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- 2021-06-15 发布
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2016年普通高等学校招生全国统一考试
上海理科数学
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.(2016上海,理1)设x∈R,则不等式|x-3|<1的解集为 .
答案(2,4) 由题意,得-10,b>0,若关于x,y的方程组ax+y=1x+by=1无解,则a+b的取值范围是 .
答案(2,+∞) 将方程组中的ax+y=1式化为y=1-ax,代入x+by=1,并整理,得(1-ab)x=1-b,方程组无解应该满足1-ab=0且1-b≠0,所以ab=1且b≠1,所以由基本不等式得a+b>2ab =2.
11.(2016上海,理11)无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为 .
答案4 要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为2,1,-1,0,0,0,…,所以最多由4个不同的数组成.
12.(2016上海,理12)在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=1-x2上一个动点,则BP,BA的取值范围是 .
答案[0,2] 如图,画出函数y=1-x2的图像.
当点P与点A重合时,BP·BA最大,为BA2=2,
当点P与点C重合时BP·BA最小,此时两向量垂直,
则数量积为0,所以BP·BA的取值范围为[0,2].
13.(2016上海,理13)设a,b∈R,c∈[0,2π),若对任意实数x都有2sin3x-π3=asin(bx+c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为 .
答案4 a=±2,b=±3,当a,b确定时,c唯一,故有4种组合.
14.
(2016上海,理14)如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A1A2…An的中心,A(1,0),任取不同的两点A1,A2,点P满足OP+OA1+OA2=0,则点P落在第一象限的概率是 .
答案528 共有C82=28种基本事件,其中使点P落在第一象限共有C32+2=5种基本事件,故概率为528.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生写在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.(2016上海,理15)设a∈R,则“a>1”是“a2>1”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
答案A a>1⇒a2>1,a2>1⇒a>1或a<-1,所以是充分非必要条件 ,选A.
16.
(2016上海,理16)下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是( )
A.ρ=6+5cos θ
B.ρ=6+5sin θ
C.ρ=6-5cos θ
D.ρ=6-5sin θ
答案D 依次取θ=0,π2,π,3π2,
结合图形可知 只有ρ=6-5sin θ满足,选D.
17.(2016上海,理17)已知无穷等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且limn→∞Sn=S,下列条件中,使得2Sn0,0.60,0.70时,qn>12不恒成立,舍去;
当a1<0时,qn<12,从而q2<12,选B.
18.(2016上海,理18)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题:①若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均为增函数,则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数;②若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )
A.①和②均为真命题
B.①和②均为假命题
C.①为真命题,②为假命题
D.①为假命题,②为真命题
答案D 因为f(x)=
[f(x)+g(x)]+[f(x)+h(x)]-[g(x)+h(x)]2必是以T为周期的函数,类似的,g(x),h(x)也是以T为周期的函数,所以②是真命题;增函数减增函数不一定为增函数 ,因此①是假命题.选D.
三、解答题(74分)
19.
(2016上海,理19)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕的OO1旋转一周形成圆柱,如图,AC长为2π3,A1B1长为π3,其中B与C在平面AA1O1O的同侧.
(1)求三棱锥C-O1A1B的体积;
(2)求异面直线B1C与AA1所成的角的大小.
解
20.
(本题满分14分)(2016上海,理20)有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S1中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图.
(1)求菜地内的分界线C的方程;
(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的“经验值”为83.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的经验值.
解
21.(本小题满分14分)(2016上海,理21)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
双曲线x2-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点.
(1)若l的倾斜角为π2,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设b=3,若l的斜率存在,且(F1A+F1B)·AB=0,求l的斜率.
解
22.(本小题满分16分)(2016上海,理22)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知a∈R,函数f(x)=log21x+a.
(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围;
(3)设a>0,若对任意t∈12,1,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
解
23.(本小题满分18分)(2016上海,理23)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
若无穷数列{an}满足:只要ap=aq(p,q∈N*),必有ap+1=aq+1,则称{an}具有性质P.
(1)若{an}具有性质P,且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2,a6+a7+a8=21,求a3;
(2)若无穷数列{bn}是等差数列,无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列,b1=c5=1,b3=c1=81,an=bn+cn判断{an}是否具有性质P,并说明理由;
(3)设{bn}是无穷数列,已知an+1=bn+sin an(n∈N*),求证:“对任意a1,{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”.
解
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