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  • 2021-06-15 发布

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

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函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 (1)对于函数 )(xfy  ,我们把方程 0)( xf 的实数根叫做函数 )(xfy 的零点。 (2)方程 0)( xf 有实根函数 ( )y f x 的图像与 x轴有交点函数 ( )y f x 有零点。因此判断一个 函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程 0)( xf 是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法: 解方程 0)( xf ,所得实数根就是 ( )f x 的零点 (3)变号零点与不变号零点 ①若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 ( )f x 的变号零点。 ②若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数 ( )f x 的不变号零点。 ③若函数 ( )f x 在区间  ,a b 上的图像是一条连续的曲线,则 0)()( bfaf 是 ( )f x 在区间  ,a b 内有零点的充分 不必要条件。 2、函数零点的判定 (1)零点存在性定理:如果函数 )(xfy  在区间 ],[ ba 上的图象是连续不断的曲线,并且有 ( ) ( ) 0f a f b  , 那么,函数 )(xfy  在区间  ,a b 内有零点,即存在 ),(0 bax  ,使得 0)( 0 xf ,这个 0x 也就是方程 0)( xf 的 根。 (2)函数 )(xfy  零点个数(或方程 0)( xf 实数根的个数)确定方法 ① 代数法:函数 )(xfy  的零点 0)( xf 的根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 )(xfy  的图象联系起来,并利用函数的性质 找出零点。 (3)零点个数确定 0   )(xfy  有 2个零点 0)( xf 有两个不等实根; 0   )(xfy  有 1个零点 0)( xf 有两个相等实根; 0   )(xfy  无零点 0)( xf 无实根;对于二次函数在区间  ,a b 上的零点个数,要结合图像进行确 定. 1、二分法 (1)二分法的定义:对于在区间[ , ]a b 上连续不断且 ( ) ( ) 0f a f b  的函数 ( )y f x ,通过不断地把函数 ( )y f x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; (2)用二分法求方程的近似解的步骤: ① 确定区间[ , ]a b ,验证 ( ) ( ) 0f a f b  ,给定精确度 ; ②求区间 ( , )a b 的中点 c ; ③计算 ( )f c ; (ⅰ)若 ( ) 0f c  ,则 c就是函数的零点; (ⅱ) 若 ( ) ( ) 0f a f c  ,则令b c (此时零点 0 ( , )x a c ); (ⅲ) 若 ( ) ( ) 0f c f b  ,则令 a c (此时零点 0 ( , )x c b ); ④判断是否达到精确度 ,即 a b   ,则得到零点近似值为 a (或b );否则重复②至④步. 【经典例题】 1.函数 3( )=2 + 2xf x x  在区间 (0,1)内的零点个数是 ( ) A、0 B、1 C、2 D、3 2.函数 f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是 ( ) A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2) 3.若函数 )(xf xa x a  ( 0a  且 1a  )有两个零点,则实数 a的取值范围是 . 4.设函数 f(x) ( )x R 满足 f( x )=f(x),f(x)=f(2x),且当 [0,1]x 时,f(x)=x3.又函数 g(x)= |xcos ( )x |,则 函数 h(x)=g(x)-f(x)在 1 3[ , ] 2 2  上的零点个数为 ( ) A、5 B、6 C、7 D、8 5.函数 2( ) cosf x x x 在区间[0,4]上的零点个数为 ( ) A、4 B、5 C、6 D、7 6.函数 ( ) cosf x x x  在[0, ) 内 ( ) A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 7.对实数 a和 b,定义运算“⊗ ”:a⊗ b= a,a-b≤1, b,a-b>1. 设函数 f(x)=(x2-2)⊗ (x-x2),x∈R,若函数 y= f(x)-c的图象与 x轴恰有两个公共点,则实数 c的取值范围是 ( ) A、(-∞,-2]∪ -1,3 2 B、(-∞,-2]∪ -1,- 3 4 C、 -1,1 4 ∪ 1 4 ,+∞ D、 -1,- 3 4 ∪ 1 4 ,+∞ 8.