高中数学人教a版必修二 章末综合测评2 word版含答案 16页

章末综合测评(二) 点、直线、平面之间的 位置关系 (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若 a，b 是异面直线，直线 c∥a，则 c 与 b 的位置关系是( ) A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 【解析】 根据空间两条直线的位置关系和公理 4 可知 c 与 b 异 面或相交，但不可能平行． 【答案】 D 2．下列说法不正确的是( ) A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B．同一平面的两条垂线一定共面 C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线 都在同一个平面内 D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 【解析】 A、B、C 显然正确．易知过一条直线有无数个平面与 已知平面垂直．选 D. 【答案】 D 3．(2015·太原高二检测)l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列 命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3 共面 D．l1，l2，l3 共点⇒l1，l2，l3 共面 【解析】 对于 A，通过常见的图形正方体判断，从同一个顶点 出发的三条棱两两垂直，故 A 错；对于 B，因为 l1⊥l2，所以 l1，l2 所 成的角是 90°，又因为 l2∥l3，所以 l1，l3 所成的角是 90°，所以 l1⊥l3， 故 B 对；对于 C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故 C 错； 对于 D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故 D 错．故选 B. 【答案】 B 4．设 a、b 为两条直线，α、β为两个平面，则正确的命题是( ) 【导学号：09960089】 A．若 a、b 与α所成的角相等，则 a∥b B．若 a∥α，b∥β，α∥β，则 a∥b C．若 a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β D．若 a⊥α，b⊥β，α⊥β，则 a⊥b 【解析】 A 中，a、b 可以平行、相交或异面；B 中，a、b 可以 平行或异面；C 中，α、β可以平行或相交． 【答案】 D 5．(2016·山西山大附中高二检测)如图 1，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别为 AA1、AB、BB1、B1C1 的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( ) 图 1 A．45° B．60° C．90° D．120° 【解析】 如图，连接 A1B、BC1、A1C1，则 A1B＝BC1＝A1C1， 且 EF∥A1B、GH∥BC1， 所以异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 60°. 【答案】 B 6．设 l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是 ( ) A．若 l∥α，l∥β，则α∥β B．若 l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若 l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β 【解析】 选项 A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交， 故选项 A 错误；选项 B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项 B 正确；选项 C，由条件应得α⊥β，故选项 C 错误；选项 D，l 与β的 位置不确定，故选项 D 错误．故选 B. 【答案】 B 7．(2015·洛阳高一检测)如图 2，△ADB 和△ADC 都是以 D 为直 角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是( ) 图 2 A．AD⊥平面 BDC B．BD⊥平面 ADC C．DC⊥平面 ABD D．BC⊥平面 ABD 【解析】 由题可知，AD⊥BD，AD⊥DC，所以 AD⊥平面 BDC， 又△ABD 与△ADC 均为以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以 AB ＝AC，BD＝DC＝ 2 2 AB. 又∠BAC＝60°，所以△ABC 为等边三角形，故 BC＝AB＝ 2BD， 所以∠BDC＝90°，即 BD⊥DC. 所以 BD⊥平面 ADC，同理 DC⊥平面 ABD. 所以 A、B、C 项均正确．选 D. 【答案】 D 8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12， 底面对角线的长为 2 6，则侧面与底面所成的二面角为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】 由棱锥体积公式可得底面边长为 2 3，高为 3，在底面 正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影， 根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为 tan θ＝ 3(设θ为所求平面角)，所以二面角为 60°，选 C. 【答案】 C 9．将正方形 ABCD 沿 BD 折成直二面角，M 为 CD 的中点，则 ∠AMD 的大小是( ) A．45° B．30° C．60° D．90° 【解析】 如图，设正方形边长为 a，作 AO⊥BD，则 AM＝ AO2＋OM2＝ 2 2 a 2＋ 1 2a 2＝ 3 2 a， 又 AD＝a，DM＝a 2 ，∴AD2＝DM2＋AM2，∴∠AMD＝90°. 