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  • 2021-06-15 发布

北师大版高三数学复习专题-平面向量基础达标-第5章第3节

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第五章 第三节 一、选择题 1.若向量 a,b 满足|a|=|b|=1,且(a+b)·b=3 2 ,则向量 a,b 的夹角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° [答案] C [解析] |a|=|b|=1,且(a+b)·b=a·b+b2=cos+1=3 2 ,∴cos=1 2 ,即得 =π 3 ,故应选 C. 2.已知平面向量 a=(1,-3),b=(4,-2),若λa-b 与 a 垂直,则λ=( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 [答案] B [解析] 由于(λa-b)·a=λ|a|2-b·a=10λ-10=0,解得λ=1,故选 B. 3.若 e1,e2 是夹角为π 3 的单位向量,且 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则 a·b 等于( ) A.1 B.-4 C.-7 2 D.7 2 [答案] C [解析] 依题意,e1·e2=|e1||e2|cosπ 3 =1 2 , 所以 a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e1|2+2|e2|2+e1·e2=-6+2+1 2 =-7 2. 4.(2015·长沙模拟)关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: (1)若 a·b=a·c,则 a=0 或 b=c; (2)若 a=(1,k),b=(-2,6)且 a⊥b,则 k=1 3 ; (3)非零向量 a,b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 30°.其中所有真命题的个 数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] C [解析] 若 a·b=a·c,则 a·(b-c)=0,可得 a=0 或 b=c 或 a⊥(b-c),即命题(1)不正 确; 若 a=(1,k),b=(-2,6)且 a⊥b,则 a·b=-2+6k=0,得 k=1 3 ,即命题(2)正确; 非零向量 a,b 满足|a|=|b|=|a-b|,则可得出一个等边三角形,且 a 与 a+b 的夹角为 30°,即命题(3)正确,综上可得真命题有 2 个,故应选 C. 5.(2014·新课标Ⅱ)设向量 a、b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 [答案] A [解析] 本题考查平面向量的模,平面向量的数量积. ∵|a+b|= 10,|a-b|= 6,∴a2+b2+2ab=10,a2+b2-2ab=6. 联立方程解得 a·b=1,故选 A. 6.(文)在△ABC 中,(BC→+BA→)·AC→=|AC→|2,则△ABC 的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 [答案] C [解析] 由(BC→+BA→)·AC→=|AC→|2 得 (BC→+BA→)·AC→-|AC→|2=0, 即AC→·(BC→+BA→-AC→)=0, 即AC→·(2BA→)=0,故有AC→⊥BA→. (理)(2014·湖南十二校联考)设△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 m=( 3sinA,sinB), n=(cosB, 3cosA),若 m·n=1+cos(A+B),则 C=( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 [答案] C [解析] m·n= 3sinAcosB+ 3cosAsinB= 3sin(A+B)=1+cos(A+B) 即 3sinC=1-cosC,所以 sin(C+π 6)=1 2 , 又因为 C 为△ABC 的内角,所以 C+π 6 =5π 6 ,即 C=2π 3 . 二、填空题 7.设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|=________. [答案] 2 [解析] 本题考查平面向量的垂直充要条件、数量积、模等. a+c=(3,3m),∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)·b=0,即(3,3m)·(m+1,1)=0, ∴3(m+1)+3m=0,6m+3=0,∴m=-1 2 , ∴a=(1,-1),∴|a|= 2. 8.过点 A(-2,1)且与向量 a=(3,1)平行的直线方程为__________. [答案] x-3y+5=0 [解析] 设 P(x,y)是所求直线上任一点, AP→=(x+2,y-1), ∵AP→∥a,∴(x+2)×1-3(y-1)=0, ∴所求直线方程为 x-3y+5=0. 9.(文)(2014·江西高考)已知单位向量 e1,e2 的夹角为α,且 cosα=1 3 ,若向量 a=3e1- 2e2,则|a|=________. [答案] 3 [解析] 本题主要考查向量的数量积及向量模的运算. ∵|a|2=a2=(3e1-2e2)2=9|e1|2-12e1·e2+4|e2|2, 又∵|e1|=|e2|=1,e1e2 的夹角余弦值为1 3 ∴上式=9-12×1 3 +4=9 ∴|a|=3,解答本题关键是掌握向量的平方等于相应向量模的平方性质. (理)(2014·江西高考)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为α,且 cosα=1 3 ,向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 的夹角为β,则 cosβ=________. [答案] 2 2 3 [解析] 本题考查平面向量数量积的性质及运算. 依题意 e1·e2=|e1||e2|cosα=1 3 ,∴|a|2=9e21-12e1·e2+4e22=9,∴|a|=3, |b|2=9e21-6e1·e2+e22=8,a·b=9e21-9e1·e2+2e22=8,∴|b|=2 2, cosβ= a·b |a|·|b| = 8 3×2 2 =2 2 3 . 