2020届高考文科数学二轮专题复习课件：专题2 三角函数及解三角形2-2-解答题 1 38页

第 1 课时　 三角函数的综合问题 考向一　三角函数的图象 【例 1 】 已知函数 f(x )=sin -4sin 2 ωx+2(ω>0), 其图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 . (1) 求函数 f(x ) 的解析式 ① . (2) 若将 f(x ) 的图象向左平移 m(m >0) 个单位长度得到函 数 g(x ) 的图象 ② 恰好经过点 , 求当 m 取得最小值时 , g(x ) 在 上的 单调递增区间 ③ . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 想到待定系数法求解析式 ② 想到平移变换求出函数解析式 ③ 利用数形结合思想求单调区间 【解析 】 (1) 函数 f(x )=sin -4sin 2 ωx+2= sin 2ωx- cos 2ωx+2cos 2ωx= sin 2ωx+ cos 2ωx= sin (ω>0), 根据函数 f(x ) 的 图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 , 可得函数 f(x ) 的 最小正周期为 2× , 得 ω=1, 故函数 f(x )= (2) 将 f(x ) 的图象向左平移 m(m >0) 个单位长度得到函数 g(x )= 的图象 , 根据 g(x ) 的图象恰好经过点 可得 sin =0, 即 sin =0, 所以 2m- =kπ(k∈Z),m= + (k∈Z ), 因为 m>0, 所以当 k=0 时 ,m 取得最小值 , 且最小值为 . 此时 ,g(x )= sin 令 得 故函数 g(x ) 的单调递增区间为 (k∈Z ). 结合 x∈ 可得 g(x ) 在 上的单调递增区 间为 【拓展提升 】 函数表达式 y=Asin(ωx+ φ )+B 的确定方法 字母 确定途径 说　　明 A 由最值确定 A= B 由最值确定 B= 字母 确定途径 说　　明 ω 由函数的 周期确定 利用图象中最高、最低点与 x 轴交点的横坐标确定周期 φ 由图象上的 特殊点确定 代入图象上某一个已知点的坐标 , 表示出 φ 后 , 利用已知范围求 φ 【变式训练 】 (2019 · 贵阳调研 ) 已知函数 f(x)=Asin(ωx+ φ )(A >0, ω>0,| φ |< ) 的部分图象如图所示 . (1) 求函数 f(x ) 的解析式 . (2) 将函数 y=f(x ) 的图象上各点的纵坐标保持不变 , 横 坐标缩短到原来的 倍 , 再把所得的函数图象向左平 移 个单位长度 , 得到函数 y=g(x ) 的图象 , 求函数 g(x ) 在区间 上的最小值 . 【解析 】 (1) 设函数 f(x ) 的最小正周期为 T, 由题图可知 A=1, 即 T=π, 所以 π= , 解得 ω=2, 故 f(x )=sin(2x+ φ ). 由 0=sin 可得 + φ =2kπ,k∈Z, 则 φ =2kπ- ,k∈Z , 因为 | φ |< , 所以 φ =- , 故函数 f(x ) 的解析式为 f(x )=sin (2) 根据条件得 g(x )=sin 当 x∈ 时 ,4x+ 所以当 x= 时 ,g(x ) 取得最小值 , 且 g(x) min = . 考向二　三角函数的性质 【例 2 】 已知函数 f(x)=4tan xsin (1) 求 f(x ) 的定义域与最小正周期 ① . (2) 讨论 f(x ) 在区间 上的单调性 ② . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 先化简再分析求解 ② 想到利用正弦曲线的性质求解 【解析 】 (1) 定义域 (2) 设 t=2x- , 因为 y=sin t 在 t∈ 时单调递减 , 在 t∈ 时单调递增 . 由 解得 解得 所以函数 在 上单调递增 , 在 上单 调递减 . 【拓展提升 】 1. 处理三角函数性质问题的技巧 讨论三角函数的单调性 , 研究函数的周期性、奇偶性与对称性 , 都必须首先利用辅助角公式 , 将函数化成一个角的一种三角函数 . 2. 