2020年江西省高考数学试卷（文科）【附详细答案解释、可编辑】 6页

‎2020年江西省高考数学试卷（文科）（4月份）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ ‎ ‎1. 已知全集U＝‎{-1, 0, 1, 2, 3, 4}‎，集合A＝‎{-1, 1, 2, 4}‎，集合B＝‎{x∈N|y=‎4-‎‎2‎x}‎，则A∩(‎∁‎UB)‎＝（ ） ‎ A.‎{-1, 2, 3, 4}‎ B.‎{-1, 4}‎ C.‎{-1, 2, 4}‎ D.‎‎{0, 1}‎ ‎ ‎ ‎2. 已知i为虚数单位，z⋅‎2‎‎1-i=1+2i，则复数z的虚部是（ ） ‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎i C.‎1‎‎2‎i D.‎‎1‎‎2‎ ‎ ‎ ‎3. 已知等差数列‎{an}‎满足a‎2‎‎+‎a‎4‎＝‎6‎，a‎5‎‎+‎a‎7‎＝‎10‎，则a‎18‎＝（ ） ‎ A.‎12‎ B.‎13‎ C.‎13‎‎3‎ D.‎‎14‎‎3‎ ‎ ‎ ‎4. 已知a，b∈R，则“a+2b＝‎0‎“是“ab‎=-2‎”成立的（ ） ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎5. ‎2‎‎1‎‎3‎，‎5‎‎-‎‎1‎‎2‎，log‎3‎‎2‎的大小关系是（ ） ‎ A.‎2‎‎1‎‎3‎‎<‎5‎‎-‎‎1‎‎2‎0, b>0)‎的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是（ ） ‎ A.‎(1, 3)‎ B.‎(1, 3]‎ C.‎(1, ‎3‎]‎ D.‎‎[‎3‎, 3]‎ 二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分.‎ ‎ ‎ ‎ 中华文化博大精深，丰富多彩．“纹样”是中华艺术宝库的瑰宝之一，“组合花纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某组合花纹（如图阴影部分所示）的面积，作一个半径为‎1‎的圆将其包含在内，并向该圆内随机投掷‎1000‎个点，已知恰有‎600‎个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是________‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 抛物线y＝ax‎2‎(a>0)‎的焦点与椭圆y‎2‎‎10‎‎+x‎2‎=1‎的一个焦点相同，则抛物线的准线方程是________ ‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)=log‎2‎x,x≥4‎‎2ax-3,x<4‎ ‎，对任意x‎1‎，x‎2‎‎∈(-∞, +∞)‎，都有f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎‎>0‎，则实数a的取值范围为________‎5‎‎8‎] ‎ ‎ ‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎ 在三角形ABC中，‎|AB|‎＝‎2‎，且角A，B，C满足‎2sin‎2‎C‎2‎-‎7‎‎4‎=‎1‎‎2‎cos2(A+B)‎，三角形ABC的面积的最大值为M，则M＝________ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分.