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- 2021-06-15 发布
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函数与方程
【知识梳理】
1、函数零点的定义
(1)对于函数 )(xfy ,我们把方程 0)( xf 的实数根叫做函数 )(xfy 的零点。
(2)方程 0)( xf 有实根函数 ( )y f x 的图像与 x轴有交点函数 ( )y f x 有零点。因此判断一个
函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程 0)( xf 是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法:
解方程 0)( xf ,所得实数根就是 ( )f x 的零点
(3)变号零点与不变号零点
①若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 ( )f x 的变号零点。
②若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数 ( )f x 的不变号零点。
③若函数 ( )f x 在区间 ,a b 上的图像是一条连续的曲线,则 0)()( bfaf 是 ( )f x 在区间 ,a b 内有零点的充分
不必要条件。
2、函数零点的判定
(1)零点存在性定理:如果函数 )(xfy 在区间 ],[ ba 上的图象是连续不断的曲线,并且有 ( ) ( ) 0f a f b ,
那么,函数 )(xfy 在区间 ,a b 内有零点,即存在 ),(0 bax ,使得 0)( 0 xf ,这个 0x 也就是方程 0)( xf 的
根。
(2)函数 )(xfy 零点个数(或方程 0)( xf 实数根的个数)确定方法
① 代数法:函数 )(xfy 的零点 0)( xf 的根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 )(xfy 的图象联系起来,并利用函数的性质
找出零点。
(3)零点个数确定
0 )(xfy 有 2个零点 0)( xf 有两个不等实根;
0 )(xfy 有 1个零点 0)( xf 有两个相等实根;
0 )(xfy 无零点 0)( xf 无实根;对于二次函数在区间 ,a b 上的零点个数,要结合图像进行确
定.
1、二分法
(1)二分法的定义:对于在区间[ , ]a b 上连续不断且 ( ) ( ) 0f a f b 的函数 ( )y f x ,通过不断地把函数 ( )y f x
的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
(2)用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间[ , ]a b ,验证 ( ) ( ) 0f a f b ,给定精确度 ;
②求区间 ( , )a b 的中点 c ;
③计算 ( )f c ;
(ⅰ)若 ( ) 0f c ,则 c就是函数的零点;
(ⅱ) 若 ( ) ( ) 0f a f c ,则令b c (此时零点 0 ( , )x a c );
(ⅲ) 若 ( ) ( ) 0f c f b ,则令 a c (此时零点 0 ( , )x c b );
④判断是否达到精确度 ,即 a b ,则得到零点近似值为 a (或b );否则重复②至④步.
【经典例题】
1.函数
3( )=2 + 2xf x x 在区间 (0,1)内的零点个数是 ( )
A、0 B、1 C、2 D、3
2.函数 f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是 ( )
A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)
3.若函数 )(xf xa x a ( 0a 且 1a )有两个零点,则实数 a的取值范围是 .
4.设函数 f(x) ( )x R 满足 f( x )=f(x),f(x)=f(2x),且当 [0,1]x 时,f(x)=x3.又函数 g(x)= |xcos ( )x |,则
函数 h(x)=g(x)-f(x)在
1 3[ , ]
2 2
上的零点个数为 ( )
A、5 B、6 C、7 D、8
5.函数
2( ) cosf x x x 在区间[0,4]上的零点个数为 ( )
A、4 B、5 C、6 D、7
6.函数 ( ) cosf x x x 在[0, ) 内 ( )
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
7.对实数 a和 b,定义运算“⊗ ”:a⊗ b=
a,a-b≤1,
b,a-b>1.
设函数 f(x)=(x2-2)⊗ (x-x2),x∈R,若函数 y=
f(x)-c的图象与 x轴恰有两个公共点,则实数 c的取值范围是 ( )
A、(-∞,-2]∪
-1,3
2 B、(-∞,-2]∪
-1,-
3
4
C、
-1,1
4 ∪
1
4
,+∞
D、
-1,-
3
4 ∪
1
4
,+∞
8.已知函数 f x( )= log ( 0 a 1).a x x b a > ,且 当 2< a< 3< b< 4 时,函数 f x( )的零点
*
0 ( , 1), , n=x n n n N 则 .
