郑州一中冲刺班必背抛物线结论 3页

抛物线焦点弦性质总结 30 条 a A' C' C(X3,Y3) B' O F B(X2,Y 2) A(X1,Y 1) 基础回顾 1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切； 2. 2 12 4 pxx ; 3. 212y y p ; 4. ' 90AC B; 5. ' ' 90A FB; 6. 1 2 3 2 22 2 sin ppAB x x p x        ; 7. 1 1 2 AF BF P; 8. ,,A O B三点共线； 9. ,,B O A三点共线； 10. 2 2sinAOB PS △ ； 11. 3 2 AOBS P AB   △ （定值）； 12. 1 cos PAF   ； 1 cos PBF   ； 13. BC 垂直平分 BF ； 14. AC垂直平分 AF ； 15. ABCF  ； 16. 2AB P ； 17.  11' ' '22CC AB AA BB   ； 18. AB 3 PK=y ； 19. 2 p 2 2 ytan = x- ; 20. 2' ' 4A B AF BF; 21. 1C'F A'B'2 . 22. 切线方程  xxmyy  00 性质深究 （一)焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？ 结论 1：交点在准线上 先猜后证：当弦 xAB  轴时，则点 P 的坐标为    0,2 p 在准线上． 证明: 从略 结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？ 结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB 的弦必过焦点． 结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、AB 是抛物线 pxy 22  （p＞0）焦点弦，Q 是 AB 的中点，l 是抛物线的准线， lAA 1 ， lBB 1 ，过 A，B 的切线相交于 P，PQ 与抛物线交于点 M．则有 结论 6PA⊥PB． 结论 7PF⊥AB． 结论 8 M 平分 PQ． 结论 9 PA 平分∠A1AB，PB 平分∠B1BA． 结论 10 2 PFFBFA  结论 11 PABS 2 min p （二)非焦点弦与切线 思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时， 也有与上述结论类似结果： 结论 12 ① p yyxp 2 21 ， 2 21 yyyp  结论 13 PA 平分∠A1AB，同理 PB 平分∠B1BA． 结论 14 PFBPFA  结论 15 点 M 平分 PQ 结论 16 2 PFFBFA  相关考题 1、已知抛物线 yx 42  的焦点为 F，A，B 是抛物线上的两动点，且 FBAF  （ ＞0），过 A，B 两点分别作抛 物线的切线，设其交点为 M， （1）证明： ABFM  的值； （2）设 ABM 的面积为 S，写出  fS  的表达式，并求 S 的最小值． 2、已知抛物线 C 的方程为 ，焦点为 F，准线为 l，直线 m 交抛物线于两点 A，B； （1）过点 A 的抛物线 C 的切线与 y 轴交于点 D，求证： DFAF  ； （2）若直线 m 过焦点 F，分别过点 A，B 的两条切线相交于点 M，求证：AM⊥BM，且点 M 在直线 l 上． 3、对每个正整数 n，  nnn yxA , 是抛物线 上的点，过焦点 F 的直线 FA n 交抛物线于另一点  nnn tsB , ， （1） 试证： 4 nn sx （n≥1） （ 2 ）取 n nx 2 ，并 Cn 为 抛 物 线 上 分 别 以 An 与 Bn 为 切 点 的 两 条 切 线 的 交 点 ， 求 证 ： 122 1 21  nn nFCFCFC  （n≥1）