‎ ‎ ‎ ‎ 千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后“…小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后“，观察了所在地区A的‎200‎天日落和夜晚天气，得到如下‎2×2‎列联表：‎ 夜晚天气 日落云里走 下雨 未下雨 出现 ‎90‎ ‎10‎ 未出现 ‎70‎ ‎30‎ 临界值表 P(K‎2‎≥k‎0‎)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k‎0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考公式：K‎2‎‎=‎n‎(ad-bc)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎ ‎ ‎（1）根据上面的列联表判断能否有‎99%‎的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关？‎ ‎（2）小波同学为进一步认识其规律，对相关数据进行分析，现从上述调查的“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取‎4‎天，再从这‎4‎天中随机抽出‎2‎天进行数据分析，求抽到的这‎2‎天中仅有‎1‎天出现“日落云里走”的概率．‎ ‎ ‎ ‎ 设Sn为等差数列‎{an}‎的前n项和，S‎7‎＝‎49‎，a‎2‎‎+‎a‎8‎＝‎18‎． ‎ ‎（1）求数列‎{an}‎的通项公式．‎ ‎ ‎ ‎（2）若S‎3‎、a‎17‎、Sm成等比数列，求S‎3m．‎ ‎ ‎ ‎ 如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线的交点，E为PD上的一点，PD⊥‎平面ABE，PA⊥‎平面ABCD，且PA＝‎2‎，AB＝‎1,AC=‎‎5‎．‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：AB⊥AD．‎ ‎ ‎ ‎（2）求三棱锥P-ABE的体积．‎ ‎ ‎ ‎ 已知离心率为‎2‎‎2‎的椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左顶点为A，左焦点为F，及点P(-4, 0)‎，且‎|OF|‎，‎|OA|‎，‎|OP|‎成等比数列． ‎ ‎（1）求椭圆C的方程．‎ ‎ ‎ ‎（2）斜率不为‎0‎的动直线l过点P且与椭圆C相交于M、N两点，记PM‎→‎‎=λPN‎→‎，线段MN上的点Q满足MQ‎→‎‎=λQN‎→‎，试求‎△OPQ（O为坐标原点）面积的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)‎＝lnx-ax． ‎ ‎（1）若函数f(x)‎在定义域上的最大值为‎1‎，求实数a的值．‎ ‎ ‎ ‎（2）设函数h(x)‎＝‎(x-2)ex+f(x)‎，当a≥1‎时，h(x)≤b对任意的x∈(‎1‎‎3‎,1])‎恒成立，求满足条件的实数b的最小整数值．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡.上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：极坐标系与参数方程]‎ ‎ ‎ ‎ 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x=-6+costy=-1+sint‎ ‎（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ-π‎4‎)-‎2‎=0‎ ‎ ‎（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程．‎ ‎ ‎ ‎（2）设点P是圆C上任一点，求点P到直线l距离的最小值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)‎＝‎|x-2|-x-1‎，函数g(x)‎＝‎-|x-4|-x+2m-1‎． ‎ ‎（1）当f(x)>0‎时，求实数x的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎（2）当g(x)‎与f(x)‎的图象有公共点时，求实数m的取值范围..‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 参考答案与试题解析 ‎2020年江西省高考数学试卷（文科）（4月份）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.【答案】‎ B ‎【解答】‎ ‎∵ 全集U＝‎{-1, 0, 1, 2, 3, 4}‎，集合A＝‎{-1, 1, 2, 4}‎，‎ 集合B＝‎{x∈N|y=‎4-‎‎2‎x}‎＝‎{0, 1, 2}‎，‎ ‎∴ ‎∁‎UB＝‎{-1, 3, 4}‎，‎ A∩(‎∁‎UB)‎‎＝‎{-1, 4}‎．‎ ‎2.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 由z⋅‎2‎‎1-i=1+2i，得z=‎(1-i)(1+2i)‎‎2‎=‎3‎‎2‎+‎1‎‎2‎i，‎ 则复数z的虚部是‎1‎‎2‎．‎ ‎3.【答案】‎ B ‎【解答】‎ ‎∵ 等差数列‎{an}‎满足a‎2‎‎+‎a‎4‎＝‎6‎，a‎5‎‎+‎a‎7‎＝‎10‎，‎ ‎∴ ‎2a‎1‎+4d=6‎‎2a‎1‎+10d=10‎‎ ‎，解可得a‎1‎‎=‎‎5‎‎3‎，d=‎‎2‎‎3‎，‎ 则a‎18‎＝a‎1‎‎+17d=‎5‎‎3‎+17×‎2‎‎3‎=13‎．‎ ‎4.【答案】‎ B ‎【解答】‎ ab‎=-2⇒a+2b‎＝‎0‎，反之不成立．‎ ‎∴ “a+2b＝‎0‎“是“ab‎=-2‎”成立的必要不充分条件．‎ ‎5.【答案】‎ D ‎【解答】‎ ‎∵ ‎2‎‎1‎‎3‎‎>‎‎2‎‎0‎＝‎1‎，‎ ‎1>log‎3‎2>log‎3‎‎3‎=‎‎1‎‎2‎‎，‎ ‎5‎​‎‎-‎‎1‎‎2‎<4‎​‎‎-‎‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎‎，‎ 则‎5‎​‎‎-‎‎1‎‎2‎0‎，且f(x)‎是增函数．故f(x)‎的零点a∈(0, 1)‎．‎ 又g(1)‎＝‎-3<0‎，g(2)‎＝ln2+3>0‎，且函数g(x)‎在‎(0, +∞)‎上递增，故b∈(1, 2)‎．‎ 所以m＝‎0‎，n＝‎1‎．故A(0, 1)‎．‎ 由‎(x-2‎)‎‎2‎+(y-1‎‎)‎‎2‎＝‎1‎得圆心为‎(2, 1)‎，半径为‎1‎．‎ 设切线为y＝kx+1‎（斜率显然存在），即kx-y+1‎＝‎0‎．‎ 所以‎|2k|‎‎1+‎k‎2‎‎=1‎，解得k=±‎‎3‎‎3‎．‎ 故切线方程为y=±‎3‎‎3‎x+1‎．‎ 故选：A．‎ ‎9.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 根据约束条件画出可行域，‎ 则实数z=‎2y-1‎x+1‎=2⋅‎y-‎‎1‎‎2‎x+1‎表示可行域内点Q和点P(-1, ‎1‎‎2‎)‎连线的斜率的最值的‎2‎倍，‎ 当Q点在原点C时，直线PC的斜率为‎1‎‎2‎，当Q点在可行域内的点B处时，直线PQ的斜率为‎-‎‎1‎‎4‎，‎ 结合直线PQ的位置可得，当点Q在可行域内运动时，其斜率的取值范围是：‎[-‎1‎‎2‎, 1]‎．‎ ‎10.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 因为AB＝AC＝AD=‎‎3‎，‎ 所以由三角形全等可得HB＝HC＝HD，‎ 即H为‎△BCD的外心，‎ 因为‎∠BCD=‎π‎2‎，则H为BD的中点，‎ 则球心在AH上，‎ 由勾股定理AH=AB‎2‎-BH‎2‎=1‎，‎ 设球O的半径为R，则R‎2‎＝‎(R-1‎)‎‎2‎+2‎，‎ 所以R=‎‎3‎‎2‎，‎ 球O的表面积为‎4πR‎2‎＝‎9π．