已知函数 f x( )= log ( 0 a 1).a x x b a  > ,且 当 2< a< 3< b< 4 时,函数 f x( )的零点 * 0 ( , 1), , n=x n n n N   则 . 9.求下列函数的零点: (1) 3 2( ) 2 2f x x x x    ; (2) 4( )f x x x   . 10.判断函数 y=x3-x-1在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确度 0.1). 【课堂练习】 1、在下列区间中,函数 ( ) 4 3xf x e x   的零点所在的区间为 ( ) A、 1( ,0) 4  B、 1(0, ) 4 C、 1 1( , ) 4 2 D、 1 3( , ) 2 4 2、若 0x 是方程 lg 2x x  的解,则 0x 属于区间 ( ) A、 (0,1) B、 (1,1.25) C、 (1.25,1.75) D、 (1.75,2) 3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( ) 4、函数 f  x =2 x +3x的零点所在的一个区间是 ( ) A.(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2) 5、设函数 f  x =4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数 f  x 不存在零点的是 ( ) A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4] 6、函数  xf = x - cos x在[0,  ﹚内 ( ) A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 7、若函数 ( )f x 的零点与 ( ) 4 2 2xg x x   的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 ( )f x 可以是( ) A、 ( ) 4 1f x x  B、 2( ) ( 1)f x x  C、 ( ) 1xf x e  D、 1( ) ln( ) 2 f x x  8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( ) A、 3( ) 8f x x  B、 ( ) ln 3f x x  C、 2( ) 2 2 2f x x x   D、 2( ) 4 1f x x x    9、函数 f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 ( ) A、       4 1, 8 1 B、       2 1, 4 1 C、       1, 2 1 D、(1,2) 10、 01lg  x x 有解的区域是 ( ) A、 (0, 1] B、 (1, 10] C、 (10, 100] D、 (100, ) 11、在下列区间中,函数 ( ) e 4 3xf x x   的零点所在的区间为 ( ) A、 1( ,0) 4  B、 1(0, ) 4 C、 1 1( , ) 4 2 D、 1 3( , ) 2 4 12、函数 2( ) logf x x x  的零点所在区间为( ) A、 1[0, ] 8 B、 1 1[ , ] 8 4 C、 1 1[ , ] 4 2 D、 1[ ,1] 2 13 、 设   833  xxf x , 用 二 分 法 求 方 程  2,10833  xxx 在 内 近 似 解 的 过 程 中 得       ,025.1,05.1,01  fff 则方程的根落在区间( ) A、 (1,1.25) B、 (1.25,1.5) C、 (1.5,2) D、不能确定 14、设函数 ( ) 4sin(2 1)f x x x   ,则在下列区间中函数 ( )f x 不.存在零点的是( ) A、 4, 2  B、  2,0 C、 0,2 D、 2,4 15、函数 2 2 3, 0 ( ) 2 ln , 0 x x x f x x x          , 零点个数为( )A、3 B、2 C、1 D、0 16、若函数 3 2( ) 2 2f x x x x    的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: f (1) = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984 f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054 那么方程 3 2 2 2 0x x x    的一个近似根(精确到 0.1)为 ( ) A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5 17、方程 22 3x x   的实数解的个数为 . 18、已知函数 2 2( ) ( 1) 2f x x a x a     的一个零点比 1大,一个零点比 1小,求实数 a的取值范围。 19、判断函数 2 32( ) 4 3 f x x x x   在区间[ 1,1] 上零点的个数,并说明理由。 