高考数学专题复习教案： 导数的综合应用备考策略 4页

导数的综合应用 主标题：导数的综合应用备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：导数与方程，导数与不等式，导数应用，备考策略 难度：4‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一　导数在方程(函数零点)中的应用 ‎【例1】已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；‎ ‎(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．‎ 审题路线　(1)由导数的几何意义，知f′(a)＝0且f(a)＝b，解方程得a，b的值．(2)两曲线的交点问题，转化为方程x2＋xsin x＋‎ cos x－b＝0.通过判定零点个数来求解．‎ 解　由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)．‎ ‎(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．‎ 解得a＝0，b＝f(0)＝1.‎ ‎(2)设g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsin x＋cos x－b.‎ 令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0.‎ 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0，＋∞)‎ g′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎ ·  ‎1－b ·  所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.‎ ‎①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝b最多有一个交点，不合题意．‎ ‎②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0，‎ g(2b)＝4b2＋2bsin 2b＋cos 2b－b>4b－2b－1－b>0.‎ ‎∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，‎ 又y＝g(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点．‎ 故当b>1时，y＝g(x)在R上有两个零点，‎ 则曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点．‎ 综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．‎ ‎【备考策略】 (1)在解答本题(2)问时，可转化为判定f(x)＝b有两个实根时实数b应满足的条件，并注意g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数y＝f(x)的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．‎ ‎(2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.‎ 考点二　导数在不等式中的应用 ‎【例2】已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．‎ ‎(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当m≤2时，证明f(x)>0.‎ 审题路线　(1)由极值点确定出实数m的值，然后利用导数求出函数的单调区间；(2)当m≤2时，转化为求f(x)min，证明f(x)min>0.‎ 解　(1)易知f′(x)＝ex－.‎ 由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.‎ 于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，‎ ‎∴f′(x)＝ex－在(－1，＋∞)上是增函数，且f′(0)＝0.‎ 当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0.‎ 故f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎(2)当m≤2，x>－m时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)．‎ 故只需证明当m＝2时，f(x)>0.‎ 当m＝2时，f′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上单调递增．‎ 又f′(－1)＝－1<0，f′(0)＝1－>0.‎ 所以f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且－10.‎ 综上可知，当m≤2时，f(x)>0成立．‎ ‎【备考策略】 (1)第(2)问证明抓住两点：一是转化为证明当m＝2时，f(x)>0；二是依据f′(x0)＝0，准确求f(x)＝ex－ln(x＋2)的最小值．‎ ‎(2)对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化．‎ 考点三　导数与生活中的优化问题 ‎【例3】 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．‎ ‎(1)试写出y关于x的函数关系式；‎ ‎(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？‎ 解　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1，‎ 所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x ‎＝256＋(2＋)x ‎＝m＋m＋2m－256.‎ ‎(2)由(1)知，‎ 令f′(x)＝0，得＝512，所以x＝64.‎ 当00，f(x)在区间(64,640)内为增函数．‎ 所以f(x)在x＝64处取得最小值．‎ 此时n＝－1＝－1＝9.‎ 故需新建9个桥墩才能使工程的费用y最小．‎ ‎【备考策略】求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.‎