‎ ‎11.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 当x→+∞‎，f(x)→-∞‎，排除C，D，‎ 函数的导数f'(x)=‎1‎x-‎1‎‎2‎x=‎‎2-‎x‎2‎‎2x，‎(x>0)‎，‎ 由f'(x)>0‎得‎0‎‎2‎，此时函数为减函数，即当x=‎‎2‎时，函数取得极大值，同时也是最大值f(‎2‎)=‎1‎‎2‎ln2-‎1‎‎2‎<0‎，排除B，‎ ‎12.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 设PF中点为M，左焦点为H，则OM＝PF，‎ 当点P异于双曲线的右顶点时，连接PH，根据三角形中位线性质，则‎1‎‎2‎PH＝PF，‎ 根据双曲线定义又有PH-PF＝‎2a，则PF＝‎2a，‎ 根据三角形三边关系可得：‎2a+4a>2c‎2a+2c>4a‎ ‎，即‎10)‎的焦点与椭圆y‎2‎‎10‎‎+x‎2‎=1‎的一个焦点相同，可得：‎1‎‎4a‎=3‎，‎ 所以抛物线的准线方程为：y＝‎-3‎．【答案】‎ ‎(0‎‎，‎ ‎【解答】‎ 函数f(x)=log‎2‎x,x≥4‎‎2ax-3,x<4‎ ‎，对任意x‎1‎，x‎2‎‎∈(-∞, +∞)‎，都有f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎‎>0‎，所以函数是增函数，‎ 可得：‎2a>0‎‎8a-3≤2‎‎ ‎，解得：‎06.635‎，‎ 所以有‎99%‎的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关；‎ 从“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取‎4‎天，‎ 则从出现“日落云里走”的天气中应抽取‎1‎天，‎ 从未出现“日落云里走”的天气中应抽取‎3‎天，‎ 随机抽取‎2‎天，总的情况数为‎6‎种，‎ 仅有‎1‎天出现“日落云里走”的情况数为‎3‎种，‎ 所以根据古典概型的概率公式计算得P=‎3‎‎6‎=‎‎1‎‎2‎．‎ ‎【解答】‎ 根据列联表计算K‎2‎‎=‎200‎‎×(90×30-10×70)‎‎2‎‎100×100×160×40‎=12.5>6.635‎，‎ 所以有‎99%‎的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关；‎ 从“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取‎4‎天，‎ 则从出现“日落云里走”的天气中应抽取‎1‎天，‎ 从未出现“日落云里走”的天气中应抽取‎3‎天，‎ 随机抽取‎2‎天，总的情况数为‎6‎种，‎ 仅有‎1‎天出现“日落云里走”的情况数为‎3‎种，‎ 所以根据古典概型的概率公式计算得P=‎3‎‎6‎=‎‎1‎‎2‎．【答案】‎ 设等差数列‎{an}‎的公差为d，∵ Sn为等差数列‎{an}‎的前n项和，S‎7‎＝‎49‎，a‎2‎‎+‎a‎8‎＝‎18‎，‎ ‎∴ S‎7‎‎=7a‎4‎=49‎a‎2‎‎+a‎8‎=2a‎5‎=18‎‎ ⇒a‎4‎‎=7‎a‎5‎‎=9‎ ‎，解得：d＝‎2‎．‎ ‎∴ an＝a‎4‎‎+(n-4)d＝‎2n-1‎．‎ 由（1）知：S‎​‎n=n(1+2n-1)‎‎2‎=‎n‎2‎．‎ ‎∵ S‎3‎、a‎17‎、Sm成等比数列，∴ S‎3‎Sm＝a‎17‎‎2‎，即‎9‎m‎2‎＝‎33‎‎2‎，解得m＝‎11‎．‎ 故S‎3m＝S‎33‎＝‎33‎‎2‎＝‎1089‎．‎ ‎【解答】‎ 设等差数列‎{an}‎的公差为d，∵ Sn为等差数列‎{an}‎的前n项和，S‎7‎＝‎49‎，a‎2‎‎+‎a‎8‎＝‎18‎，‎ ‎∴ S‎7‎‎=7a‎4‎=49‎a‎2‎‎+a‎8‎=2a‎5‎=18‎‎ ⇒a‎4‎‎=7‎a‎5‎‎=9‎ ‎，解得：d＝‎2‎．