高中数学人教a版必修四课时训练：3-2 简单的三角恒等变换 3-2 word版含答案 5页

§3.2 简单的三角恒等变换 课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变 换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律． 1．半角公式 (1)Sα 2 ：sin α 2 ＝____________________； (2)Cα 2 ：cos α 2 ＝____________________________； (3)Tα 2 ：tan α 2 ＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形 式)． 2．辅助角公式 使 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______， 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定． 一、选择题 1．已知 180°<α<360°，则 cos α 2 的值等于( ) A．－ 1－cos α 2 B. 1－cos α 2 C．－ 1＋cos α 2 D. 1＋cos α 2 2．函数 y＝sin x＋π 3 ＋sin x－π 3 的最大值是( ) A．2 B．1 C.1 2 D. 3 3．函数 f(x)＝sin x－cos x，x∈ 0，π 2 的最小值为( ) A．－2 B．－ 3 C．－ 2 D．－1 4．使函数 f(x)＝sin(2x＋θ)＋ 3cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π 6 B.π 3 C.π 2 D.2π 3 5．函数 f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A. －π，－5π 6 B. －5π 6 ，－π 6 C. －π 3 ，0 D. －π 6 ，0 6．若 cos α＝－4 5 ，α是第三象限的角，则 1＋tanα 2 1－tanα 2 等于( ) A．－1 2 B.1 2 C．2 D．－2 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．函数 f(x)＝sin(2x－π 4)－2 2sin2x 的最小正周期是______． 8．已知等腰三角形底角的余弦值为2 3 ，则顶角的正弦值是________． 9．已知等腰三角形顶角的余弦值为4 5 ，则底角的正切值为________． 10. 2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计 的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正 方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么 cos 2θ的值等 于____． 三、解答题 11．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x－π 6 ＋2sin2 x－ π 12 (x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合． 12．已知向量 m＝(cos θ，sin θ)和 n＝( 2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝8 2 5 ，求 cos θ 2 ＋π 8 的值． 能力提升 13．当 y＝2cos x－3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( ) A.3 2 B．－3 2 C. 13 D．4 14．求函数 f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值． 1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借 助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝b a(或 sin φ＝ b a2＋b2 ，cos φ＝ a a2＋b2)． 3．研究形如 f(x)＝asin x＋bcos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦 函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是 高考常考的考点之一．对一些特殊的系数 a、b 应熟练掌握．例如 sin x±cos x＝ 2sin x±π 4 ； sin x± 3cos x＝2sin x±π 3 等． §3.2 简单的三角恒等变换 知识梳理 1．(1)± 1－cos α 2 (2)± 1＋cos α 2 (3)± 1－cos α 1＋cos α sin α 1＋cos α 1－cos α sin α 2. a a2＋b2 b a2＋b2 点(a，b) 作业设计 1．C 2．B [y＝2sin xcos π 3 ＝sin x．] 3．D [f(x)＝ 2sin x－π 4 ，x∈ 0，π 2 . ∵－π 4 ≤x－π 4 ≤π 4 ， ∴f(x)min＝ 2sin －π 4 ＝－1.] 4．D [f(x)＝sin(2x＋θ)＋ 3cos(2x＋θ)＝2sin 2x＋π 3 ＋θ . 当θ＝2 3π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.] 5．D [f(x)＝2sin x－π 3 ，f(x)的单调递增区间为 2kπ－π 6 ，2kπ＋5 6π (k∈Z)， 令 k＝0 得增区间为 －π 6 ，5 6π .] 6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－4 5 ， ∴sin α＝－3 5. ∴ 1＋tanα 2 1－tanα 2 ＝ 1＋ sinα 2 cosα 2 1－ sinα 2 cosα 2 ＝ cosα 2 ＋sinα 2 cosα 2 －sinα 2 ＝ cosα 2 ＋sinα 2 cosα 2 －sinα 2 · cosα 2 ＋sinα 2 cosα 2 ＋sinα 2 ＝1＋sin α cos α ＝ 1－3 5 －4 5 ＝－1 2.] 7．π 解析 f(x)＝ 2 2 sin 2x－ 2 2 cos 2x－ 2(1－cos 2x)＝ 2 2 sin 2x＋ 2 2 cos 2x－ 2 ＝sin(2x＋π 4)－ 2，∴T＝2π 2 ＝π. 8.4 5 9 解析 设α为该等腰三角形的一底角， 则 cos α＝2 3 ，顶角为 180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2 1－ 2 3 2·2 3 ＝4 5 9 . 9．3 解析 设该等腰三角形的顶角为α，则 cos α＝4 5 ， 底角大小为1 2(180°－α)． ∴tan 1 2 180°－α ＝tan 90°－α 2 ＝ 1 tan α 2 ＝1＋cos α sin α ＝ 1＋4 5 3 5 ＝3. 10. 7 25 解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈ 0，π 4 . ∴cos θ－sin θ＝1 5. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2. ∴cos θ＋sin θ＝7 5. ∴cos 2θ＝cos2 θ－sin2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝ 7 25. 11．解 (1)∵f(x)＝ 3sin2 x－ π 12 ＋1－cos2 x－ π 12 ＝2 3 2 sin2 x－ π 12 －1 2cos2 x－ π 12 ＋1 ＝2sin 2 x－ π 12 －π 6 ＋1 ＝2sin 2x－π 3 ＋1，∴T＝2π 2 ＝π. (2)当 f(x)取得最大值时，sin 2x－π 3 ＝1， 有 2x－π 3 ＝2kπ＋π 2 ， 即 x＝kπ＋5π 12 (k∈Z)， ∴所求 x 的集合为{x|x＝kπ＋5π 12 ，k∈Z}． 12．解 m＋n＝(cos θ－sin θ＋ 2，cos θ＋sin θ)， |m＋n|＝ cos θ－sin θ＋ 22＋cos θ＋sin θ2 ＝ 4＋2 2cos θ－sin θ＝ 4＋4cos θ＋π 4 ＝2 1＋cos θ＋π 4 . 由已知|m＋n|＝8 2 5 ，得 cos θ＋π 4 ＝ 7 25. 又 cos θ＋π 4 ＝2cos2 θ 2 ＋π 8 －1， 所以 cos2 θ 2 ＋π 8 ＝16 25. ∵π<θ<2π， ∴5π 8 <θ 2 ＋π 8<9π 8 . ∴cos θ 2 ＋π 8 <0. ∴cos θ 2 ＋π 8 ＝－4 5. 13．B [y＝2cos x－3sin x＝ 13 2 13 cos x－ 3 13 sin x ＝ 13(sin φcos x－cos φsin x) ＝ 13sin(φ－x)，当 sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋π 2 时，y 取到最大值． ∴φ＝2kπ＋π 2 ＋x，(k∈Z) ∴sin φ＝cos x，cos φ＝－sin x， ∴cos x＝sin φ＝ 2 13 ，sin x＝－cos φ＝－ 3 13 . ∴tan x＝－3 2.] 14．解 3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋5cos(x＋20°)sin 60° ＝11 2 sin(x＋20°)＋5 3 2 cos(x＋20°)＝ 11 2 2＋ 5 3 2 2sin(x＋20°＋φ)＝7sin(x＋20°＋φ) 其中 cos φ＝11 14 ，sin φ＝5 3 14 .所以 f(x)max＝7.