求函数 y=Asin(ωx+ φ )(A >0) 的单调区间 (1) 当 ω>0 时 , 将 ωx+ φ 作为一个整体代入正弦函数增区间 ( 或减区间 ), 求出的区间即为 y=Asin(ωx+ φ ) 的增区间 ( 或减区间 ); (2) 当 ω<0 时 , 需先利用诱导公式变形为 y=-Asin(-ωx- φ ), 则 y=Asin(-ωx- φ ) 的增区间即为原函数的减区间 , 减区间即为原函数的增区间 . 【变式训练 】 (2017 · 浙江高考 ) 已知函数 =sin 2 x-cos 2 x- 2 sin xcos x(x∈R ). (1) 求 的值 . (2) 求 的最小正周期及单调递增区间 . 【解析 】 (1) 因为 所以 即 (2) 由 cos 2x=cos 2 x-sin 2 x 与 sin 2x=2sin xcos x 得 =-cos 2x- sin 2x=-2sin 所以 的最小正周期是 π, 由正弦函数的性质得 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ, k∈Z , 解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z , 所以 的单调递增区间是 ,k∈Z . 考向三　三角函数图象与性质的综合应用 【例 3 】 (2019 · 西安模拟 ) 已知函数 f(x )= 2sin ωxcos ωx+2 sin 2 ωx- (ω>0) 的最小正周 期为 π. (1) 求函数 f(x ) 的 单调递增区间 ① . (2) 将函数 f(x ) 的图象向左平移 个单位 , 再向上平移 1 个单位 , 得到函数 y=g(x ) 的图象 ② , 若 y=g(x ) 在 [0,b] (b>0) 上至少含有 10 个零点 , 求 b 的最小值 ③ . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 先求出函数解析式 , 再用整体法求单调区间 ② 想到平移变换求出函数解析式 ③ 想到利用正弦函数的性质求解 【解析 】 (1)f(x)=2sin ωxcos ωx + (2sin 2 ωx-1) =sin 2ωx- cos 2ωx=2sin 由最小正周期为 π, 得 ω=1, 所以 f(x)=2sin , 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 整理得 kπ- ≤x≤kx+ ,k∈Z, 所以函数 f(x ) 的单调递增区间是 ,k∈Z . (2) 将函数 f(x ) 的图象向左平移 个单位 , 再向上平移 1 个单位 , 得到 y=2sin 2x+1 的图象 , 所以 g(x )=2sin 2x +1. 令 g(x )=0, 得 x=kπ + 或 x=kπ+ (k∈Z ), 所以在 [0,π] 上恰好有两个零点 , 若 y=g(x ) 在 [0,b] 上 有 10 个零点 , 则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可 . 所以 b 的最小值为 4π+ 【拓展提升 】 1. 研究三角函数的图象与性质 , 关键是将函数化为 y= Asin(ωx+ φ )+B ( 或 y=Acos(ωx+ φ )+B ) 的形式 , 利用正余弦函数与复合函数的性质求解 . 2. 函数 y=Asin(ωx+ φ )( 或 y=Acos(ωx+ φ )) 的最小正 周期 T= . 应特别注意 y=|Asin(ωx+ φ )| 的最小正周 期为 T= . 【变式训练 】 设函数 f(x )=sin 其中 0<ω<3, 已知 =0, (1) 求 ω. (2) 将函数 y=f(x ) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ), 再将得到的图象向左平移 个单位 , 得到函数 y=g(x ) 的图象 , 求 g(x ) 在 上的最小值 . 【解析 】 (1) 因为 f(x )=sin 所以 f(x)= sinωx- cosωx-cosωx 由题设知 =0, 所以 =kπ,k∈Z . 故 ω=6k+2,k∈Z, 又 0<ω<3, 所以 ω=2. (2) 由 (1) 得 f(x )= , 所以 g(x )= 因为 当 x- 即 x=- 时 ,g(x ) 取得最小值 - .