‎ ‎∴ an＝a‎4‎‎+(n-4)d＝‎2n-1‎．‎ 由（1）知：S‎​‎n=n(1+2n-1)‎‎2‎=‎n‎2‎．‎ ‎∵ S‎3‎、a‎17‎、Sm成等比数列，∴ S‎3‎Sm＝a‎17‎‎2‎，即‎9‎m‎2‎＝‎33‎‎2‎，解得m＝‎11‎．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 故S‎3m＝S‎33‎＝‎33‎‎2‎＝‎1089‎．【答案】‎ 证明：∵ PD⊥‎平面ABE，AB⊂‎平面ABE，∴ PD⊥AB．‎ PA⊥‎平面ABCD，AB⊂‎平面ABCD，∴ PA⊥AB．‎ 又∵ PD∩PA＝P，∴ AB⊥‎平面PAD，AD⊂‎平面PAD，∴ AB⊥AD．‎ 由（1）可知：底面ABCD为矩形，AB⊥AD，AB＝‎1‎，AC=‎‎5‎，∴ AD＝‎2‎．‎ ‎∴ ‎△PAD为等腰直角三角形，PD⊥AE，‎ ‎∴ E为PD的中点，‎ ‎∵ AD⊥PA，AD⊥AB，AD∩AB＝A，∴ AD⊥‎平面PAB．‎ ‎∴ 点E到P平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离的一半，‎ ‎∴ 三棱锥P-ABE的体积V=‎1‎‎2‎VD-PAB=‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×2×1×2=‎‎1‎‎3‎．‎ ‎【解答】‎ 证明：∵ PD⊥‎平面ABE，AB⊂‎平面ABE，∴ PD⊥AB．‎ PA⊥‎平面ABCD，AB⊂‎平面ABCD，∴ PA⊥AB．‎ 又∵ PD∩PA＝P，∴ AB⊥‎平面PAD，AD⊂‎平面PAD，∴ AB⊥AD．‎ 由（1）可知：底面ABCD为矩形，AB⊥AD，AB＝‎1‎，AC=‎‎5‎，∴ AD＝‎2‎．‎ ‎∴ ‎△PAD为等腰直角三角形，PD⊥AE，‎ ‎∴ E为PD的中点，‎ ‎∵ AD⊥PA，AD⊥AB，AD∩AB＝A，∴ AD⊥‎平面PAB．‎ ‎∴ 点E到P平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离的一半，‎ ‎∴ 三棱锥P-ABE的体积V=‎1‎‎2‎VD-PAB=‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×2×1×2=‎‎1‎‎3‎．【答案】‎ 根据题意得ca‎=‎‎2‎‎2‎a‎2‎‎=4c‎ ‎，解得c=2‎a=2‎‎2‎‎ ⇒b＝‎2‎，‎ 所以椭圆C的方程x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎．‎ 解法一：设M(x‎1‎, y‎1‎)‎，N(x‎2‎, y‎2‎)‎，Q(x‎3‎, y‎3‎)‎，则x‎1‎‎2‎‎8‎‎+y‎1‎‎2‎‎4‎=1‎x‎2‎‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎2‎‎4‎=1‎‎ ⇒x‎1‎‎2‎‎8‎‎+y‎1‎‎2‎‎4‎=1‎λ‎2‎x‎2‎‎2‎‎8‎‎+λ‎2‎y‎2‎‎2‎‎4‎=‎λ‎2‎ ‎ 相减得：‎(x‎1‎+λx‎2‎)(x‎1‎-λx‎2‎)‎‎8(1+λ)(1-λ)‎‎+‎(y‎1‎+λy‎2‎)(y‎1‎-λy‎2‎)‎‎4(1+λ)(1-λ)‎=1‎，‎‎(*)‎ 由PM‎→‎‎=λPN‎→‎，知x‎1‎‎-λx‎2‎‎1-λ‎=-4‎，y‎1‎‎-λy‎2‎‎1-λ‎=0‎，‎ 由MQ‎→‎‎=λQN‎→‎，知x‎1‎‎+λx‎2‎‎1+λ‎=‎x‎3‎，y‎1‎‎+λy‎2‎‎1+λ‎=‎y‎3‎，‎ 代入‎(*)‎式得，‎1‎‎8‎x‎3‎‎⋅(-4)+0=1‎，即x‎3‎＝‎-2‎，‎ 又因为Q在椭圆内，所以‎(-2‎‎)‎‎2‎‎8‎‎+y‎3‎‎2‎‎4‎<1⇒0<|y‎3‎|<‎‎2‎，‎ 所以‎​‎‎△OPQ面积S=‎1‎‎2‎×4|y‎3‎|=2|y‎3‎|∈(0, 