数学北师大版（2019）必修第二册：6-5-2 平面与平面垂直 学案与作业 15页

5.2 平面与平面垂直 (15 分钟 30 分) 1.如图所示,在△ABC 中,AD⊥BC,△ABD 的面积是△ACD 的面积的 2 倍, 沿 AD 将△ABC 翻折,使翻折后 BC⊥平面 ACD,此时二面角 B-AD-C 的大小 为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选 C.由已知得 BD=2CD,翻折后,在 Rt△BCD 中,∠BDC=60°,而 AD⊥BD, CD⊥AD,故∠BDC 是二面角 B-AD-C 的平面角,其大小为 60°. 2.如图所示,AB 是圆 O 的直径,C 是异于 A,B 两点的圆周上的任意一 点,PA 垂直于圆 O 所在的平面,则△PAB,△PAC,△ABC,△PBC 中,直角三 角形的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选 D.因为 AB 是☉O 的直径,所以∠ACB=90°,即 BC⊥AC. 所以△ABC 为直角三角形. 又 PA⊥圆 O 所在平面,AC,AB,BC 都在圆 O 所在平面内, 所以 PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC, 所以△PAC,△PAB 是直角三角形, 又 PA∩AC=A,所以 BC⊥平面 PAC. 因为 PC⊂平面 PAC,所以 BC⊥PC, 所以△PBC 是直角三角形, 从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC 均为直角三角形. 3.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=2 ,CC1= ,二面角 C1-BD-C 的大 小为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选 A.如图,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 C1O, 因为 C1D=C1B,O 为 BD 中点, 所以 C1O⊥BD,因为 AC⊥BD, 所以∠C1OC 是二面角 C1-BD-C 的平面角, 在 Rt△C1CO 中,C1C= , 可以计算 C1O=2 , 所以 sin∠C1OC= = ,所以∠C1OC=30°. 4.如图所示,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点.若 CD=2,平面 ABCD⊥平面 DCEF,则线段 MN 的长等于 ________. 【解析】取 CD 的中点 G,连接 MG,NG.因为四边形 ABCD,DCEF 为正方形, 且边长为 2, 所以 MG⊥CD,MG=2,NG= . 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF, 所以 MG⊥平面 DCEF,可得 MG⊥NG, 所以 MN= = . 答案: 5.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要 填写一个你认为是正确的条件即可) 【解析】由题意可知,BD⊥PC.所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时, 即有 PC⊥平面 MBD.而 PC⊂平面 PCD, 所以平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC(答案不唯一) 6.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PC⊥底面 ABC,AB⊥BC,D,E 分别是 AB,PB 的 中点. (1)求证:DE∥PA; (2)求证:DE∥平面 PAC; (3)求证:AB⊥PB. 【证明】(1)因为 D,E 分别是 AB,PB 的中点,所以 DE∥PA. (2)因为 PA⊂平面 PAC,DE∥PA,且 DE⊄平面 PAC,所以 DE∥平面 PAC. (3)因为 PC⊥平面 ABC,且 AB⊂平面 ABC, 所以 AB⊥PC. 又因为 AB⊥BC,且 PC∩BC=C. 所以 AB⊥平面 PBC. 又因为 PB⊂平面 PBC,所以 AB⊥PB. (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四 个命题: ①若α∥β,α∥γ,则β∥γ; ②若α⊥β,m∥α,则 m⊥β; ③若 m⊥α,m∥β,则α⊥β; ④若 m∥n,n⊂α,则 m∥α. 其中正确命题的序号是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【解析】选 A.对于①,若α∥β,α∥γ,根据面面平行的性质容易得到 β∥γ,故①正确; 对于②,若α⊥β,m∥α,m 与β的关系不确定,故②错误;对于③,若 m ⊥α,m∥β,可以在β找到一条直线 n 与 m 平行,所以 n⊥α,故α⊥β, 故③正确; 对于④,若 m∥n,n⊂α,那么 m 与α的位置关系为 m∥α或者 m⊂α,故 ④错误. 2.如图所示,三棱锥 P-ABC 的底面在平面α内,且 AC⊥PC,平面 PAC⊥平 面 PBC,点 P,A,B 是定点,则动点 C 的轨迹是( ) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 【解析】选 D.