20 、求函数 3 2( ) 2 3 6f x x x x    的一个正数零点(精确度 0.1). 【课后作业】 1、下列函数图象与 x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( ) 2、设 2( ) 3xf x x  ,则在下列区间中,使函数 )(xf 有零点的区间是 ( ) A、[0,1] B、[1,2] C、[-2,-1] D、[-1,0] 3、已知 )(xf 唯一的零点在区间 (1,3)、 (1, 4)、 (1,5)内,那么下面命题错误的 ( ) A、函数 )(xf 在 (1, 2)或 2,3 内有零点 B、函数 )(xf 在 (3,5)内无零点 C、函数 )(xf 在 (2,5)内有零点 D、函数 )(xf 在 (2, 4)内不一定有零点 4、若函数 3( ) 3f x x x a   有 3个不同的零点,则实数 a的取值范围是 ( ) A、  2,2 B、 2,2 C、  , 1  D、  1, 5、函数 xxxf ln)(  的零点所在的区间为 ( ) A、(-1,0) B、(0,1) C、(1,2) D、(1,e) 6、求函数 132)( 3  xxxf 零点的个数为 ( ) A、1 B、 2 C、3 D、 4 7 、 如 果 二 次 函 数 2 3y x x m    有 两 个 不 同 的 零 点 , 则 m 的 取 值 范 围 是 ( ) A、 11( , ) 4  B、 11( , ) 2  C、 11( , ) 4  D、 11( , ) 2  8、方程 0lg  xx 根的个数为 ( ) A、无穷多Error! No bookmark name given. B、3 C、1 D、0 9、用二分法求方程 ( ) 0f x  在(1,2)内近似解的过程中得 (1) 0, (1.5) 0, (1.25) 0f f f   f(1)<0,则方程的 根在区间 ( ) A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定 10、设函数 f(x)=1 3 x-lnx(x>0),则 y=f(x) ( ) A、在区间 1 e ,1 ,(1,e)内均有零点 B、在区间 1 e ,1 ,(1,e)内均无零点 C、在区间 1 e ,1 内有零点,在区间(1,e)内无零点 D、在区间 1 e ,1 内无零点,在区间(1,e)内有零点 11、设函数 21( ) ln 1( 0) 2 f x x x x    ,则函数 ( )y f x ( ) A、在区间(0,1),(1,2)内均有零点 B、在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点 C、在区间(0,1),(1,2)内均无零点 D、在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点 12、用二分法研究函数 13)( 3  xxxf 的零点时,第一次经计算 0)5.0(0)0(  ff , ,可得其中一个零点 0x , 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( ) A、(0,0.5), )25.0(f B、(0,1), )25.0(f C、(0.5,1), )75.0(f D、(0,0.5), )125.0(f 13、函数 22)( 3  xxf x 在区间(0,1)内的零点个数是 ( ) A、0 B、1 C、2 D、3 14 、( 已 知 函 数 ( ) log ( 0, 1).af x x x b a a    且 当 2 3 4a   是 , 函 数 ( )f x 的 零 点 * 0 ( , 1), ,x n n n N   则 n= . 15、用二分法求函数 ( )y f x 在区间(2,4)上的近似解,验证 f(2)·f(4)<0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,4) 的中点 x1= 2+4 2 =3,计算得 f(2)·f(x1)<0,则此时零点 x0∈________. 16、已知函数 f(x)={2x-1,x>0, -x2-2x,x≤0, 若函数 g(x)= f(x)-m有 3 个零点,则实数 m的 取值范围是________. 17、函数 65)( 2  xxxf 的零点组成的集合是 . 18、用“二分法”求方程 0523  xx 在区间[2,3]内的实根,取区间中点为 5.20 x ,那么下一个有根的 区间是 19、函数 ( ) ln 2f x x x   的零点个数为 . 20、证明方程 6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精确度 0.1). 函数与方程 【考纲说明】 2、了解函数的零点与方程根的联系,能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 3、能够根据具体函数的图像,用二分法求出相应方程的近似解。 【知识梳理】 1、函数零点的定义 (1)对于函数 )(xfy  ,我们把方程 0)( xf 的实数根叫做函数 )(xfy 的零点。 (2)方程 0)( xf 有实根函数 ( )y f x 的图像与 x轴有交点函数 ( )y f x 有零点。