9.求下列函数的零点:
(1) 3 2( ) 2 2f x x x x ; (2)
4( )f x x
x
.
10.判断函数 y=x3-x-1在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确度 0.1).
【课堂练习】
1、在下列区间中,函数 ( ) 4 3xf x e x 的零点所在的区间为 ( )
A、
1( ,0)
4
B、
1(0, )
4
C、
1 1( , )
4 2
D、
1 3( , )
2 4
2、若 0x 是方程 lg 2x x 的解,则 0x 属于区间 ( )
A、 (0,1) B、 (1,1.25) C、 (1.25,1.75) D、 (1.75,2)
3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
4、函数 f x =2 x +3x的零点所在的一个区间是 ( )
A.(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)
5、设函数 f x =4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数 f x 不存在零点的是 ( )
A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4]
6、函数 xf = x - cos x在[0, ﹚内 ( )
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
7、若函数 ( )f x 的零点与 ( ) 4 2 2xg x x 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 ( )f x 可以是( )
A、 ( ) 4 1f x x B、 2( ) ( 1)f x x C、 ( ) 1xf x e D、
1( ) ln( )
2
f x x
8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )
A、 3( ) 8f x x B、 ( ) ln 3f x x C、 2( ) 2 2 2f x x x D、 2( ) 4 1f x x x
9、函数 f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 ( )
A、
4
1,
8
1 B、
2
1,
4
1 C、
1,
2
1 D、(1,2)
10、 01lg
x
x 有解的区域是 ( )
A、 (0, 1] B、 (1, 10] C、 (10, 100] D、 (100, )
11、在下列区间中,函数 ( ) e 4 3xf x x 的零点所在的区间为 ( )
A、 1( ,0)
4
B、 1(0, )
4
C、 1 1( , )
4 2
D、 1 3( , )
2 4
12、函数 2( ) logf x x x 的零点所在区间为( )
A、
1[0, ]
8
B、
1 1[ , ]
8 4
C、
1 1[ , ]
4 2
D、
1[ ,1]
2
13 、 设 833 xxf x , 用 二 分 法 求 方 程 2,10833 xxx 在 内 近 似 解 的 过 程 中 得
,025.1,05.1,01 fff 则方程的根落在区间( )
A、 (1,1.25) B、 (1.25,1.5) C、 (1.5,2) D、不能确定
14、设函数 ( ) 4sin(2 1)f x x x ,则在下列区间中函数 ( )f x 不.存在零点的是( )
A、 4, 2 B、 2,0 C、 0,2 D、 2,4
15、函数
2 2 3, 0
( )
2 ln , 0
x x x
f x
x x
, 零点个数为( )A、3 B、2 C、1 D、0
16、若函数 3 2( ) 2 2f x x x x 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f (1) = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984
f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054
那么方程 3 2 2 2 0x x x 的一个近似根(精确到 0.1)为 ( )
A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5
17、方程
22 3x x 的实数解的个数为 .
18、已知函数
2 2( ) ( 1) 2f x x a x a 的一个零点比 1大,一个零点比 1小,求实数 a的取值范围。
19、判断函数
2 32( ) 4
3
f x x x x 在区间[ 1,1] 上零点的个数,并说明理由。
20 、求函数
3 2( ) 2 3 6f x x x x 的一个正数零点(精确度 0.1).
