高考数学专题复习教案： 两角和与差的正弦、余弦和正切备考策略 4页

两角和与差的正弦、余弦和正切备考策略 主标题：两角和与差的正弦、余弦和正切备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：正弦公式，余弦公式，正切公式，备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容考点一　三角函数式的化简、求值问题 ‎【例1】 (1)4cos 50°－tan 40°＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D．2－1‎ ‎(2)＝________.‎ 解析　(1)4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎(2)原式＝＝＝＝＝1.‎ 答案　(1)C　(2)1‎ ‎【备考策略】 (1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；‎ ‎②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；‎ ‎③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．‎ ‎(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．‎ 考点二　三角函数的给角求值与给值求角问题 ‎【例2】 (1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；‎ ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．‎ 解　(1)∵0<β<<α<π，‎ ‎∴－<－β<，<α－<π，‎ ‎∴cos＝ ＝，‎ sin＝ ＝，‎ ‎∴cos ＝cos ‎＝coscos＋sinsin ‎＝×＋×＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ ‎(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ‎＝＝>0，‎ ‎∴0<α<，又∵tan 2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ ‎【备考策略】 (1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．‎ ‎(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．‎ 考点三　三角变换的简单应用 ‎【例3】 已知f(x)＝sin2x－2sin·sin.‎ ‎(1)若tan α＝2，求f(α)的值；‎ ‎(2)若x∈，求f(x)的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝(sin2x＋sin xcos x)＋2sin·‎ cos ‎＝＋sin 2x＋sin ‎＝＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x ‎＝(sin 2x＋cos 2x)＋.‎ 由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝.‎ cos 2α＝＝＝－.‎ 所以f(α)＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋ ‎＝sin＋.‎ 由x∈，得2x＋∈.‎ ‎∴－≤sin≤1，∴0≤f(x)≤，‎ 所以f(x)的取值范围是.‎ ‎【备考策略】 (1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2α，cos 2α化为关于正切tan α的关系式，为第(1)问铺平道路．‎ ‎(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．‎