2‎2‎)‎，‎ 解法二：设M(x‎1‎, y‎1‎)‎，N(x‎2‎, y‎2‎)‎，Q(x‎3‎, y‎3‎)‎，则x‎1‎‎+4=λ(x‎2‎+4)‎y‎1‎‎=λy‎2‎‎ ‎，y‎3‎‎=‎y‎1‎‎+λy‎2‎‎1+λ，‎ 设直线l的方程为x＝ty-4‎，‎(t≠0)‎，代入椭圆C的方程得：‎ ‎(t‎2‎+2)y‎2‎-8ty+8‎‎＝‎0‎，由‎△>0‎得t‎2‎‎>2‎，‎|t|>‎‎2‎，‎ 所以‎(1+λ)y‎2‎=‎‎8tt‎2‎‎+2‎λy‎2‎‎2‎=‎‎8‎t‎2‎‎+2‎‎ ‎，消去y‎2‎得到‎(1+λ‎)‎‎2‎λ‎=‎‎8‎t‎2‎t‎2‎‎+2‎，‎ 所以y‎3‎‎=‎2λy‎2‎‎1+λ=‎2λ‎1+λ⋅‎8t‎(t‎2‎+2)(1+λ)‎=‎2λ‎(1+λ‎)‎‎2‎⋅‎8tt‎2‎‎+2‎=‎‎2‎t，‎ 因此‎△OPQ的面积S=‎1‎‎2‎×4|y‎3‎|=‎4‎‎|t|‎∈(0, 2‎2‎)‎．‎ 解法三：设直线l的方程为x＝ty-4‎，‎(t≠0)‎，代入椭圆C的方程得：‎ y‎1‎‎+y‎2‎=‎‎8tt‎2‎‎+2‎y‎1‎y‎2‎‎=‎‎8‎t‎2‎‎+2‎‎ ‎‎，‎|MN|=t‎2‎‎+1‎|y‎1‎-y‎2‎|‎，‎ PQ‎→‎‎=PM‎→‎+MQ‎→‎=λ‎1-λMN‎→‎+λ‎1+λMN‎→‎=‎‎2λ‎1-‎λ‎2‎MN‎→‎‎，‎ 原点O到直线l的距离d=‎‎4‎t‎2‎‎+1‎，‎ 所以‎△OPQ的面积S=‎1‎‎2‎×‎2λ‎|1-λ‎2‎|‎t‎2‎‎+1‎|y‎1‎-y‎2‎|‎4‎t‎2‎‎+1‎=‎4λ‎|1-λ‎2‎|‎|y‎1‎-y‎2‎|‎，‎ 因为y‎1‎＝λy‎2‎⇒λ=‎y‎1‎y‎2‎，所以S=‎4‎y‎1‎y‎2‎‎|1-y‎1‎‎2‎y‎2‎‎2‎|‎|y‎1‎-y‎2‎|=‎4‎y‎1‎y‎2‎‎|y‎1‎+y‎2‎|‎=‎4‎‎|t|‎∈(0, 2‎2‎)‎．‎ ‎【解答】‎ 根据题意得ca‎=‎‎2‎‎2‎a‎2‎‎=4c‎ ‎，解得c=2‎a=2‎‎2‎‎ ⇒b＝‎2‎，‎ 所以椭圆C的方程x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎．‎ 解法一：设M(x‎1‎, y‎1‎)‎，N(x‎2‎, y‎2‎)‎，Q(x‎3‎, y‎3‎)‎，则x‎1‎‎2‎‎8‎‎+y‎1‎‎2‎‎4‎=1‎x‎2‎‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎2‎‎4‎=1‎‎ ⇒x‎1‎‎2‎‎8‎‎+y‎1‎‎2‎‎4‎=1‎λ‎2‎x‎2‎‎2‎‎8‎‎+λ‎2‎y‎2‎‎2‎‎4‎=‎λ‎2‎ ‎ 相减得：‎(x‎1‎+λx‎2‎)(x‎1‎-λx‎2‎)‎‎8(1+λ)(1-λ)‎‎+‎(y‎1‎+λy‎2‎)(y‎1‎-λy‎2‎)‎‎4(1+λ)(1-λ)‎=1‎，‎‎(*)‎ 由PM‎→‎‎=λPN‎→‎，知x‎1‎‎-λx‎2‎‎1-λ‎=-4‎，y‎1‎‎-λy‎2‎‎1-λ‎=0‎，‎ 由MQ‎→‎‎=λQN‎→‎，知x‎1‎‎+λx‎2‎‎1+λ‎=‎x‎3‎，y‎1‎‎+λy‎2‎‎1+λ‎=‎y‎3‎，‎ 代入‎(*)‎式得，‎1‎‎8‎x‎3‎‎⋅(-4)+0=1‎，即x‎3‎＝‎-2‎，‎ 又因为Q在椭圆内，所以‎(-2‎‎)‎‎2‎‎8‎‎+y‎3‎‎2‎‎4‎<1⇒0<|y‎3‎|<‎‎2‎，‎ 所以‎​‎‎△OPQ面积S=‎1‎‎2‎×4|y‎3‎|=2|y‎3‎|∈(0, 2‎2‎)‎，‎ 解法二：设M(x‎1‎, y‎1‎)‎，N(x‎2‎, y‎2‎)‎，Q(x‎3‎, y‎3‎)‎，则x‎1‎‎+4=λ(x‎2‎+4)‎y‎1‎‎=λy‎2‎‎ ‎，y‎3‎‎=‎y‎1‎‎+λy‎2‎‎1+λ，‎ 设直线l的方程为x＝ty-4‎，‎(t≠0)‎，代入椭圆C的方程得：‎ ‎(t‎2‎+2)y‎2‎-8ty+8‎‎＝‎0‎，由‎△>0‎得t‎2‎‎>2‎，‎|t|>‎‎2‎，‎ 所以‎(1+λ)y‎2‎=‎‎8tt‎2‎‎+2‎λy‎2‎‎2‎=‎‎8‎t‎2‎‎+2‎‎ ‎，消去y‎2‎得到‎(1+λ‎)‎‎2‎λ‎=‎‎8‎t‎2‎t‎2‎‎+2‎，‎ 所以y‎3‎‎=‎2λy‎2‎‎1+λ=‎2λ‎1+λ⋅‎8t‎(t‎2‎+2)(1+λ)‎=‎2λ‎(1+λ‎)‎‎2‎⋅‎8tt‎2‎‎+2‎=‎‎2‎t，‎ 因此‎△OPQ的面积S=‎1‎‎2‎×4|y‎3‎|=‎4‎‎|t|‎∈(0, 2‎2‎)‎．‎ 解法三：设直线l的方程为x＝ty-4‎，‎(t≠0)‎，代入椭圆C的方程得：‎ y‎1‎‎+y‎2‎=‎‎8tt‎2‎‎+2‎y‎1‎y‎2‎‎=‎‎8‎t‎2‎‎+2‎‎ ‎‎，‎|MN|=t‎2‎‎+1‎|y‎1‎-y‎2‎|‎，‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 PQ‎→‎‎=PM‎→‎+MQ‎→‎=λ‎1-λMN‎→‎+λ‎1+λMN‎→‎=‎‎2λ‎1-‎λ‎2‎MN‎→‎‎，‎ 原点O到直线l的距离d=‎‎4‎t‎2‎‎+1‎，‎ 所以‎△OPQ的面积S=‎1‎‎2‎×‎2λ‎|1-λ‎2‎|‎t‎2‎‎+1‎|y‎1‎-y‎2‎|‎4‎t‎2‎‎+1‎=‎4λ‎|1-λ‎2‎|‎|y‎1‎-y‎2‎|‎，‎ 因为y‎1‎＝λy‎2‎⇒λ=‎y‎1‎y‎2‎，所以S=‎4‎y‎1‎y‎2‎‎|1-y‎1‎‎2‎y‎2‎‎2‎|‎|y‎1‎-y‎2‎|=‎4‎y‎1‎y‎2‎‎|y‎1‎+y‎2‎|‎=‎4‎‎|t|‎∈(0, 2‎2‎)‎．【答案】‎ 函数的定义域‎(0, +∞)‎，f‎'‎‎(x)=‎1‎x-a，‎ 当a≤0‎时，f‎'‎‎(x)=‎1‎x-a>0‎，函数单调递增，此时没有最大值；‎ 当a>0‎时，可得f(x)‎在‎(0, ‎1‎a)‎上单调递增，在‎(‎1‎a, +∞)‎上单调递减，‎ 所以f(x‎)‎max＝f(‎1‎a)‎＝‎-lna-1‎＝‎1‎，‎ 所以a=‎‎1‎e‎2‎，‎ 由h(x)‎＝‎(x-2)ex+f(x)‎＝‎(x-2)ex+lnx-ax≤b对任意的x∈(‎1‎‎3‎,1])‎恒成立，‎ 所以b≥(x-2)ex+lnx-ax，对任意的x∈(‎1‎‎3‎,1])‎恒成立，‎ 因为a≥1‎，x>0‎，‎ 所以‎(x-2)ex+lnx-ax≤(x-2)ex+lnx-x，‎ 只需b≥(x-2)ex+lnx-x，对任意的x∈(‎1‎‎3‎,1)‎恒成立，‎ 令g(x)‎＝‎(x-2)ex+lnx-x，则g‎'‎‎(x)=(x-1)ex+‎1‎x-1=(x-1)(ex-‎1‎x)‎，‎ 因为x∈(‎1‎‎3‎,1)‎，所以x-1<0‎，t(x)=ex-‎‎1‎x单调递增，且t(‎1‎‎2‎)<0‎，t(1)>0‎，‎ 故一定存在x‎0‎‎∈(‎1‎‎2‎,1)‎，使得t(x‎0‎)‎＝‎0‎，即ex‎0‎‎=‎‎1‎x‎0‎，x‎0‎＝‎-lnx‎0‎，‎ 所以g(x)‎单调递增区间‎(‎1‎‎3‎,x‎0‎)‎，单调递减区间‎(x‎0‎, 1)‎，‎ 所以g(x‎)‎max＝g(x‎0‎)‎＝‎(x‎0‎-2)e‎​‎x‎0‎+lnx‎0‎-‎x‎0‎＝‎1-2(x‎0‎+‎1‎x‎0‎)∈(-4, -3)‎，‎ 故b的最小值‎-3‎．