因此判断一个 函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程 0)( xf 是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法: 解方程 0)( xf ,所得实数根就是 ( )f x 的零点 (3)变号零点与不变号零点 ①若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 ( )f x 的变号零点。 ②若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数 ( )f x 的不变号零点。 ③若函数 ( )f x 在区间  ,a b 上的图像是一条连续的曲线,则 0)()( bfaf 是 ( )f x 在区间  ,a b 内有零点的充分 不必要条件。 2、函数零点的判定 (1)零点存在性定理:如果函数 )(xfy  在区间 ],[ ba 上的图象是连续不断的曲线,并且有 ( ) ( ) 0f a f b  , 那么,函数 )(xfy  在区间  ,a b 内有零点,即存在 ),(0 bax  ,使得 0)( 0 xf ,这个 0x 也就是方程 0)( xf 的 根。 (2)函数 )(xfy  零点个数(或方程 0)( xf 实数根的个数)确定方法 ① 代数法:函数 )(xfy  的零点 0)( xf 的根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 )(xfy  的图象联系起来,并利用函数的性质 找出零点。 (3)零点个数确定 0   )(xfy  有 2个零点 0)( xf 有两个不等实根; 0   )(xfy  有 1个零点 0)( xf 有两个相等实根; 0   )(xfy  无零点 0)( xf 无实根;对于二次函数在区间  ,a b 上的零点个数,要结合图像进行确 定. 4、二分法 (1)二分法的定义:对于在区间[ , ]a b 上连续不断且 ( ) ( ) 0f a f b  的函数 ( )y f x ,通过不断地把函数 ( )y f x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; (2)用二分法求方程的近似解的步骤: ① 确定区间[ , ]a b ,验证 ( ) ( ) 0f a f b  ,给定精确度 ; ②求区间 ( , )a b 的中点 c ; ③计算 ( )f c ; (ⅰ)若 ( ) 0f c  ,则 c就是函数的零点; (ⅱ) 若 ( ) ( ) 0f a f c  ,则令b c (此时零点 0 ( , )x a c ); (ⅲ) 若 ( ) ( ) 0f c f b  ,则令 a c (此时零点 0 ( , )x c b ); ④判断是否达到精确度 ,即 a b   ,则得到零点近似值为 a (或b );否则重复②至④步. 【经典例题】 【例 1】 函数 3( )=2 + 2xf x x  在区间 (0,1)内的零点个数是 ( ) A、0 B、1 C、2 D、3 【答案】B 【解析】解法 1:因为 (0)=1+0 2= 1f   , 3(1)=2+2 2=8f  ,即 (0) (1)<0f f 且函数 ( )f x 在 (0,1)内连 续不断,故 ( )f x 在 (0,1)内的零点个数是 1. 解法 2:设 1=2 xy , 3 2=2y x ,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知 B正确. 【例 2】 函数 f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是 ( ) A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2) 【答案】B 【解析】∵ f(-1)=2-1+3×(-1)=- 5 2 <0, f(0)=20+0=1>0, ∴ f(-1) f(0)<0. ∴ f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间为(-1,0). 【例 3】若函数 )(xf xa x a  ( 0a  且 1a  )有两个零点,则实数 a的取值范围是 . 【答案】 ),( 1 【解析】函数 )(xf = xa x a  ( 0a  且 1a  )有两个零点,方程 0 axa x 有两个不相等的实数 根,即两个函数 xay  与 axy  的图像有两个不同的交点,当 10  a 时,两个函数的图像有且仅有 一个交点,不合题意;当 1a 时,两个函数的图像有两个交点,满足题意. 【例 4】设函数 f(x) ( )x R 满足 f( x )=f(x),f(x)=f(2x),且当 [0,1]x 时,f(x)=x3.又函数 g(x)= |xcos ( )x |, 则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 1 3[ , ] 2 2  上的零点个数为 ( ) A、5 B、6 C、7 D、8 【答案】B 【解析】因为当 [0,1]x 时,f(x)=x3. 