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- 2021-06-15 发布
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函数的单调性与最值备考策略
主标题:函数的单调性与最值备考策略
副标题:通过考点分析高考命题方向,把握高考规律,为学生备考复习打通快速通道。
关键词:函数,单调性,最值,备考策略
难度:3
重要程度:5
内容
考点一 确定函数的单调性或单调区间
【例1】 (1)判断函数f(x)=x+(k>0)在(0,+∞)上的单调性.
(2)求函数y=log(x2-4x+3)的单调区间.
解 (1)法一 任意取x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+=(x1-x2)+=(x1-x2).
当≥x1>x2>0时,x1-x2>0,1-<0,
有f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
此时,函数f(x)=x+(k>0)在(0,]上为减函数;
当x1>x2≥时,x1-x2>0,1->0,
有f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
此时,函数f(x)=x+(k>0)在[,+∞)上为增函数;
综上可知,函数f(x)=x+(k>0)在(0,]上为减函数;在[,+∞)上为增函数.
法二 f′(x)=1-,令f′(x)>0,则1->0,
解得x>或x<-(舍).令f′(x)<0,则1-<0,
解得-<x<.∵x>0,∴0<x<.
∴f(x)在(0,)上为减函数;在(,+∞)上为增函数,
也称为f(x)在(0,]上为减函数;在[,+∞)上为增函数.
(2)令u=x2-4x+3,原函数可以看作y=logu与u=x2-4x+3的复合函数.
令u=x2-4x+3>0.则x<1或x>3.
∴函数y=log(x2-4x+3)的定义域为
(-∞,1)∪(3,+∞).
又u=x2-4x+3的图象的对称轴为x=2,且开口向上,
∴u=x2-4x+3在(-∞,1)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数.而函数y=logu在(0,+∞)上是减函数,
∴y=log(x2-4x+3)的单调递减区间为(3,+∞),单调递增区间为(-∞,1).
【备考策略】(1)对于给出具体解析式的函数,证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法:①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解;②可导函数则可以利用导数解之.
(2)复合函数y=f[g(x)]的单调性规律是“同则增,异则减”,即y=f(u)与u=g(x)若具有相同的单调性,则y=f[g(x)]为增函数,若具有不同的单调性,则y=f[g(x)]必为减函数.
考点二 利用单调性求参数
【例2】 已知函数f(x)=.
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递减.
(2)函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,求实数a的取值范围.
(1)证明 任设x1<x2<-2,
则f(x1)-f(x2)=-
=-.
∵(x1+1)(x2+1)>0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(-∞,-2)上单调递减.
(2)解 法一 f(x)==a-,设x10.
由于x1