2015-2016学年湖北省黄冈市高一（上）期末数学试卷 10页

‎2015-2016学年湖北省黄冈市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎ ‎ ‎1. 设集合M={x|x‎2‎=x}‎，N={x|lgx≤0}‎，则M∪N=‎‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎[0, 1]‎ B.‎(0, 1]‎ C.‎[0, 1)‎ D.‎‎(−∞, 1]‎ ‎ ‎ ‎2. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（ ） ‎ A.y=cosx B.y=sinx C.y=lnx D.‎y=‎‎1‎x ‎ ‎ ‎3. 下列各组向量中可以作为基底的是（ ） ‎ A.a‎→‎‎=(0, 0)‎，b‎→‎‎=(1, −2)‎ B.a‎→‎‎=(1, 2)‎，b‎→‎‎=(3, 4)‎ C.a‎→‎‎=(3, 5)‎，b‎→‎‎=(6, 10)‎ D.a‎→‎‎=(2, −3)‎，b‎→‎‎=(−2, 3)‎ ‎ ‎ ‎ ‎4. 要得到函数y‎=‎sin(4x−π‎3‎)‎的图象，只需要将函数y‎=‎sin4x的图象（        ）个单位． ‎ A.向左平移π‎12‎ B.向右平移π‎12‎ C.向左平移π‎3‎ D.向右平移π‎3‎ ‎ ‎ ‎5. 在等腰三角形ABC中，BC=4‎，AB=AC，则BA‎→‎‎⋅BC‎→‎=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎−4‎ B.‎4‎ C.‎−8‎ D.‎‎8‎ ‎ ‎ ‎6. 如果一个点既在对数函数的图象上又在指数函数的图象上，那么称这个点为“幸运点”，在下列的五个点M(1, 1)‎，N(1, 2)‎，P(2, 1)‎，Q(2, 2)‎，G(2, ‎1‎‎2‎)‎中，“幸运点”有多少个（ ） ‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ ‎ ‎ ‎7. 已知函数f(x)=x(ex+ae‎−x)(x∈R)‎，若函数f(x)‎是偶函数，记a=m，若函数f(x)‎为奇函数，记a=n，则m+2n的值为(        ) ‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎−1‎ ‎ ‎ ‎8. 若sinθ=‎k+1‎k−3‎，cosθ=‎k−1‎k−3‎，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为（ ） ‎ A.‎3‎‎4‎ B.‎3‎‎4‎或‎0‎ C.‎0‎ D.以上答案都不对 ‎ ‎ ‎ ‎9. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)‎（A，ω均为正的常数，φ为锐角）的最小正周期为π，当x=‎‎2π‎3‎时，函数f(x)‎取得最小值，记a=f(0)‎，b=f(π‎3‎)‎，c=f(π‎12‎)‎，则有（ ） ‎ A.a=b0, a≠1)‎的定义域和值域都是‎[−1, 0]‎，则a+b=‎________． ‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎ ‎ ‎ 已知a=log‎8‎27‎，则‎2‎a‎+‎2‎‎−a=‎________． ‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎ ‎ ‎ 已知方程x‎2‎‎+px+q=0‎的两个不相等实根为α，β．集合A={α, β}‎，B={2, 4, 5, 6}‎，C={1, 2, 3, 4}‎，A∩C=A，A∩B=⌀‎，求p，q的值？ ‎ ‎ ‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m‎→‎‎=(‎2‎‎2‎, −‎2‎‎2‎)‎，n‎→‎‎=(sinx, cosx)‎，x∈(0, π‎2‎)‎． ‎ ‎(1)‎‎ 若m‎→‎‎⊥‎n‎→‎，求tanx的值；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎‎ 若m‎→‎与n‎→‎的夹角为π‎3‎，求sinx+cosx的值．‎ ‎ ‎ ‎ 李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择： 方案一：每户每月收管理费‎2‎元，月用电不超过‎30‎度每度‎0.5‎元，超过‎30‎度时，超过部分按每度‎0.6‎元． 