所以当 [1,2]x 时, (2 ) [0,1]x  , 3( ) (2 ) (2 )f x f x x    , 当 1[0, ] 2 x 时, ( ) cos( )g x x x ;当 1 3[ , ] 2 2 x 时, ( ) cos( )g x x x  ,注意到函数 f(x)、 g(x)都是 偶函数,且 f(0)= g(0), f(1)= g(1), 1 3( ) ( ) 0 2 2 g g  ,作出函数 f(x)、 g(x)的大致图象,函数 h(x)除了 0、 1这两个零点之外,分别在区间 1 1 1 3[ ,0] [ ] [ ] [1 ] 2 2 2 2  、0, 、 ,1、, 上各有一个零点,共有 6个零点,故选 B 【例 5】函数 2( ) cosf x x x 在区间[0,4]上的零点个数为 ( ) A、4 B、5 C、6 D、7 【答案】C 【解析】:f(x)=0,则 x=0或 cosx2=0,x2=kπ+ π 2 ,k∈Z,又 x∈[0,4],k=0,1,2,3,4,所以共有 6个解.选 C. 【例 6】函数 ( ) cosf x x x  在[0, ) 内 ( ) A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 【答案】B 【解析】解法一:数形结合法,令 ( ) cosf x x x  0 ,则 cosx x ,设函数 y x 和 cosy x , 它们在[0, ) 的图像如图所示,显然两函数的图像的交点有且只有一个,所以函数 ( ) cosf x x x  在 [0, ) 内有且仅有一个零点; 解法二:在 [ , ) 2 x    上, 1x  , cos 1x  ,所以 ( ) cosf x x x  0 ; 在 (0, ] 2 x   , 1( ) sin 0 2 f x x x     ,所以函数 ( ) cosf x x x  是增函数,又因为 (0) 1f   , ( ) 0 2 2 f     ,所以 ( ) cosf x x x  在 [0, ] 2 x   上有且只有一个零点. 【例 7】对实数 a和 b,定义运算“⊗ ”:a⊗ b= a,a-b≤1, b,a-b>1. 设函数 f(x)=(x2-2)⊗ (x-x2),x∈R,若函 数 y=f(x)-c的图象与 x轴恰有两个公共点,则实数 c的取值范围是 ( ) A、(-∞,-2]∪ -1,3 2 B、(-∞,-2]∪ -1,- 3 4 C、 -1,1 4 ∪ 1 4 ,+∞ D、 -1,- 3 4 ∪ 1 4 ,+∞ 【答案】B 【解析】f(x)= x2-2,x2-2-(x-x2)≤1, x-x2,x2-2-(x-x2)>1 = x2-2,-1≤x≤3 2 , x-x2,x<-1,或 x>3 2 , 则 f (x)的图象如图 ∵ y=f(x)-c的图象与 x轴恰有两个公共点, ∴ y=f(x)与 y=c的图象恰有两个公共点, 由图象知 c≤-2,或-10,且函数 y=x3-x-1的图象是连续的曲线,所以它在区间[1,1.5] 内有零点,用二分法逐次计算,列表如下: 区间 中点值 中点函数近似值 (1,1.5) 1.25 -0.3 (1.25,1.5) 1.375 0.22 (1.25,1.375) 1.312 5 -0.05 (1.312 5,1.375) 1.343 75 0.08 由于|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1, 所以函数的一个近似零点为 1.312 5. 【课堂练习】 1、在下列区间中,函数 ( ) 4 3xf x e x   的零点所在的区间为 ( ) A、 1( ,0) 4  B、 1(0, ) 4 C、 1 1( , ) 4 2 D、 1 3( , ) 2 4 2、若 0x 是方程 lg 2x x  的解,则 0x 属于区间 ( ) A、 (0,1) B、 (1,1.25) C、 (1.25,1.75) D、 (1.75,2) 3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( ) 4、函数 f  x =2 x +3x的零点所在的一个区间是 ( ) A.(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2) 5、设函数 f  x =4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数 f  x 不存在零点的是 ( ) A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4] 6、函数  xf = x - cos x在[0,  ﹚内 ( ) A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 7、若函数 ( )f x 的零点与 ( ) 4 2 2xg x x   的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 ( )f x 可以是( ) A、 ( ) 4 1f x x  B、 2( ) ( 1)f x x  C、 ( ) 1xf x e  D、 1( ) ln( ) 2 f x x  8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( ) A、 3( ) 8f x x  B、 ( ) ln 3f