【课后作业】
1、下列函数图象与 x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )
2、设 2( ) 3xf x x ,则在下列区间中,使函数 )(xf 有零点的区间是 ( )
A、[0,1] B、[1,2] C、[-2,-1] D、[-1,0]
3、已知 )(xf 唯一的零点在区间 (1,3)、 (1, 4)、 (1,5)内,那么下面命题错误的 ( )
A、函数 )(xf 在 (1, 2)或 2,3 内有零点 B、函数 )(xf 在 (3,5)内无零点
C、函数 )(xf 在 (2,5)内有零点 D、函数 )(xf 在 (2, 4)内不一定有零点
4、若函数
3( ) 3f x x x a 有 3个不同的零点,则实数 a的取值范围是 ( )
A、 2,2 B、 2,2 C、 , 1 D、 1,
5、函数 xxxf ln)( 的零点所在的区间为 ( )
A、(-1,0) B、(0,1) C、(1,2) D、(1,e)
6、求函数 132)( 3 xxxf 零点的个数为 ( )
A、1 B、 2 C、3 D、 4
7 、 如 果 二 次 函 数
2 3y x x m 有 两 个 不 同 的 零 点 , 则 m 的 取 值 范 围 是
( )
A、
11( , )
4
B、
11( , )
2
C、
11( , )
4
D、
11( , )
2
8、方程 0lg xx 根的个数为 ( ) A、无穷多Error! No bookmark name given. B、3
C、1 D、0
9、用二分法求方程 ( ) 0f x 在(1,2)内近似解的过程中得 (1) 0, (1.5) 0, (1.25) 0f f f f(1)<0,则方程的
根在区间 ( )
A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定
10、设函数 f(x)=1
3
x-lnx(x>0),则 y=f(x) ( )
A、在区间
1
e
,1
,(1,e)内均有零点 B、在区间
1
e
,1
,(1,e)内均无零点
C、在区间
1
e
,1
内有零点,在区间(1,e)内无零点 D、在区间
1
e
,1
内无零点,在区间(1,e)内有零点
11、设函数
21( ) ln 1( 0)
2
f x x x x ,则函数 ( )y f x ( )
A、在区间(0,1),(1,2)内均有零点 B、在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点
C、在区间(0,1),(1,2)内均无零点 D、在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点
12、用二分法研究函数 13)( 3 xxxf 的零点时,第一次经计算 0)5.0(0)0( ff , ,可得其中一个零点
0x , 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )
A、(0,0.5), )25.0(f B、(0,1), )25.0(f C、(0.5,1), )75.0(f D、(0,0.5), )125.0(f
13、函数 22)( 3 xxf x
在区间(0,1)内的零点个数是 ( )
A、0 B、1 C、2 D、3
14 、( 已 知 函 数 ( ) log ( 0, 1).af x x x b a a 且 当 2 3 4a 是 , 函 数 ( )f x 的 零 点
*
0 ( , 1), ,x n n n N 则 n= .
15、用二分法求函数 ( )y f x 在区间(2,4)上的近似解,验证 f(2)·f(4)<0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,4)
的中点 x1=
2+4
2
=3,计算得 f(2)·f(x1)<0,则此时零点 x0∈________.
16、已知函数 f(x)={2x-1,x>0, -x2-2x,x≤0, 若函数 g(x)= f(x)-m有 3 个零点,则实数 m的
取值范围是________.
17、函数 65)( 2 xxxf 的零点组成的集合是 .
18、用“二分法”求方程 0523 xx 在区间[2,3]内的实根,取区间中点为 5.20 x ,那么下一个有根的
区间是
19、函数 ( ) ln 2f x x x 的零点个数为 .
20、证明方程 6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精确度 0.1).
