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- 2021-06-15 发布
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第五章 第三节
一、选择题
1．若向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，且(a＋b)·b＝3
2
，则向量 a，b 的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案] C
[解析] |a|＝|b|＝1，且(a＋b)·b＝a·b＋b2＝cos＋1＝3
2
，∴cos＝1
2
，即得
＝π
3
，故应选 C．
2．已知平面向量 a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b 与 a 垂直，则λ＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
[答案] B
[解析] 由于(λa－b)·a＝λ|a|2－b·a＝10λ－10＝0，解得λ＝1，故选 B．
3．若 e1，e2 是夹角为π
3
的单位向量，且 a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则 a·b 等于( )
A．1 B．－4
C．－7
2 D．7
2
[答案] C
[解析] 依题意，e1·e2＝|e1||e2|cosπ
3
＝1
2
，
所以 a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6|e1|2＋2|e2|2＋e1·e2＝－6＋2＋1
2
＝－7
2.
4．(2015·长沙模拟)关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题：
(1)若 a·b＝a·c，则 a＝0 或 b＝c；
(2)若 a＝(1，k)，b＝(－2,6)且 a⊥b，则 k＝1
3
；
(3)非零向量 a，b 满足|a|＝|b|＝|a－b|，则 a 与 a＋b 的夹角为 30°.其中所有真命题的个
数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 若 a·b＝a·c，则 a·(b－c)＝0，可得 a＝0 或 b＝c 或 a⊥(b－c)，即命题(1)不正
确；
若 a＝(1，k)，b＝(－2,6)且 a⊥b，则 a·b＝－2＋6k＝0，得 k＝1
3
，即命题(2)正确；
非零向量 a，b 满足|a|＝|b|＝|a－b|，则可得出一个等边三角形，且 a 与 a＋b 的夹角为
30°，即命题(3)正确，综上可得真命题有 2 个，故应选 C．
5．(2014·新课标Ⅱ)设向量 a、b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
[答案] A
[解析] 本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．
∵|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，∴a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6.
联立方程解得 a·b＝1，故选 A．
6．(文)在△ABC 中，(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，则△ABC 的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[答案] C
[解析] 由(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2 得
(BC→＋BA→)·AC→－|AC→|2＝0，
即AC→·(BC→＋BA→－AC→)＝0，
即AC→·(2BA→)＝0，故有AC→⊥BA→.
(理)(2014·湖南十二校联考)设△ABC 的三个内角为 A，B，C，向量 m＝( 3sinA，sinB)，
n＝(cosB， 3cosA)，若 m·n＝1＋cos(A＋B)，则 C＝( )
A．π
6 B．π
3
C．2π
3 D．5π
6
[答案] C
[解析] m·n＝ 3sinAcosB＋ 3cosAsinB＝ 3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)
即 3sinC＝1－cosC，所以 sin(C＋π
6)＝1
2
，
又因为 C 为△ABC 的内角，所以 C＋π
6
＝5π
6
，即 C＝2π
3 .
二、填空题
7．设向量 a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
[答案] 2
[解析] 本题考查平面向量的垂直充要条件、数量积、模等．
a＋c＝(3,3m)，∵(a＋c)⊥b，
∴(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)＝0，
∴3(m＋1)＋3m＝0,6m＋3＝0，∴m＝－1
2
，
∴a＝(1，－1)，∴|a|＝ 2.
8．过点 A(－2,1)且与向量 a＝(3,1)平行的直线方程为__________．
[答案] x－3y＋5＝0
[解析] 设 P(x，y)是所求直线上任一点，
AP→＝(x＋2，y－1)，
∵AP→∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，
∴所求直线方程为 x－3y＋5＝0.
9．(文)(2014·江西高考)已知单位向量 e1，e2 的夹角为α，且 cosα＝1
3
，若向量 a＝3e1－
2e2，则|a|＝________.
[答案] 3
[解析] 本题主要考查向量的数量积及向量模的运算．
∵|a|2＝a2＝(3e1－2e2)2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2，
又∵|e1|＝|e2|＝1，e1e2 的夹角余弦值为1
3
∴上式＝9－12×1
3
＋4＝9
∴|a|＝3，解答本题关键是掌握向量的平方等于相应向量模的平方性质．
(理)(2014·江西高考)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为α，且 cosα＝1
3
，向量 a＝3e1－2e2 与
b＝3e1－e2 的夹角为β，则 cosβ＝________.
[答案] 2 2
3
[解析] 本题考查平面向量数量积的性质及运算．
依题意 e1·e2＝|e1||e2|cosα＝1
3
，∴|a|2＝9e21－12e1·e2＋4e22＝9，∴|a|＝3，
|b|2＝9e21－6e1·e2＋e22＝8，a·b＝9e21－9e1·e2＋2e22＝8，∴|b|＝2 2，
cosβ＝ a·b
|a|·|b|
＝ 8
3×2 2
＝2 2
3 .
三、解答题
10．已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)设 c＝4a＋b，求(b·c)a；
(2)若 a＋λb 与 a 垂直，求λ的值；
(3)求向量 a 在 b 方向上的射影．
[解析] (1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．
∴b·c＝2×6－2×6＝0，
∴(b·c)a＝0a＝0.