x x  C、 2( ) 2 2 2f x x x   D、 2( ) 4 1f x x x    9、函数 f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 ( ) A、       4 1, 8 1 B、       2 1, 4 1 C、       1, 2 1 D、(1,2) 10、 01lg  x x 有解的区域是 ( ) A、 (0, 1] B、 (1, 10] C、 (10, 100] D、 (100, ) 11、在下列区间中,函数 ( ) e 4 3xf x x   的零点所在的区间为 ( ) A、 1( ,0) 4  B、 1(0, ) 4 C、 1 1( , ) 4 2 D、 1 3( , ) 2 4 12、函数 2( ) logf x x x  的零点所在区间为( ) A、 1[0, ] 8 B、 1 1[ , ] 8 4 C、 1 1[ , ] 4 2 D、 1[ ,1] 2 13 、 设   833  xxf x , 用 二 分 法 求 方 程  2,10833  xxx 在 内 近 似 解 的 过 程 中 得       ,025.1,05.1,01  fff 则方程的根落在区间( ) A、 (1,1.25) B、 (1.25,1.5) C、 (1.5,2) D、不能确定 14、设函数 ( ) 4sin(2 1)f x x x   ,则在下列区间中函数 ( )f x 不.存在零点的是( ) A、 4, 2  B、  2,0 C、 0,2 D、 2,4 15、函数 2 2 3, 0 ( ) 2 ln , 0 x x x f x x x          , 零点个数为( )A、3 B、2 C、1 D、0 16、若函数 3 2( ) 2 2f x x x x    的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: f (1) = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984 f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054 那么方程 3 2 2 2 0x x x    的一个近似根(精确到 0.1)为 ( ) A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5 17、方程 22 3x x   的实数解的个数为 . 18、已知函数 2 2( ) ( 1) 2f x x a x a     的一个零点比 1大,一个零点比 1小,求实数 a的取值范围。 19、判断函数 2 32( ) 4 3 f x x x x   在区间[ 1,1] 上零点的个数,并说明理由。 20 、求函数 3 2( ) 2 3 6f x x x x    的一个正数零点(精确度 0.1). 【课后作业】 1、下列函数图象与 x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( ) 2、设 2( ) 3xf x x  ,则在下列区间中,使函数 )(xf 有零点的区间是 ( ) A、[0,1] B、[1,2] C、[-2,-1] D、[-1,0] 3、已知 )(xf 唯一的零点在区间 (1,3)、 (1, 4)、 (1,5)内,那么下面命题错误的 ( ) A、函数 )(xf 在 (1, 2)或 2,3 内有零点 B、函数 )(xf 在 (3,5)内无零点 C、函数 )(xf 在 (2,5)内有零点 D、函数 )(xf 在 (2, 4)内不一定有零点 4、若函数 3( ) 3f x x x a   有 3个不同的零点,则实数 a的取值范围是 ( ) A、  2,2 B、 2,2 C、  , 1  D、  1, 5、函数 xxxf ln)(  的零点所在的区间为 ( ) A、(-1,0) B、(0,1) C、(1,2) D、(1,e) 6、求函数 132)( 3  xxxf 零点的个数为 ( ) A、1 B、 2 C、3 D、 4 7 、 如 果 二 次 函 数 2 3y x x m    有 两 个 不 同 的 零 点 , 则 m 的 取 值 范 围 是 ( ) A、 11( , ) 4  B、 11( , ) 2  C、 11( , ) 4  D、 11( , ) 2  8、方程 0lg  xx 根的个数为 ( ) A、无穷多Error! No bookmark name given. B、3 C、1 D、0 9、用二分法求方程 ( ) 0f x  在(1,2)内近似解的过程中得 (1) 0, (1.5) 0, (1.25) 0f f f   f(1)<0,则方程的 根在区间 ( ) A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定 10、设函数 f(x)=1 3 x-lnx(x>0),则 y=f(x) ( ) A、在区间 1 e ,1 ,(1,e)内均有零点 B、在区间 1 e ,1 ,(1,e)内均无零点 C、在区间 1 e ,1 内有零点,在区间(1,e)内无零点 D、在区间 1 e ,1 内无零点,在区间(1,e)内有零点 11、设函数 21( ) ln 1( 0) 2 f x x x x    ,则函数 ( )y f