方案二：不收管理费，每度‎0.58‎元． ‎ ‎(1)‎‎ 求方案一收费L(x)‎元与用电量x（度）间的函数关系；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎‎ 李刚家九月份按方案一交费‎35‎元，问李刚家该月用电多少度？‎ ‎ ‎ ‎(3)‎‎ 李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？‎ ‎ ‎ ‎ 如图，半径为‎4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动‎4‎圈，水轮圆心O距离水面‎2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻‎(P‎0‎)‎开始计算时间． ‎ ‎(1)‎‎ 求点P距离水面的高度y(m)‎与时间t(s)‎满足的函数关系；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎‎ 求点P第一次到达最高点需要的时间．‎ ‎ ‎ ‎ 若在定义域内存在实数x‎0‎，使得f(x‎0‎+1)=f(x‎0‎)+f(1)‎成立，则称函数f(x)‎是“可拆函数”． ‎ ‎(1)‎‎ 函数f(x)=‎kx是否是“可拆函数”？请说明理由；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎‎ 若函数f(x)=2x+b+‎‎2‎x是“可拆函数”，求实数b的取值范围：‎ ‎ ‎ ‎(3)‎‎ 证明：f(x)=cosx是“可拆函数”．‎ ‎ ‎ ‎ 已知集合M{h(x)|h(x)}‎的定义域为R, ‎ 且对任意x都有h(−x)=−h(x)‎设函数f(x)=‎‎−‎2‎x+a‎2‎x+1‎‎+b（a，b为常数）． ‎ ‎(1)‎‎ 当a=b=1‎时，判断是否有f(x)∈M，说明理由；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎‎ 若函数f(x)∈M，且对任意的x都有f(x)0, a≠1)‎恒过‎(1, 0)‎点， 故M(1, 1)‎，N(1, 2)‎，一定不是幸运点， 当y=1‎时，指数函数y=ax(a>0, a≠1)‎恒过‎(0, 1)‎点， 故P(2, 1)‎也一定不是幸运点， 而Q(2, 2)‎是函数y=‎‎2‎x与y=‎log‎2‎x的交点； G(2, ‎1‎‎2‎)‎是函数y=‎‎1‎‎2‎x与y=log‎4‎x的交点； 故幸运点有‎2‎个. 故选C．‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 函数奇偶性的性质 ‎【解析】‎ 利用函数f(x)=x(ex+ae‎−x)‎是偶函数，得到g(x)=ex+ae‎−x为奇函数，然后利用g(0)=0‎，可以解得m．函数f(x)=x(ex+ae‎−x)‎是奇函数，所以g(x)=ex+ae‎−x为偶函数，可得n，即可得出结论．‎ ‎【解答】‎ 解：设g(x)=ex+ae‎−x， 因为函数f(x)=x(ex+ae‎−x)‎是偶函数， 所以g(x)=ex+ae‎−x为奇函数． 又因为函数f(x)‎的定义域为R， 所以g(0)=0‎， 即g(0)=1+a=0‎，解得a=−1‎， 所以m=−1‎． 因为函数f(x)=x(ex+ae‎−x)‎是奇函数， 所以g(x)=ex+ae‎−x为偶函数 所以‎(e‎−x+aex)=ex+ae‎−x即‎(1−a)(e‎−x−ex)=0‎对任意的x都成立 所以a=1‎，所以n=1‎， 所以m+2n=1‎ 故选B．‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 三角函数 ‎【解析】‎ 由sin‎2‎θ+cos‎2‎θ=(k+1‎k−3‎‎)‎‎2‎+(k−1‎k−3‎‎)‎‎2‎=‎2k‎2‎+2‎k‎2‎‎−6k+9‎=1‎，求出k，由此有求出tanθ．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ sinθ=‎k+1‎k−3‎，cosθ=‎k−1‎k−3‎，且θ的终边不落在坐标轴上， ∴ sin‎2‎θ+cos‎2‎θ=(k+1‎k−3‎‎)‎‎2‎+(k−1‎k−3‎‎)‎‎2‎=‎2k‎2‎+2‎k‎2‎‎−6k+9‎=1‎， 解得k=−7‎或k=1‎（舍）， ∴ sinθ=k+1‎k−3‎=‎−6‎‎−10‎=‎‎3‎‎5‎， cosθ=k−1‎k−3‎=‎−8‎‎−10‎=‎‎4‎‎5‎， ∴ tanθ=‎3‎‎5‎‎4‎‎5‎=‎‎3‎‎4‎． 