(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，
由于 a＋λb 与 a 垂直，
∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝5
2.
(3)设向量 a 与 b 的夹角为θ，
向量 a 在 b 方向上的射影为|a|cosθ.
∴|a|cosθ＝a·b
|b|
＝1×2＋2×－2
22＋－22
＝－ 2
2 2
＝－ 2
2 .
一、选择题
1．(文)已知两单位向量 a，b 的夹角为 60°，则两向量 p＝2a＋b 与 q＝－3a＋2b 的夹角
为( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
[答案] B
[分析] 本题求解中，要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法．
[解析] p·q＝(2a＋b)·(－3a＋2b)＝－6a2＋a·b＋2b2
＝－6a2＋|a|·|b|·cos60°＋2b2＝－7
2
，
|p|＝|2a＋b|＝ 2a＋b2＝ 4a2＋4a·b＋b2
＝ 4a2＋4|a||b|·cos60°＋b2＝ 7，
|q|＝|－3a＋2b|＝ －3a＋2b2＝ 9a2－12a·b＋4b2
＝ 9a2－12|a||b|·cos60°＋4b2＝ 7，
而 cos〈p，q〉＝ p·q
|p|·|q|
＝－1
2.即 p 与 q 的夹角为 120°.
(理)已知两点 A(1,0)为，B(1， 3)，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且∠AOC＝120°，
设OC→ ＝－2OA→ ＋λOB→ ，(λ∈R)，则λ等于( )
A．－1 B．2
C．1 D．－2
[答案] C
[解析] 由条件知，OA→ ＝(1,0)，OB→ ＝(1， 3)，OC→ ＝(λ－2， 3λ)，
∵∠AOC＝120°，
cos∠AOC＝ OA→ ·OC→
|OA→ |·|OC→ |
＝ λ－2
λ－22＋3λ2
，
∴ λ－2
λ－22＋3λ2
＝－1
2
，解之得λ＝1，故选 C．
2．设 a、b、c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线，
a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以 a、b 为两边的三角形的面积
B．以 a、b 为邻边的平行四边形的面积
C．以 b、c 为两边的三角形的面积
D．以 b、c 为邻边的平行四边形的面积
[答案] B
[解析] 由题意知 a⊥c，∴|cos|＝sin，又|a|＝|c|，
∴|b·c|＝|b|·|c|·|cos|＝|b|·|a|·sin，∴|b·c|表示以 a、b 为邻边的平行四边形的
面积．
二、填空题
3．若 OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA→ ＝(－3,1)，OB→ ＝(－2，k)，则实数 k＝________.
[答案] 4
[解析] 本题考查向量的数量积及坐标运算．
∵OA→ ＝(－3,1)，OB→ ＝(－2，k)，
∴AB→＝OB→ －OA→ ＝(1，k－1)．
由题意知OA→ ⊥AB→，∴OA→ ·AB→＝0，
即(－3,1)·(1，k－1)＝0.
∴－3＋k－1＝0，∴k＝4.
4．(文)已知 a＝(cosx，sinx)，b＝(cosx，－sinx)，则函数 y＝a·b 的最小正周期为________．
[答案] π
[解析] ∵y＝a·b＝cos2x－sin2x＝cos2x，∴T＝2π
2
＝π.
(理)在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.
[答案] －16
[解析] 本题考查向量的数量积运算．如图．
AB→·AC→＝(AM→ ＋MB→ )·(AM→ ＋MC→ )＝|AM→ |2－|MB→ |2＝32－52＝－16.
三、解答题
5．已知向量 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝ 2，求证：a⊥b；
(2)设 c＝(0,1)，若 a＋b＝c，求α，β的值．
[解析] (1)由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为 a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以 2－2a·b＝2，即 a·b＝0，故 a⊥B．
(2)因为 a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，
所以 cosα＋cosβ＝0，
sinα＋sinβ＝1，
由此得，cosα＝cos(π－β)，
由 0<β<π，得 0<π－β<π，
又 0<α<π，故α＝π－β.代入 sinα＋sinβ＝1 得，
sinα＝sinβ＝1
2
，而α>β，所以α＝5π
6
，β＝π
6.
6．已知点 A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)．
(1)若|AC→|＝|BC→|，求 tanθ的值；
(2)若(OA→ ＋2OB→ )·OC→ ＝1，其中 O 为坐标原点，求 sin2θ的值．
[解析] (1)∵A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)，
∴AC→＝(2sinθ－1，cosθ)，BC→＝(2sinθ，cosθ－1)．
∵|AC→|＝|BC→|，
∴ 2sinθ－12＋cos2θ＝ 2sinθ2＋cosθ－12.
化简得 2sinθ＝cosθ.
∵cosθ≠0(若 cosθ＝0，则 sinθ＝±1，上式不成立)．
∴tanθ＝1
2.
(2)∵OA→ ＝(1,0)，OB→ ＝(0,1)，OC→ ＝(2sinθ，cosθ)，
∴OA→ ＋2OB→ ＝(1,2)．
∵(OA→ ＋2OB→ )·OC→ ＝1，
∴2sinθ＋2cosθ＝1.∴sinθ＋cosθ＝1
2.
∴(sinθ＋cosθ)2＝1
4.∴sin2θ＝－3
4.
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