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  • 2021-06-15 发布

郑州一中冲刺班必背抛物线结论

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抛物线焦点弦性质总结 30 条 a A' C' C(X3,Y3) B' O F B(X2,Y 2) A(X1,Y 1) 基础回顾 1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切; 2. 2 12 4 pxx ; 3. 212y y p ; 4. ' 90AC B; 5. ' ' 90A FB; 6. 1 2 3 2 22 2 sin ppAB x x p x        ; 7. 1 1 2 AF BF P; 8. ,,A O B三点共线; 9. ,,B O A三点共线; 10. 2 2sinAOB PS △ ; 11. 3 2 AOBS P AB   △ (定值); 12. 1 cos PAF   ; 1 cos PBF   ; 13. BC 垂直平分 BF ; 14. AC垂直平分 AF ; 15. ABCF  ; 16. 2AB P ; 17.  11' ' '22CC AB AA BB   ; 18. AB 3 PK=y ; 19. 2 p 2 2 ytan = x- ; 20. 2' ' 4A B AF BF; 21. 1C'F A'B'2 . 22. 切线方程  xxmyy  00 性质深究 (一)焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有何特殊之处? 结论 1:交点在准线上 先猜后证:当弦 xAB  轴时,则点 P 的坐标为    0,2 p 在准线上. 证明: 从略 结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴. 2、上述命题的逆命题是否成立? 结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点 先猜后证:过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线,则过两切点 AB 的弦必过焦点. 结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径. 3、AB 是抛物线 pxy 22  (p>0)焦点弦,Q 是 AB 的中点,l 是抛物线的准线, lAA 1 , lBB 1 ,过 A,B 的切线相交于 P,PQ 与抛物线交于点 M.则有 结论 6PA⊥PB. 结论 7PF⊥AB. 结论 8 M 平分 PQ. 结论 9 PA 平分∠A1AB,PB 平分∠B1BA. 结论 10 2 PFFBFA  结论 11 PABS 2 min p (二)非焦点弦与切线 思考:当弦 AB 不过焦点,切线交于 P 点时, 也有与上述结论类似结果: 结论 12 ① p yyxp 2 21 , 2 21 yyyp  结论 13 PA 平分∠A1AB,同理 PB 平分∠B1BA. 结论 14 PFBPFA  结论 15 点 M 平分 PQ 结论 16 2 PFFBFA  相关考题 1、已知抛物线 yx 42  的焦点为 F,A,B 是抛物线上的两动点,且 FBAF  ( >0),过 A,B 两点分别作抛 物线的切线,设其交点为 M, (1)证明: ABFM  的值; (2)设 ABM 的面积为 S,写出  fS  的表达式,并求 S 的最小值. 2、已知抛物线 C 的方程为 ,焦点为 F,准线为 l,直线 m 交抛物线于两点 A,B; (1)过点 A 的抛物线 C 的切线与 y 轴交于点 D,求证: DFAF  ; (2)若直线 m 过焦点 F,分别过点 A,B 的两条切线相交于点 M,求证:AM⊥BM,且点 M 在直线 l 上. 3、对每个正整数 n,  nnn yxA , 是抛物线 上的点,过焦点 F 的直线 FA n 交抛物线于另一点  nnn tsB , , (1) 试证: 4 nn sx (n≥1) ( 2 )取 n nx 2 ,并 Cn 为 抛 物 线 上 分 别 以 An 与 Bn 为 切 点 的 两 条 切 线 的 交 点 , 求 证 : 122 1 21  nn nFCFCFC  (n≥1)