【答案】 D 10．在矩形 ABCD 中，若 AB＝3，BC＝4，PA⊥平面 AC，且 PA ＝1，则点 P 到对角线 BD 的距离为( ) A. 29 2 B.13 5 C.17 5 D. 119 5 【解析】 如图，过点 A 作 AE⊥BD 于点 E，连接 PE. ∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥BD，∴BD⊥平面 PAE， ∴BD⊥PE. ∵AE＝AB·AD BD ＝12 5 ，PA＝1， ∴PE＝ 1＋ 12 5 2＝13 5 . 【答案】 B 11．(2016·大连高一检测)已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面垂 直，体积为9 4 ，底面是边长为 3的正三角形．若 P 为底面 A1B1C1 的中 心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( ) 【导学号：09960090】 A．75° B．60° C．45° D．30° 【解析】 如图所示，P 为正三角形 A1B1C1 的中心，设 O 为△ABC 的中心，由题意知：PO⊥平面 ABC，连接 OA，则∠PAO 即为 PA 与平 面 ABC 所成的角． 在正三角形 ABC 中，AB＝BC＝AC＝ 3， 则 S＝ 3 4 ×( 3)2＝3 3 4 ， VABCA1B1C1＝S×PO＝9 4 ，∴PO＝ 3. 又 AO＝ 3 3 × 3＝1， ∴tan ∠PAO＝PO AO ＝ 3，∴∠PAO＝60°. 【答案】 B 12．正方体 ABCDA1B1C1D1 中，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂 足为点 H.以下结论中，错误的是( ) A．点 H 是△A1BD 的垂心 B．AH⊥平面 CB1D1 C．AH 的延长线经过点 C1 D．直线 AH 和 BB1 所成的角为 45° 【解析】 因为 AH⊥平面 A1BD， BD⊂平面 A1BD， 所以 BD⊥AH.又 BD⊥AA1，且 AH∩AA1＝A. 所以 BD⊥平面 AA1H.又 A1H⊂平面 AA1H. 所以 A1H⊥BD， 同理可证 BH⊥A1D， 所以点 H 是△A1BD 的垂心，A 正确． 因为平面 A1BD∥平面 CB1D1， 所以 AH⊥平面 CB1D1，B 正确． 易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂 直，所以 AC1 和 AH 重合．故 C 正确． 因为 AA1∥BB1，所以∠A1AH 为直线 AH 和 BB1 所成的角． 因为∠AA1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故 D 错误． 【答案】 D 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在 题中的横线上) 13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线 AB 与 CD 交于 点 S，且点 S 位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则 SD＝ ________. 【解析】 由面面平行的性质得 AC∥BD，AS BS ＝CS SD ，解得 SD＝9. 【答案】 9 14．如图 3，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 是 SA 上一点，当点 E 满足条件：________时，SC∥平面 EBD. 图 3 【解析】 当 E 是 SA 的中点时， 连接 EB，ED，AC. 设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 EO. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴点 O 是 AC 的中点． 又 E 是 SA 的中点， ∴OE 是△SAC 的中位线． ∴OE∥SC. ∵SC⊄平面 EBD，OE⊂平面 EBD， ∴SC∥平面 EBD. 【答案】 E 是 SA 的中点 15．如图 4 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN 等于________． 图 4 【解析】 ∵B1C1⊥平面 A1ABB1， MN⊂平面 A1ABB1， ∴B1C1⊥MN，又∠B1MN 为直角， ∴B1M⊥MN，而 B1M∩B1C1＝B1. ∴MN⊥平面 MB1C1，又 MC1⊂平面 MB1C1， ∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°. 【答案】 90° 16．已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD， 点 E、F 分别是棱 PC、PD 的中点，则 ①棱 AB 与 PD 所在直线垂直； ②平面 PBC 与平面 ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线 AE 与直线 BF 是异面直线． 以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 【解析】 由条件可得 AB⊥平面 PAD， ∴AB⊥PD，故①正确； 若平面 PBC⊥平面 ABCD，由 PB⊥BC， 得 PB⊥平面 ABCD，从而 PA∥PB，这是不可能的，故②错；S△PCD ＝1 2CD·PD，S△PAB＝1 2AB·PA， 由 AB＝CD，PD>PA 知③正确； 由 E、F 分别是棱 PC、PD 的中点， 可得 EF∥CD，又 AB∥CD， ∴EF∥AB，故 AE 与 BF 共面，④错． 【答案】 ①③ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)如图 5 所示，已知△ABC 中，∠ACB＝90°， SA⊥平面 ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥平面 SBC. 图 5 【证明】 ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC. 