函数与方程
【考纲说明】
2、了解函数的零点与方程根的联系,能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
3、能够根据具体函数的图像,用二分法求出相应方程的近似解。
【知识梳理】
1、函数零点的定义
(1)对于函数 )(xfy ,我们把方程 0)( xf 的实数根叫做函数 )(xfy 的零点。
(2)方程 0)( xf 有实根函数 ( )y f x 的图像与 x轴有交点函数 ( )y f x 有零点。因此判断一个
函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程 0)( xf 是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法:
解方程 0)( xf ,所得实数根就是 ( )f x 的零点
(3)变号零点与不变号零点
①若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 ( )f x 的变号零点。
②若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数 ( )f x 的不变号零点。
③若函数 ( )f x 在区间 ,a b 上的图像是一条连续的曲线,则 0)()( bfaf 是 ( )f x 在区间 ,a b 内有零点的充分
不必要条件。
2、函数零点的判定
(1)零点存在性定理:如果函数 )(xfy 在区间 ],[ ba 上的图象是连续不断的曲线,并且有 ( ) ( ) 0f a f b ,
那么,函数 )(xfy 在区间 ,a b 内有零点,即存在 ),(0 bax ,使得 0)( 0 xf ,这个 0x 也就是方程 0)( xf 的
根。
(2)函数 )(xfy 零点个数(或方程 0)( xf 实数根的个数)确定方法
① 代数法:函数 )(xfy 的零点 0)( xf 的根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 )(xfy 的图象联系起来,并利用函数的性质
找出零点。
(3)零点个数确定
0 )(xfy 有 2个零点 0)( xf 有两个不等实根;
0 )(xfy 有 1个零点 0)( xf 有两个相等实根;
0 )(xfy 无零点 0)( xf 无实根;对于二次函数在区间 ,a b 上的零点个数,要结合图像进行确
定.
4、二分法
(1)二分法的定义:对于在区间[ , ]a b 上连续不断且 ( ) ( ) 0f a f b 的函数 ( )y f x ,通过不断地把函数 ( )y f x
的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
(2)用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间[ , ]a b ,验证 ( ) ( ) 0f a f b ,给定精确度 ;
②求区间 ( , )a b 的中点 c ;
③计算 ( )f c ;
(ⅰ)若 ( ) 0f c ,则 c就是函数的零点;
(ⅱ) 若 ( ) ( ) 0f a f c ,则令b c (此时零点 0 ( , )x a c );
(ⅲ) 若 ( ) ( ) 0f c f b ,则令 a c (此时零点 0 ( , )x c b );
④判断是否达到精确度 ,即 a b ,则得到零点近似值为 a (或b );否则重复②至④步.
【经典例题】
【例 1】 函数
3( )=2 + 2xf x x 在区间 (0,1)内的零点个数是 ( )
A、0 B、1 C、2 D、3
【答案】B
【解析】解法 1:因为 (0)=1+0 2= 1f ,
3(1)=2+2 2=8f ,即 (0) (1)<0f f 且函数 ( )f x 在 (0,1)内连
续不断,故 ( )f x 在 (0,1)内的零点个数是 1.
解法 2:设 1=2
xy ,
3
2=2y x ,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知 B正确.
【例 2】 函数 f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是 ( )
A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)
【答案】B
【解析】∵ f(-1)=2-1+3×(-1)=-
5
2
<0,
f(0)=20+0=1>0,
∴ f(-1) f(0)<0.
∴ f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间为(-1,0).
【例 3】若函数 )(xf xa x a ( 0a 且 1a )有两个零点,则实数 a的取值范围是 .
【答案】 ),( 1
【解析】函数 )(xf = xa x a ( 0a 且 1a )有两个零点,方程 0 axa x 有两个不相等的实数
根,即两个函数 xay 与 axy 的图像有两个不同的交点,当 10 a 时,两个函数的图像有且仅有
一个交点,不合题意;当 1a 时,两个函数的图像有两个交点,满足题意.
【例 4】设函数 f(x) ( )x R 满足 f( x )=f(x),f(x)=f(2x),且当 [0,1]x 时,f(x)=x3.又函数 g(x)= |xcos ( )x |,
则函数 h(x)=g(x)-f(x)在
1 3[ , ]
2 2
上的零点个数为 ( )
A、5 B、6 C、7 D、8
【答案】B
【解析】因为当 [0,1]x 时,f(x)=x3. 所以当 [1,2]x 时, (2 ) [0,1]x ,
3( ) (2 ) (2 )f x f x x ,
当
1[0, ]
2
x 时, ( ) cos( )g x x x ;当
1 3[ , ]
2 2
x 时, ( ) cos( )g x x x ,注意到函数 f(x)、 g(x)都是
偶函数,且 f(0)= g(0), f(1)= g(1),
1 3( ) ( ) 0
2 2
g g ,作出函数 f(x)、 g(x)的大致图象,函数 h(x)除了 0、
1这两个零点之外,分别在区间
1 1 1 3[ ,0] [ ] [ ] [1 ]
2 2 2 2
、0, 、 ,1、, 上各有一个零点,共有 6个零点,故选 B
【例 5】函数
2( ) cosf x x x 在区间[0,4]上的零点个数为 ( )
A、4 B、5 C、6 D、7
【答案】C
【解析】:f(x)=0,则 x=0或 cosx2=0,x2=kπ+ π
2
,k∈Z,又 x∈[0,4],k=0,1,2,3,4,所以共有 6个解.选 C.