因为平面 PAC⊥平面 PBC,AC⊥PC,平面 PAC∩平面 PBC=PC,AC⊂ 平面 PAC, 所以 AC⊥平面 PBC. 又因为 BC⊂平面 PBC,所以 AC⊥BC,所以∠ACB=90°. 所以动点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆,除去 A 和 B 两点. 3.已知 m 是平面α的一条斜线,点 A∉α,l 为过点 A 的一条动直线,那么 下列情形中可能出现的是( ) A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α 【解析】选 C.如图 l 可以垂直 m,且 l 平行α. 【补偿训练】 在四面体 P-ABC 中,若 PA=PB=PC,则点 P 在平面 ABC 内的射影点 O 是三 角形 ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 【解析】选 B.如图所示,因为 PO⊥底面 ABC,所以 PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥ OC. 在 Rt△POA 和 Rt△POB 中,PA=PB,PO=PO, 所以△POA≌△POB,所以 OA=OB. 同理可证 OB=OC,所以 OA=OB=OC, 所以 O 是△ABC 的外心. 4.如图,以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论 ①BD⊥AC; ②△BAC 是等边三角形; ③三棱锥 D-ABC 是正三棱锥; ④平面 ADC⊥平面 ABC. 其中正确的是( ) A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 【解析】选 B.设等腰直角三角形△ABC 的腰为 a,则斜边 BC= a, ①因为 D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC, 又平面 ABD⊥平面 ACD,平面 ABD∩平面 ACD=AD,BD⊥AD,BD⊂平面 ABD, 所以 BD⊥平面 ADC,又 AC⊂平面 ADC, 所以 BD⊥AC,故①正确; ②由①知,BD⊥平面 ADC,CD⊂平面 ADC, 所以 BD⊥CD,又 BD=CD= a, 所以由勾股定理得:BC= × a=a, 又 AB=AC=a,所以△ABC 是等边三角形,故②正确; ③因为△ABC 是等边三角形,DA=DB=DC, 所以三棱锥 D-ABC 是正三棱锥,故③正确. ④因为△ADC 为等腰直角三角形,取斜边 AC 的中点 F,则 DF⊥AC, 又△ABC 为等边三角形,连接 BF,则 BF⊥AC, 所以∠BFD 为平面 ADC 与平面 ABC 所成二面角的平面角,由 BD⊥平面 ADC 可知,∠BDF 为直角,∠BFD 不是直角, 故平面 ADC 与平面 ABC 不垂直,故④错误; 综上所述,正确的结论是①②③. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.在四棱锥 P-ABCD 中,已知 PA⊥底面 ABCD,且底面 ABCD 为矩形,则下 列结论中正确的是( ) A.平面 PAB⊥平面 PAD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.平面 PBC⊥平面 PCD D.平面 PCD⊥平面 PAD 【解析】选 ABD.由面面垂直的判定定理知,平面 PAB⊥平面 PAD,平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PCD⊥平面 PAD,A,B,D 正确. 6.如图,正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,现在沿 SE,SF,EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1,G2,G3 重合,重合后的点记为 G.给 出下列关系成立的有( ) A.SG⊥平面 EFG B.SE⊥平面 EFG C.GF⊥SE D.EF⊥平面 SEG 【解析】选 AC.由 SG⊥GE,SG⊥GF,得 SG⊥平面 EFG,同理可证 GF⊥平面 GSE, 所以平面 EFG,SFG,SEG 两两垂直,所以选项 A,C 正确;若 SE⊥平面 EFG, 则 SE⊥EG, 这与 SG⊥EG 矛盾,同理可知 EF⊥平面 SEG 不正确,所以 B,D 不正确. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7.如图,二面角α-l-β的大小是 60°,线段 AB⊂α,B∈l,AB 与 l 所成的 角为 30°,则 AB 与平面β所成的角的正弦值是________. 【解析】如图,作 AO⊥β于 O,AC⊥l 于 C,连接 OB,OC,则 OC⊥l,则∠ACO 为二面角α-l-β的平面角,∠ABC 为 AB 与 l 所成的角. 设 AB 与β所成的角为θ,则∠ABO=θ. 由图得 sin θ= = · =sin 30°·sin 60°= . 答案: 【补偿训练】 在 Rt△ABC 中,D 是斜边 AB 的中点,AC=6,BC=8,EC⊥平面 ABC,且 EC=12, 则 ED=________. 