三、解答题 10.已知向量 a=(1,2),b=(2,-2). (1)设 c=4a+b,求(b·c)a; (2)若 a+λb 与 a 垂直,求λ的值; (3)求向量 a 在 b 方向上的射影. [解析] (1)∵a=(1,2),b=(2,-2), ∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6). ∴b·c=2×6-2×6=0, ∴(b·c)a=0a=0. (2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ), 由于 a+λb 与 a 垂直, ∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=5 2. (3)设向量 a 与 b 的夹角为θ, 向量 a 在 b 方向上的射影为|a|cosθ. ∴|a|cosθ=a·b |b| =1×2+2×-2 22+-22 =- 2 2 2 =- 2 2 . 一、选择题 1.(文)已知两单位向量 a,b 的夹角为 60°,则两向量 p=2a+b 与 q=-3a+2b 的夹角 为( ) A.60° B.120° C.30° D.150° [答案] B [分析] 本题求解中,要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法. [解析] p·q=(2a+b)·(-3a+2b)=-6a2+a·b+2b2 =-6a2+|a|·|b|·cos60°+2b2=-7 2 , |p|=|2a+b|= 2a+b2= 4a2+4a·b+b2 = 4a2+4|a||b|·cos60°+b2= 7, |q|=|-3a+2b|= -3a+2b2= 9a2-12a·b+4b2 = 9a2-12|a||b|·cos60°+4b2= 7, 而 cos〈p,q〉= p·q |p|·|q| =-1 2.即 p 与 q 的夹角为 120°. (理)已知两点 A(1,0)为,B(1, 3),O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且∠AOC=120°, 设OC→ =-2OA→ +λOB→ ,(λ∈R),则λ等于( ) A.-1 B.2 C.1 D.-2 [答案] C [解析] 由条件知,OA→ =(1,0),OB→ =(1, 3),OC→ =(λ-2, 3λ), ∵∠AOC=120°, cos∠AOC= OA→ ·OC→ |OA→ |·|OC→ | = λ-2 λ-22+3λ2 , ∴ λ-2 λ-22+3λ2 =-1 2 ,解之得λ=1,故选 C. 2.设 a、b、c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共线, a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于( ) A.以 a、b 为两边的三角形的面积 B.以 a、b 为邻边的平行四边形的面积 C.以 b、c 为两边的三角形的面积 D.以 b、c 为邻边的平行四边形的面积 [答案] B [解析] 由题意知 a⊥c,∴|cos|=sin,又|a|=|c|, ∴|b·c|=|b|·|c|·|cos|=|b|·|a|·sin,∴|b·c|表示以 a、b 为邻边的平行四边形的 面积. 二、填空题 3.若 OA 为边,OB 为对角线的矩形中,OA→ =(-3,1),OB→ =(-2,k),则实数 k=________. [答案] 4 [解析] 本题考查向量的数量积及坐标运算. ∵OA→ =(-3,1),OB→ =(-2,k), ∴AB→=OB→ -OA→ =(1,k-1). 由题意知OA→ ⊥AB→,∴OA→ ·AB→=0, 即(-3,1)·(1,k-1)=0. ∴-3+k-1=0,∴k=4. 4.(文)已知 a=(cosx,sinx),b=(cosx,-sinx),则函数 y=a·b 的最小正周期为________. [答案] π [解析] ∵y=a·b=cos2x-sin2x=cos2x,∴T=2π 2 =π. (理)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB→·AC→=________. [答案] -16 [解析] 本题考查向量的数量积运算.如图. AB→·AC→=(AM→ +MB→ )·(AM→ +MC→ )=|AM→ |2-|MB→ |2=32-52=-16. 三、解答题 5.已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求α,β的值. [解析] (1)由题意得|a-b|2=2, 即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2. 又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1, 所以 2-2a·b=2,即 a·b=0,故 a⊥B. (2)因为 a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1), 所以 cosα+cosβ=0, sinα+sinβ=1, 由此得,cosα=cos(π-β), 由 0<β<π,得 0<π-β<π, 又 0<α<π,故α=π-β.代入 sinα+sinβ=1 得, sinα=sinβ=1 2 ,而α>β,所以α=5π 6 ,β=π 6. 6.已知点 A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ). (1)若|AC→|=|BC→|,求 tanθ的值; (2)若(OA→ +2OB→ )·OC→ =1,其中 O 为坐标原点,求 sin2θ的值. [解析] (1)∵A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ), ∴AC→=(2sinθ-1,cosθ),BC→=(2sinθ,cosθ-1). ∵|AC→|=|BC→|, ∴ 2sinθ-12+cos2θ= 2sinθ2+cosθ-12. 化简得 2sinθ=cosθ. ∵cosθ≠0(若 cosθ=0,则 sinθ=±1,上式不成立). ∴tanθ=1 2. (2)∵OA→ =(1,0),OB→ =(0,1),OC→ =(2sinθ,cosθ), ∴OA→ +2OB→ =(1,2). ∵(OA→ +2OB→ )·OC→ =1, ∴2sinθ+2cosθ=1.∴sinθ+cosθ=1 2. ∴(sinθ+cosθ)2=1 4.∴sin2θ=-3 4.