【例 6】函数 ( ) cosf x x x 在[0, ) 内 ( )
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
【答案】B
【解析】解法一:数形结合法,令 ( ) cosf x x x 0 ,则 cosx x ,设函数 y x 和 cosy x ,
它们在[0, ) 的图像如图所示,显然两函数的图像的交点有且只有一个,所以函数 ( ) cosf x x x 在
[0, ) 内有且仅有一个零点;
解法二:在 [ , )
2
x
上, 1x , cos 1x ,所以 ( ) cosf x x x 0 ;
在 (0, ]
2
x
,
1( ) sin 0
2
f x x
x
,所以函数 ( ) cosf x x x 是增函数,又因为 (0) 1f ,
( ) 0
2 2
f
,所以 ( ) cosf x x x 在 [0, ]
2
x
上有且只有一个零点.
【例 7】对实数 a和 b,定义运算“⊗ ”:a⊗ b=
a,a-b≤1,
b,a-b>1.
设函数 f(x)=(x2-2)⊗ (x-x2),x∈R,若函
数 y=f(x)-c的图象与 x轴恰有两个公共点,则实数 c的取值范围是 ( )
A、(-∞,-2]∪
-1,3
2 B、(-∞,-2]∪
-1,-
3
4
C、
-1,1
4 ∪
1
4
,+∞
D、
-1,-
3
4 ∪
1
4
,+∞
【答案】B
【解析】f(x)=
x2-2,x2-2-(x-x2)≤1,
x-x2,x2-2-(x-x2)>1
=
x2-2,-1≤x≤3
2
,
x-x2,x<-1,或 x>3
2
,
则 f (x)的图象如图
∵ y=f(x)-c的图象与 x轴恰有两个公共点,
∴ y=f(x)与 y=c的图象恰有两个公共点,
由图象知 c≤-2,或-10,且函数 y=x3-x-1的图象是连续的曲线,所以它在区间[1,1.5]
内有零点,用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点值 中点函数近似值
(1,1.5) 1.25 -0.3
(1.25,1.5) 1.375 0.22
(1.25,1.375) 1.312 5 -0.05
(1.312 5,1.375) 1.343 75 0.08
由于|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1,
所以函数的一个近似零点为 1.312 5.