‎ ‎【解答】‎ 函数的定义域‎(0, +∞)‎，f‎'‎‎(x)=‎1‎x-a，‎ 当a≤0‎时，f‎'‎‎(x)=‎1‎x-a>0‎，函数单调递增，此时没有最大值；‎ 当a>0‎时，可得f(x)‎在‎(0, ‎1‎a)‎上单调递增，在‎(‎1‎a, +∞)‎上单调递减，‎ 所以f(x‎)‎max＝f(‎1‎a)‎＝‎-lna-1‎＝‎1‎，‎ 所以a=‎‎1‎e‎2‎，‎ 由h(x)‎＝‎(x-2)ex+f(x)‎＝‎(x-2)ex+lnx-ax≤b对任意的x∈(‎1‎‎3‎,1])‎恒成立，‎ 所以b≥(x-2)ex+lnx-ax，对任意的x∈(‎1‎‎3‎,1])‎恒成立，‎ 因为a≥1‎，x>0‎，‎ 所以‎(x-2)ex+lnx-ax≤(x-2)ex+lnx-x，‎ 只需b≥(x-2)ex+lnx-x，对任意的x∈(‎1‎‎3‎,1)‎恒成立，‎ 令g(x)‎＝‎(x-2)ex+lnx-x，则g‎'‎‎(x)=(x-1)ex+‎1‎x-1=(x-1)(ex-‎1‎x)‎，‎ 因为x∈(‎1‎‎3‎,1)‎，所以x-1<0‎，t(x)=ex-‎‎1‎x单调递增，且t(‎1‎‎2‎)<0‎，t(1)>0‎，‎ 故一定存在x‎0‎‎∈(‎1‎‎2‎,1)‎，使得t(x‎0‎)‎＝‎0‎，即ex‎0‎‎=‎‎1‎x‎0‎，x‎0‎＝‎-lnx‎0‎，‎ 所以g(x)‎单调递增区间‎(‎1‎‎3‎,x‎0‎)‎，单调递减区间‎(x‎0‎, 1)‎，‎ 所以g(x‎)‎max＝g(x‎0‎)‎＝‎(x‎0‎-2)e‎​‎x‎0‎+lnx‎0‎-‎x‎0‎＝‎1-2(x‎0‎+‎1‎x‎0‎)∈(-4, -3)‎，‎ 故b的最小值‎-3‎．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡.上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：极坐标系与参数方程]【答案】‎ 圆C的参数方程为x=-6+costy=-1+sint‎ ‎（t为参数），转换为直角坐标方程为‎(x+6‎)‎‎2‎+(y+1‎‎)‎‎2‎＝‎1‎．‎ 直线l的极坐标方程为ρsin(θ-π‎4‎)-‎2‎=0‎，转换为直角坐标方程为x-y+2‎＝‎0‎．‎ 该圆的圆心‎(-6, -1)‎到直线x-y+2‎＝‎0‎的距离d=‎|-6+1+2|‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎，‎ 所以圆上的点P到直线的最小距离为‎3‎‎2‎‎2‎‎-1‎．‎ ‎【解答】‎ 圆C的参数方程为x=-6+costy=-1+sint‎ ‎（t为参数），转换为直角坐标方程为‎(x+6‎)‎‎2‎+(y+1‎‎)‎‎2‎＝‎1‎．‎ 直线l的极坐标方程为ρsin(θ-π‎4‎)-‎2‎=0‎，转换为直角坐标方程为x-y+2‎＝‎0‎．‎ 该圆的圆心‎(-6, -1)‎到直线x-y+2‎＝‎0‎的距离d=‎|-6+1+2|‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎，‎ 所以圆上的点P到直线的最小距离为‎3‎‎2‎‎2‎‎-1‎．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]【答案】‎ f(x)>0‎即‎|x-2|>x+1‎，则x-2≥0‎x-2>x+1‎‎ ‎，或x-2<0‎‎2-x>x+1‎‎ ‎，‎ 解之得无解，或x<‎‎1‎‎2‎，‎ 故实数x的取值范围为x<‎‎1‎‎2‎，‎ 因为g(x)‎与f(x)‎的图象有公共点，则‎-|x-4|-x+2m-1‎＝‎|x-2|-x-1‎有解，‎ 即‎2m＝‎|x-2|+|x-4|‎有解，‎ 因为‎2m＝‎|x-2|+|x-4|≥|x-2-(x-4)|‎＝‎2‎，‎ 即m≥1‎．‎ ‎【解答】‎ f(x)>0‎即‎|x-2|>x+1‎，则x-2≥0‎x-2>x+1‎‎ ‎，或x-2<0‎‎2-x>x+1‎‎ ‎，‎ 解之得无解，或x<‎‎1‎‎2‎，‎ 故实数x的取值范围为x<‎‎1‎‎2‎，‎ 因为g(x)‎与f(x)‎的图象有公共点，则‎-|x-4|-x+2m-1‎＝‎|x-2|-x-1‎有解，‎ 即‎2m＝‎|x-2|+|x-4|‎有解，‎ 因为‎2m＝‎|x-2|+|x-4|≥|x-2-(x-4)|‎＝‎2‎，‎ 即m≥1‎．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页