x ( ) A、在区间(0,1),(1,2)内均有零点 B、在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点 C、在区间(0,1),(1,2)内均无零点 D、在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点 12、用二分法研究函数 13)( 3  xxxf 的零点时,第一次经计算 0)5.0(0)0(  ff , ,可得其中一个零点 0x , 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( ) A、(0,0.5), )25.0(f B、(0,1), )25.0(f C、(0.5,1), )75.0(f D、(0,0.5), )125.0(f 13、函数 22)( 3  xxf x 在区间(0,1)内的零点个数是 ( ) A、0 B、1 C、2 D、3 14 、( 已 知 函 数 ( ) log ( 0, 1).af x x x b a a    且 当 2 3 4a   是 , 函 数 ( )f x 的 零 点 * 0 ( , 1), ,x n n n N   则 n= . 15、用二分法求函数 ( )y f x 在区间(2,4)上的近似解,验证 f(2)·f(4)<0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,4) 的中点 x1= 2+4 2 =3,计算得 f(2)·f(x1)<0,则此时零点 x0∈________. 16、已知函数 f(x)={2x-1,x>0, -x2-2x,x≤0, 若函数 g(x)= f(x)-m有 3 个零点,则实数 m的 取值范围是________. 17、函数 65)( 2  xxxf 的零点组成的集合是 . 18、用“二分法”求方程 0523  xx 在区间[2,3]内的实根,取区间中点为 5.20 x ,那么下一个有根的 区间是 19、函数 ( ) ln 2f x x x   的零点个数为 . 20、证明方程 6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精确度 0.1). 函数与方程【参考答案】 【课堂练习】 1-16、CDCBA BACCB CCBABC 17、2 18、解:设方程 2 2( 1) 2 0x a x a     的两根分别为 1 2 1 2, ( )x x x x , 则 1 2( 1)( 1) 0x x   ,所以 1 2 1 2( ) 1 0x x x x     由韦达定理得 22 ( 1) 1 0a a     , 即 2 2 0a a   ,所以 2 1a   19、解:因为   2 71 4 1 0 3 3 f         ,   2 131 4 1 0 3 3 f      所以  f x 在区间[ 1,1] 上有零点 又   2 ' 2 9 14 2 2 2 2 2 f x x x x          当 1 1x   时,  ' 90 2 f x  所以在[ 1,1] 上单调递增函数,所以  f x 在[ 1,1] 上有且只有一个零点。 20、解 由于 (1) 6 0, (2) 4 0f f     ,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表 如下: 区间 中点 中点函数值 (1,2) 1.5 -2.625 (1.5,2) 1.75 0.234 4 (1.5,1.75) 1.625 -1.302 7 (1.625,1.75) 1.687 5 -0.561 8 (1.687 5,1.75) 1.718 75 -0.170 7 由于|1.75-1.687 5|=0.062 5<0.1, 所以可将 1.687 5 作为函数零点的近似值. 【课后作业】 1-13、BDCAB CCDAD AAB 14、2 15、(2,3) 16、 (0,1) 17、{2,3} 18、[2, 2.5) 19、2 20、证明 设函数 f(x)=2x+3x-6, ∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0, 又∵f(x)是增函数,所以函数 f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一的零点, 则方程 6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解. 设该解为 x0,则 x0∈[1,2], 取 x1=1.5,f(1.5)=1.33>0,f(1)·f(1.5)<0, ∴x0∈(1,1.5), 取 x2=1.25,f(1.25)=0.128>0, f(1)·f(1.25)<0,∴x0∈(1,1.25), 取 x3=1.125,f(1.125)=-0.445<0, f(1.125)·f(1.25)<0,∴x0∈(1.125,1.25), 取 x4=1.187 5,f(1.187 5)=-0.16<0, f(1.187 5)·f(1.25)<0, ∴x0∈(1.187 5,1.25). ∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1, ∴1.187 5可以作为这个方程的实数解.