又∵SA⊥平面 ABC， ∴SA⊥BC，∵SA∩AC＝A， ∴BC⊥平面 SAC，∴BC⊥AD. 又∵SC⊥AD，SC∩BC＝C， ∴AD⊥平面 SBC. 18．(本小题满分 12 分)如图 6，三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面 垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点 D 是 AB 的中点． 图 6 (1)求证：AC⊥B1C； (2)求证：AC1∥平面 CDB1. 【证明】 (1)∵C1C⊥平面 ABC，∴C1C⊥AC. ∵AC＝9，BC＝12，AB＝15， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴AC⊥BC. 又 BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面 BCC1B1， 而 B1C⊂平面 BCC1B1， ∴AC⊥B1C. (2)连接 BC1 交 B1C 于 O 点，连接 OD.如图，∵O，D 分别为 BC1， AB 的中点，∴OD∥AC1.又 OD⊂平面 CDB1，AC1⊄平面 CDB1.∴AC1∥ 平面 CDB1. 19．(本小题满分 12 分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如 图 7 所示，P 是正方形 ABCD 对角线的交点，G 是 PB 的中点． (1)根据三视图，画出该几何体的直观图； (2)在直观图中，①证明：PD∥面 AGC； ②证明：面 PBD⊥面 AGC. 图 7 【解】 (1)该几何体的直观图如图所示： (2)证明：①连接 AC，BD 交于点 O，连接 OG，因为 G 为 PB 的 中点，O 为 BD 的中点，所以 OG∥PD. ②连接 PO，由三视图知，PO⊥平面 ABCD，所以 AO⊥PO. 又 AO⊥BO，所以 AO⊥平面 PBD. 因为 AO⊂平面 AGC， 所以平面 PBD⊥平面 AGC. 20．(本小题满分 12 分)(2016·济宁高一检测)如图 8，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝ 1. 图 8 (1)求证：AF∥平面 BDE； (2)求证：CF⊥平面 BDE. 【导学号：09960091】 【证明】 (1)如图，设 AC 与 BD 交于点 G. 因为 EF∥AG，且 EF＝1， AG＝1 2AC＝1， 所以四边形 AGEF 为平行四边形． 所以 AF∥EG. 因为 EG⊂平面 BDE，AF⊄平面 BDE， 所以 AF∥平面 BDE. (2)连接 FG， ∵EF∥CG，EF＝CG＝1， ∴四边形 CEFG 为平行四边形， 又∵CE＝EF＝1，∴▱CEFG 为菱形， ∴EG⊥CF. 在正方形 ABCD 中，AC⊥BD. ∵正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直， ∴BD⊥平面 CEFG.∴BD⊥CF. 又∵EG∩BD＝G，∴CF⊥平面 BDE. 21．(本小题满分 12 分)(2015·山东高考)如图 9，三棱台 DEFABC 中，AB＝2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点． 图 9 (1)求证：BD∥平面 FGH； (2)若 CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面 BCD⊥平面 EGH. 【解】 (1)证法一：连接 DG，CD，设 CD∩GF＝M，连接 MH. 在三棱台 DEFABC 中，AB＝2DE，G 为 AC 的中点，可得 DF∥GC， DF＝GC，所以四边形 DFCG 为平行四边形，则 M 为 CD 的中点．又 H 为 BC 的中点，所以 MH∥BD.又 MH⊂平面 FGH，BD⊄平面 FGH， 所以 BD∥平面 FGH. 证法二：在三棱台 DEFABC 中，由 BC＝2EF，H 为 BC 的中点， 可得 BH∥EF，BH＝EF，所以四边形 BHFE 为平行四边形，可得 BE∥HF. 在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF ＝H，所以平面 FGH∥平面 ABED.因为 BD⊂平面 ABED，所以 BD∥ 平面 FGH. (2)连接 HE. 因为 G，H 分别为 AC，BC 的中点， 所以 GH∥AB. 由 AB⊥BC，得 GH⊥BC. 又 H 为 BC 的中点， 所以 EF∥HC，EF＝HC， 因此四边形 EFCH 是平行四边形． 所以 CF∥HE. 又 CF⊥BC，所以 HE⊥BC. 又 HE，GH⊂平面 EGH， HE∩GH＝H， 所以 BC⊥平面 EGH. 又 BC⊂平面 BCD，所以平面 BCD⊥平面 EGH. 22．(本小题满分 12 分)(2016·重庆高一检测)如图 10 所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO⊥底面 ABCD，底面边长为 a，E 是 PC 的中点． 图 10 (1)求证：PA∥平面 BDE；平面 PAC⊥平面 BDE； (2)若二面角 EBDC 为 30°，求四棱锥 PABCD 的体积． 【解】 (1)证明： 连接 OE，如图所示． ∵O、E 分别为 AC、PC 的中点， ∴OE∥PA. ∵OE⊂平面 BDE，PA⊄平面 BDE， ∴PA∥平面 BDE. ∵PO⊥平面 ABCD，∴PO⊥BD. 在正方形 ABCD 中，BD⊥AC， 又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面 PAC. 又∵BD⊂平面 BDE，∴平面 PAC⊥平面 BDE. (2)取 OC 中点 F，连接 EF. ∵E 为 PC 中点， ∴EF 为△POC 的中位线，∴EF∥PO. 又∵PO⊥平面 ABCD， ∴EF⊥平面 ABCD. ∵OF⊥BD，∴OE⊥BD. ∴∠EOF 为二面角 EBDC 的平面角， ∴∠EOF＝30°. 在 Rt△OEF 中， OF＝1 2OC＝1 4AC＝ 2 4 a， ∴EF＝OF·tan 30°＝ 6 12a，∴OP＝2EF＝ 6 6 a. ∴VPABCD＝1 3 ×a2× 6 6 a＝ 6 18a3.