【课堂练习】
1、在下列区间中,函数 ( ) 4 3xf x e x 的零点所在的区间为 ( )
A、
1( ,0)
4
B、
1(0, )
4
C、
1 1( , )
4 2
D、
1 3( , )
2 4
2、若 0x 是方程 lg 2x x 的解,则 0x 属于区间 ( )
A、 (0,1) B、 (1,1.25) C、 (1.25,1.75) D、 (1.75,2)
3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
4、函数 f x =2 x +3x的零点所在的一个区间是 ( )
A.(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)
5、设函数 f x =4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数 f x 不存在零点的是 ( )
A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4]
6、函数 xf = x - cos x在[0, ﹚内 ( )
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
7、若函数 ( )f x 的零点与 ( ) 4 2 2xg x x 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 ( )f x 可以是( )
A、 ( ) 4 1f x x B、 2( ) ( 1)f x x C、 ( ) 1xf x e D、
1( ) ln( )
2
f x x
8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )
A、 3( ) 8f x x B、 ( ) ln 3f x x C、 2( ) 2 2 2f x x x D、 2( ) 4 1f x x x
9、函数 f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 ( )
A、
4
1,
8
1 B、
2
1,
4
1 C、
1,
2
1 D、(1,2)
10、 01lg
x
x 有解的区域是 ( )
A、 (0, 1] B、 (1, 10] C、 (10, 100] D、 (100, )
11、在下列区间中,函数 ( ) e 4 3xf x x 的零点所在的区间为 ( )
A、 1( ,0)
4
B、 1(0, )
4
C、 1 1( , )
4 2
D、 1 3( , )
2 4
12、函数 2( ) logf x x x 的零点所在区间为( )
A、
1[0, ]
8
B、
1 1[ , ]
8 4
C、
1 1[ , ]
4 2
D、
1[ ,1]
2
13 、 设 833 xxf x , 用 二 分 法 求 方 程 2,10833 xxx 在 内 近 似 解 的 过 程 中 得
,025.1,05.1,01 fff 则方程的根落在区间( )
A、 (1,1.25) B、 (1.25,1.5) C、 (1.5,2) D、不能确定
14、设函数 ( ) 4sin(2 1)f x x x ,则在下列区间中函数 ( )f x 不.存在零点的是( )
A、 4, 2 B、 2,0 C、 0,2 D、 2,4
15、函数
2 2 3, 0
( )
2 ln , 0
x x x
f x
x x
, 零点个数为( )A、3 B、2 C、1 D、0
16、若函数 3 2( ) 2 2f x x x x 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f (1) = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984
f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054
那么方程 3 2 2 2 0x x x 的一个近似根(精确到 0.1)为 ( )
A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5
17、方程
22 3x x 的实数解的个数为 .
18、已知函数 2 2( ) ( 1) 2f x x a x a 的一个零点比 1大,一个零点比 1小,求实数 a的取值范围。
19、判断函数
2 32( ) 4
3
f x x x x 在区间[ 1,1] 上零点的个数,并说明理由。
20 、求函数 3 2( ) 2 3 6f x x x x 的一个正数零点(精确度 0.1).
【课后作业】
1、下列函数图象与 x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )
2、设
2( ) 3xf x x ,则在下列区间中,使函数 )(xf 有零点的区间是 ( )
A、[0,1] B、[1,2] C、[-2,-1] D、[-1,0]
3、已知 )(xf 唯一的零点在区间 (1,3)、 (1, 4)、 (1,5)内,那么下面命题错误的 ( )
A、函数 )(xf 在 (1, 2)或 2,3 内有零点 B、函数 )(xf 在 (3,5)内无零点
C、函数 )(xf 在 (2,5)内有零点 D、函数 )(xf 在 (2, 4)内不一定有零点
4、若函数 3( ) 3f x x x a 有 3个不同的零点,则实数 a的取值范围是 ( )
A、 2,2 B、 2,2 C、 , 1 D、 1,
5、函数 xxxf ln)( 的零点所在的区间为 ( )
A、(-1,0) B、(0,1) C、(1,2) D、(1,e)
6、求函数 132)( 3 xxxf 零点的个数为 ( )
A、1 B、 2 C、3 D、 4
7 、 如 果 二 次 函 数 2 3y x x m 有 两 个 不 同 的 零 点 , 则 m 的 取 值 范 围 是
( )
A、
11( , )
4
B、
11( , )
2
C、
11( , )
4
D、
11( , )
2
8、方程 0lg xx 根的个数为 ( ) A、无穷多Error! No bookmark name given. B、3
C、1 D、0
9、用二分法求方程 ( ) 0f x 在(1,2)内近似解的过程中得 (1) 0, (1.5) 0, (1.25) 0f f f f(1)<0,则方程的
根在区间 ( )
A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定
10、设函数 f(x)=1
3
x-lnx(x>0),则 y=f(x) ( )
A、在区间
1
e
,1
,(1,e)内均有零点 B、在区间
1
e
,1
,(1,e)内均无零点
C、在区间
1
e
,1
内有零点,在区间(1,e)内无零点 D、在区间
1
e
,1
内无零点,在区间(1,e)内有零点
11、设函数
21( ) ln 1( 0)
2
f x x x x ,则函数 ( )y f x ( )
A、在区间(0,1),(1,2)内均有零点 B、在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点
C、在区间(0,1),(1,2)内均无零点 D、在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点
12、用二分法研究函数 13)( 3 xxxf 的零点时,第一次经计算 0)5.0(0)0( ff , ,可得其中一个零点
0x , 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )
A、(0,0.5), )25.0(f B、(0,1), )25.0(f C、(0.5,1), )75.0(f D、(0,0.5), )125.0(f
13、函数 22)( 3 xxf x 在区间(0,1)内的零点个数是 ( )
A、0 B、1 C、2 D、3
14 、( 已 知 函 数 ( ) log ( 0, 1).af x x x b a a 且 当 2 3 4a 是 , 函 数 ( )f x 的 零 点
*
0 ( , 1), ,x n n n N 则 n= .
