高中数学人教a版选修2-3第一章计数原理1-2-1-2-2-第1课时学业分层测评word版含答案 4页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A．从 3 个不同的小球中，取出 2 个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星 D．从 13 位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 【解析】 从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星，与顺序无关，是组合问 题． 【答案】 C 2．某新农村社区共包括 8 个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村 庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( ) A．4 B．8 C．28 D．64 【解析】 由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建 C28＝28 条 公路． 【答案】 C 3．组合数 Crn(n>r≥1，n，r∈N)恒等于( ) A.r＋1 n＋1 Cr－1n－1 B．(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1 C．nrCr－1n－1 D.n rCr－1n－1 【解析】 n rCr－1n－1＝n r· n－1！ r－1！n－r！ ＝ n！ r！n－r！ ＝Crn. 【答案】 D 4．满足方程 Cx2－x16＝C 5x－516 的 x 值为( ) A．1,3,5，－7 B．1,3 C．1,3,5 D．3,5 【解析】 依题意，有 x2－x＝5x－5 或 x2－x＋5x－5＝16，解得 x＝1 或 x＝5； x＝－7 或 x＝3，经检验知，只有 x＝1 或 x＝3 符合题意． 【答案】 B 5．异面直线 a，b 上分别有 4 个点和 5 个点，由这 9 个点可以确定的平面个 数是( ) A．20 B．9 C．C39 D．C24C15＋C25C14 【解析】 分两类：第 1 类，在直线 a 上任取一点，与直线 b 可确定 C 14个平 面；第 2 类，在直线 b 上任取一点，与直线 a 可确定 C 15个平面．故可确定 C14＋C15 ＝9 个不同的平面． 【答案】 B 二、填空题 6．C03＋C14＋C25＋…＋C 1821的值等于________． 【解析】 原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝C1721＋C1821＝C1822＝ C422＝7 315. 【答案】 7 315 7．设集合 A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合 A 中含有 3 个元素的子集共有________ 个． 【解析】 从 5 个元素中取出 3 个元素组成一组就是集合 A 的子集，则共有 C35＝10 个子集． 【答案】 10 8．10 个人分成甲、乙两组，甲组 4 人，乙组 6 人，则不同的分组种数为 ________．(用数字作答) 【解析】 从 10 人中任选出 4 人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合 问题，共有 C410＝210 种分法． 【答案】 210 三、解答题 9．从 1,2,3,4,5,6 六个数字中任选 3 个后得到一个由这三个数组成的最小三位 数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？ 【解】 从 6 个不同数字中任选 3 个组成最小三位数，相当于从 6 个不同元 素中任选 3 个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有 C36＝6×5×4 3×2×1 ＝20 个． 10．(1)求式子 1 Cx5 － 1 Cx6 ＝ 7 10Cx7 中的 x； (2)解不等式 Cm－18 >3Cm8 . 【解】 (1)原式可化为：x！5－x！ 5！ －x！6－x！ 6！ ＝7·x！7－x！ 10·7！ ，∵ 0≤x≤5，∴x2－23x＋42＝0， ∴x＝21(舍去)或 x＝2，即 x＝2 为原方程的解． (2)由 8！ m－1！9－m！> 3×8！ m！8－m！ ， 得 1 9－m>3 m ，∴m>27－3m， ∴m>27 4 ＝7－1 4. 又∵0≤m－1≤8，且 0≤m≤8，m∈N， 即 7≤m≤8，∴m＝7 或 8. [能力提升] 1．已知圆上有 9 个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有 线段在圆内的交点有( ) A．36 个 B．72 个 C．63 个 D ． 126 个 【解析】 此题可化归为圆上 9 个点可组成多少个四边形，所有四边形的对 角线交点个数即为所求，所以交点为 C49＝126 个． 【答案】 D 2．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型和乙型电 视机各 1 台，则不同的取法共有( ) 【导学号：97270017】 A．140 种 B．84 种 C．70 种 D．35 种 【解析】 可分两类：第一类，甲型 1 台、乙型 2 台，有 C14·C25＝4×10＝40(种) 取法，第二类，甲型 2 台、乙型 1 台，有 C24·C15＝6×5＝30(种)取法，共有 70 种不 同的取法． 【答案】 C 3．对所有满足 1≤m