学（理）冲刺大题提分（讲义+练习）大题精做5 统计概率：二项式分步（理） 8页

统计概率：二项式分步 大题精做五 精选大题 ‎[2019·开封一模] 大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：‎ 分数 人数 ‎25‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎50‎ ‎25‎ 参加自主招生获得通过的概率 ‎（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？‎ 优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 ‎250‎ 没有学习大学先修课程 总计 ‎150‎ ‎（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两 ‎·8·‎ 年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．‎ ‎（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；‎ ‎（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．‎ 参考数据：‎ 参考公式：，其中．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）列联表如下：‎ 优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 ‎50‎ ‎200‎ ‎250‎ 没有学习大学先修课程 ‎100‎ ‎900‎ ‎1000‎ 总计 ‎150‎ ‎1100‎ ‎1250‎ 由列联表可得，‎ 因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．‎ ‎（2）（i）由题意得所求概率为．‎ ‎（ii）设获得高校自主招生通过的人数为，则，‎ ‎，，1，2，3，4，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎·8·‎ 估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为．‎ 模拟精做 ‎1．[2019·广东期末]某工厂共有员工5000人，现从中随机抽取100位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行统计，统计表格如下：‎ ‎（1）工厂规定：每月完成合格产品的件数超过3200件的员工，会被评为“生产能手”称号．由以上统计数据填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手”称号与性别有关？‎ ‎（2）为提高员工劳动的积极性，该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的（包括2600件），计件单价为1元；超出件的部分，累进计件单价为元；超出件的部分，累进计件单价为元；超出400件以上的部分，累进计件单价为元．将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）超过3100元的人数为，求的分布列和数学期望．‎ 附：，‎ ‎·8·‎ ‎2．[2019·六盘山期末]某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；‎ ‎（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）‎ ‎3．[2019·潍坊期末]某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：‎ 分组 频数 频率 ‎2‎ ‎18‎ ‎·8·‎ ‎10‎ ‎3‎ 合计 ‎100‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于或小于为不合格，钢管内径尺寸在或为合格，钢管内径尺寸在为优等．钢管的检测费用为元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布．‎ ‎（i）若从这批钢管中随机抽取根，求内径尺寸为优等钢管根数的分布列和数学期望；‎ ‎（ii）已知这批钢管共有根，若有两种销售方案：‎ 第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以元/根售出；‎ 第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失元，合格等级的钢管元/根，优等钢管元/根． ‎ 请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．‎ ‎·8·‎ 答案与解析 ‎1．【答案】（1）见解析；（2）见解析，‎ ‎【解析】（1）‎ 的观测值．∴有的把握认为“生产能手”称号与性别有关．‎ ‎（2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件．由统计数据可知：‎ 男员工实得计件工资超过3100元的概率为；女员工实得计件工资超过3100元的概率为．‎ 设2名女员工中实得计件工资超过3100元的人数为，则；‎ ‎1名男员工中实得计件工资超过3100元的人数为，则．‎ 的所有可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ 随机变量的分布列为 ‎·8·‎ ‎．‎ ‎2．【答案】（1）；（2）180人；（3）详见解析．‎ ‎【解析】（1），∴．‎ ‎（2）学生上学时间不少于1小时的频率为：，‎ ‎∴新生中可以申请住宿的人数为：人．‎ ‎（3）的可能取值为0，1，2，3，4，由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为，‎ ‎∴，，，‎ ‎，；‎ ‎∴的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 满足二项分布，．‎ ‎3．【答案】（1），；（2）（i）分布列见解析，期望为；‎ ‎（ii）当时，按第一种方案，时，第一、二种方案均可，时，按第二种方案．‎ ‎【解析】（1）由题意知：，∴，∴．‎ ‎（2）（i）由（1）知，钢管内径尺寸为优等的概率为，所有可能的取值为0，1，2，3，‎ ‎，，‎ ‎·8·‎ ‎，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴．‎ ‎（ii）按第一种方案：，‎ 按第二种方案：，‎ ‎，‎ 若时，，则按第一种方案，若时，，则第一、第二方案均可，‎ 若时，，则按第二种方案，‎ 故当时，按第一种方案，时，第一、二种方案均可，时，按第二种方案．‎ ‎·8·‎