高考数学专题复习教案： 三角函数的图象与性质备考策略 4页

三角函数的图象与性质备考策略 主标题：三角函数的图象与性质备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：三角函数，正弦函数，余弦函数，图象与性质，备考策略 难度：2‎ 重要程度：4‎ 内容 考点一　三角函数的定义域、值域问题 ‎【例1】 (1)函数y＝的定义域为________．‎ ‎(2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．‎ 解析　(1)法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，‎ 在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．‎ 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为 .‎ 法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为 .‎ 法三　sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，‎ 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.‎ 所以定义域为.‎ ‎(2)y＝3－sin x－2cos2x ‎＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2sin2 x－sin x＋1，‎ 令sin x＝t∈，‎ ‎∴y＝2t2－t＋1＝22＋，t∈，‎ ‎∴ymin＝，ymax＝2.‎ 答案　(1)　(2)　2‎ ‎【备考策略】(1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．‎ ‎(2)三角函数值域的不同求法 ‎①利用sin x和cos x的值域直接求．‎ ‎②把形如y＝asin x＋bcos x的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．‎ ‎③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．‎ 考点二　三角函数的奇偶性、周期性和对称性 ‎【例2】 (1)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是(　　)．‎ A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)是偶函数 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)在区间上是增函数 ‎(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D. 解析　(1)f(x)＝sin＝－cos 2x，故其最小正周期为π，A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，D正确，故选C.‎ ‎(2)由题意得3cos＝3cos ‎＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，‎ 得|φ|的最小值为.‎ 答案　(1)C　(2)A ‎【备考策略】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为T＝；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx＋b的形式．‎ ‎(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．‎ 考点三　三角函数的单调性 ‎【例3】)设函数f(x)＝sin(－2x＋φ)(0＜φ＜π)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.‎ ‎(1)求φ；　(2)求函数y＝f(x)的单调区间．‎ 审题路线　令(－2)×＋φ＝＋kπ，k∈Z⇒解得φ＝？又0＜φ＜π⇒得出φ值⇒把f(x)＝sin(－2x＋φ)，化为f(x)＝－sin(2x－φ)⇒令g(x)＝sin(2x－φ)⇒求出g(x)的单调区间⇒利用f(x)与g(x)的关系求f(x)的单调区间．‎ 解　(1)令(－2)×＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 又0＜φ＜π，∴φ＝.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin＝－sin，‎ 令g(x)＝sin，‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 即g(x)的单调增区间为，k∈Z；‎ 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 即g(x)的单调减区间为(k∈Z)，‎ 故f(x)的单调增区间为(k∈Z)；‎ 单调减区间为(k∈Z).‎ ‎【备考策略】求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．‎