【解析】如图,连接 CD,则在 Rt△ABC 中,CD= AB. 因为 AC=6,BC=8,所以 AB= =10. 所以 CD=5. 因为 EC⊥平面 ABC,CD⊂平面 ABC, 所以 EC⊥CD. 所以 ED= = =13. 答案:13 8.如图,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在 工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这 个面密合就可以了,其原理是利用了________. 【解析】如图所示,因为 OA⊥OB,OA⊥OC,OB⊂β,OC⊂β,且 OB∩OC=O, 根据线面垂直的判定定理,可得 OA⊥β, 又 OA⊂α,根据面面垂直的判定定理,可得α⊥β. 答案:面面垂直的判定定理 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 截去三棱锥 C1-B1CD1 后得到的几何体如图所示. 四边形 ABCD 为正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 AD 的中点,A1E⊥平面 ABCD. (1)证明:A1O∥平面 B1CD1; (2)设 M 是 OD 的中点,证明:平面 A1EM⊥平面 B1CD1. 【证明】(1)取 B1D1 的中点 O1,连接 CO1,A1O1, 由于 ABCD-A1B1C1D1 是四棱柱, 所以 A1O1∥OC,A1O1=OC, 因此四边形 A1OCO1 为平行四边形, 所以 A1O∥O1C,又 O1C⊂平面 B1CD1,A1O⊄平面 B1CD1,所以 A1O∥平面 B1CD1. (2)因为 AC⊥BD,E,M 分别为 AD 和 OD 的中点,所以 EM∥AC, 所以 EM⊥BD,又 A1E⊥平面 ABCD, BD⊂平面 ABCD,所以 A1E⊥BD, 因为 B1D1∥BD,所以 EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1, 又 A1E,EM⊂平面 A1EM,A1E∩EM=E,所以 B1D1⊥平面 A1EM, 又 B1D1⊂平面 B1CD1, 所以平面 A1EM⊥平面 B1CD1. 10.如图在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= a,设 E,F 分别为 PC,BD 的中点. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PDC; (3)求直线 EF 与平面 ABCD 所成角的大小. 【解析】(1)因为四边形 ABCD 为正方形, 连接 AC,则 AC∩BD=F,F 为 AC 中点,E 为 PC 中点, 所以在△CPA 中 EF∥PA,且 PA⊂平面 PAD, EF⊄平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. (2)因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,且四边形 ABCD 为正方形, 所以 CD⊥AD,CD⊂平面 ABCD, 所以 CD⊥平面 PAD,所以 CD⊥PA, 又 PA=PD= AD, 所以△PAD 是等腰直角三角形,且∠APD=90°, 即 PA⊥PD,CD∩PD=D,且 CD,PD⊂平面 PDC, 所以 PA⊥平面 PDC, 又 PA⊂平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PDC. (3)因为 EF∥PA, 所以直线 EF 与平面 ABCD 所成角的大小等于直线 PA 与平面 ABCD 所成 角的大小, 因为侧面 PAD⊥底面 ABCD, 所以∠PAD 就是直线 PA 与平面 ABCD 所成角,在△APD 中,PA=PD= AD, 所以∠PAD=45°, 所以直线 EF 与平面 ABCD 所成角的大小为 45°. 如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形 ABCD(及其内部)以 AB 边所 在直线为旋转轴旋转 120°得到的,G 是弧 DF 的中点. (1)设 P 是弧 EC 上的一点,且 AP⊥BE, 求∠CBP 的大小; (2)当 AB=3,AD=2 时,求二面角 E-AG-C 的大小. 【解析】(1)因为 AP⊥BE,AB⊥BE, AB,AP⊂平面 ABP,AB∩AP=A, 所以 BE⊥平面 ABP,又 BP⊂平面 ABP, 所以 BE⊥BP,又∠EBC=120°, 因此∠CBP=30°. (2)如图,取弧 EC 的中点 H,连接 EH,GH,CH. 因为∠EBC=120°,所以四边形 BEHC 为菱形, 所以 AE=GE=AC=GC= = . 取 AG 中点 M,连接 EM,CM,EC, 则 EM⊥AG,CM⊥AG, 所以∠EMC 为所求二面角的平面角. 又 AM=1,所以 EM=CM= =2 . 在△BEC 中,由于∠EBC=120°, 由余弦定理得 EC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12, 所以 EC=2 ,因此△EMC 为等边三角形, 故所求的角为 60°. 关闭 Word 文档返回原板块