15、用二分法求函数 ( )y f x 在区间(2,4)上的近似解,验证 f(2)·f(4)<0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,4)
的中点 x1=
2+4
2
=3,计算得 f(2)·f(x1)<0,则此时零点 x0∈________.
16、已知函数 f(x)={2x-1,x>0, -x2-2x,x≤0, 若函数 g(x)= f(x)-m有 3 个零点,则实数 m的
取值范围是________.
17、函数 65)( 2 xxxf 的零点组成的集合是 .
18、用“二分法”求方程 0523 xx 在区间[2,3]内的实根,取区间中点为 5.20 x ,那么下一个有根的
区间是
19、函数 ( ) ln 2f x x x 的零点个数为 .
20、证明方程 6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精确度 0.1).
函数与方程【参考答案】
【课堂练习】
1-16、CDCBA BACCB CCBABC
17、2
18、解:设方程
2 2( 1) 2 0x a x a 的两根分别为 1 2 1 2, ( )x x x x ,
则 1 2( 1)( 1) 0x x ,所以 1 2 1 2( ) 1 0x x x x
由韦达定理得
22 ( 1) 1 0a a ,
即
2 2 0a a ,所以 2 1a
19、解:因为 2 71 4 1 0
3 3
f , 2 131 4 1 0
3 3
f
所以 f x 在区间[ 1,1] 上有零点
又
2
' 2 9 14 2 2 2
2 2
f x x x x
当 1 1x 时, ' 90
2
f x
所以在[ 1,1] 上单调递增函数,所以 f x 在[ 1,1] 上有且只有一个零点。
20、解 由于 (1) 6 0, (2) 4 0f f ,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表
如下:
区间 中点 中点函数值
(1,2) 1.5 -2.625
(1.5,2) 1.75 0.234 4
(1.5,1.75) 1.625 -1.302 7
(1.625,1.75) 1.687 5 -0.561 8
(1.687 5,1.75) 1.718 75 -0.170 7
由于|1.75-1.687 5|=0.062 5<0.1,
所以可将 1.687 5 作为函数零点的近似值.
【课后作业】
1-13、BDCAB CCDAD AAB
14、2
15、(2,3)
16、 (0,1)
17、{2,3}
18、[2, 2.5)
19、2
20、证明 设函数 f(x)=2x+3x-6,
∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0,
又∵f(x)是增函数,所以函数 f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一的零点,
则方程 6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解.
设该解为 x0,则 x0∈[1,2],
取 x1=1.5,f(1.5)=1.33>0,f(1)·f(1.5)<0,
∴x0∈(1,1.5),
取 x2=1.25,f(1.25)=0.128>0,
f(1)·f(1.25)<0,∴x0∈(1,1.25),
取 x3=1.125,f(1.125)=-0.445<0,
f(1.125)·f(1.25)<0,∴x0∈(1.125,1.25),
取 x4=1.187 5,f(1.187 5)=-0.16<0,
f(1.187 5)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1.187 5,1.25).
∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1,
∴1.187 5可以作为这个方程的实数解.
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