故选A．‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 正弦函数的图象 ‎【解析】‎ 根据周期和对称轴作出f(x)‎的大致图象，根据函数的单调性和对称性判断大小．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ f(x)‎的周期为π，∴ ω=2‎， ∵ A>0‎，当x=‎‎2π‎3‎时，函数f(x)‎取得最小值， ∴ sin(‎4π‎3‎+φ)=−1‎， ∴ ‎4π‎3‎‎+φ=−π‎2‎+2kπ， 即φ=−‎11π‎6‎+2kπ， ∵ φ是锐角，∴ φ=‎π‎6‎． ∴ f(x)=Asin(2x+π‎6‎)‎． 令A=1‎，作出f(x)‎在一个周期内的大致函数图象， 由图象可知f(x)‎在‎[0, π‎6‎]‎上单调递增， ∴ f(0)0‎，即‎(1+2x)(1−2x)>0‎ 解得：‎−‎1‎‎2‎1‎时，函数f(x)=ax+b在定义域上是增函数， 所以‎1+b=0，‎‎1‎a‎+b=−1，‎ 解得b=−1‎，‎1‎a‎=0‎不符合题意舍去； 当‎030‎时，L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1‎， ∴ L(x)=‎‎2+0.5x,0≤x≤30,‎‎0.6x−1,x>30,‎（注：x 也可不取‎0‎）；‎ ‎(2)‎‎ 当‎0≤x≤30‎时，由L(x)=2+0.5x=35‎,得x=66‎，舍去； 当x>30‎时，由L(x)=0.6x−1=35‎得x=60‎， ∴ 李刚家该月用电‎60‎度；‎ ‎(3)‎‎ 设按第二方案收费为F(x)‎元，则F(x)=0.58x， 当‎0≤x≤30‎时，由L(x)25‎， ∴ ‎2530‎时，由L(x)30‎两种情况讨论即可；‎ ‎（2）通过分别令‎0≤x≤30‎、x>30‎时L(x)=35‎计算即得结论；‎ ‎（3）通过分别令‎0≤x≤30‎、x>30‎时L(x)<0.58x计算即得结论．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎ 当‎0≤x≤30‎时，L(x)=2+0.5x； 当x>30‎时，L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1‎， ∴ L(x)=‎‎2+0.5x,0≤x≤30,‎‎0.6x−1,x>30,‎（注：x 也可不取‎0‎）；‎ ‎(2)‎‎ 当‎0≤x≤30‎时，由L(x)=2+0.5x=35‎,得x=66‎，舍去； 当x>30‎时，由L(x)=0.6x−1=35‎得x=60‎， ∴ 李刚家该月用电‎60‎度；‎ ‎(3)‎‎ 设按第二方案收费为F(x)‎元，则F(x)=0.58x， 当‎0≤x≤30‎时，由L(x)25‎， ∴ ‎2530‎时，由L(x)−2‎.‎ ‎(3)‎‎ 证明：令f(x+1)=f(x)+f(1)‎， 即cos(x+1)=cosx+cos1‎， 即cosxcos1−sinxsin1−cosx=cos1‎， 即‎(cos1−1)cosx−sinxsin1=cos1‎， 故存在θ， 使‎(cos1−1‎)‎‎2‎+sin‎2‎1‎cos(x+θ)=cos1‎， 即‎2−2cos1‎cos(x+θ)=cos1‎， 即cos(x+θ)=‎cos1‎‎2−2cos1‎， ∵ cos‎2‎‎1−(2−2cos1)‎ ‎=cos‎2‎1+2cos1−2‎ ‎−2‎.‎ ‎(3)‎‎ 证明：令f(x+1)=f(x)+f(1)‎， 即cos(x+1)=cosx+cos1‎， 即cosxcos1−sinxsin1−cosx=cos1‎， 即‎(cos1−1)cosx−sinxsin1=cos1‎， 故存在θ， 使‎(cos1−1‎)‎‎2‎+sin‎2‎1‎cos(x+θ)=cos1‎， 即‎2−2cos1‎cos(x+θ)=cos1‎， 即cos(x+θ)=‎cos1‎‎2−2cos1‎， ∵ cos‎2‎‎1−(2−2cos1)‎ ‎=cos‎2‎1+2cos1−2‎ ‎0‎，可得‎1+‎2‎x>1‎， 即‎0<‎1‎‎2‎x‎+1‎<1‎， 则f(x)∈(−‎1‎‎2‎, ‎1‎‎2‎)‎， 由对任意的x都有f(x)0‎，可得‎1+‎2‎x>1‎， 即‎0<‎1‎‎2‎x‎+1‎<1‎， 则f(x)∈(−‎1‎‎2‎, ‎1‎‎2‎)‎， 由对任意的x都有f(x)