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  • 2021-06-15 发布

【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷(文科)5【附详细答案和解析_可编辑】

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‎【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷(文科)5【附详细答案和解析_可编辑】‎ 真水无香陈 tougao33‎ 学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________‎ ‎ 一、 选择题 (本题共计 8 小题 ,每题 5 分 ,共计40分 , ) ‎ ‎1. 设集合A={x|-30‎成立,则必有(        ) ‎ A.f(x)‎在R上是增函数 B.f(x)‎在R上是减函数 C.函数f(x)‎是先增加后减少 D.函数f(x)‎是先减少后增加 ‎ ‎4. 执行如图所示的程序框图,则输出结果为(        ) ‎ A.‎32‎ B.‎64‎ C.‎128‎ D.‎‎256‎ ‎ ‎ ‎5. 已知双曲线的左顶点与抛物线y‎2‎=‎2px(p>0)‎的焦点的距离为‎3‎,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为‎(-1, -1)‎,则双曲线的标准方程为( ) ‎ A.‎1‎ B.‎1‎ C.y‎2‎=‎1‎ D.y‎2‎=‎‎1‎ ‎ ‎ ‎6. 在‎△ABC中,“sinA>sinB”是“cosAb>0)‎的左右焦点分别为F‎1‎,F‎2‎,且‎|F‎1‎F‎2‎|=8‎,过左焦点F‎1‎的直线l与椭圆C交于P,Q两点,连接PF‎2‎,QF‎2‎,若三角形PQF‎2‎的周长为‎20‎,‎∠QPF‎2‎=‎‎90‎‎∘‎,则三角形PF‎1‎F‎2‎的面积为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎9‎ B.‎18‎ C.‎25‎ D.‎‎50‎ ‎ 二、 填空题 (本题共计 6 小题 ,每题 5 分 ,共计30分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎9. 已知向量a‎→‎‎=(-3, 2)‎,b‎→‎‎=(-1, 0)‎,且向量λa‎→‎+‎b‎→‎与a‎→‎‎-2‎b‎→‎垂直,则实数λ的值为________. ‎ ‎ ‎ ‎10. 若x,y满足约束条件x+y-2≤0,‎x-2y-2≤0,‎‎2x-y+2≥0,‎,则z=x-3y的最大值是________. ‎ ‎ ‎ ‎11. 抛物线 y‎2‎‎=8x 的焦点坐标为________,准线方程为________. ‎ ‎ ‎ ‎12. 已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m‎3‎. ‎ ‎ ‎ ‎13. 已知平面α,β,直线m,n.给出下列命题: ①若m // α,n // β,m // n,则α // β; ②若α // β,m // α,n // β,则m // n;‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎ ③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β; ④若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n. 其中是真命题的是________(填写所有真命题的序号). ‎ ‎ ‎ ‎14. 三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,则ba的取值范围是________. ‎ ‎ 三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,每题 13 分 ,共计78分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎15. ‎△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足‎2b-‎3‎ccosA=‎3‎acosC. ‎ ‎(1)‎求A的大小;‎ ‎(2)‎如图,若AB=4‎,AC=‎‎3‎,D为‎△ABC所在平面内一点,DB⊥AB,BC=CD,求‎△BCD的面积.‎ ‎ ‎ ‎16. 已知等差数列an满足:a‎1‎‎=2‎,且a‎1‎,a‎2‎,a‎5‎成等比数列. ‎ ‎(1)‎求数列an的通项公式.‎ ‎(2)‎求数列an的前‎10‎项之和.‎ ‎ ‎ ‎17. 某港口有一个泊位,现统计了某月‎100‎艘轮船在该泊位的停靠时间(单位:小时),如果停靠时间不足半小时按半小时计时,超过半小时不足‎1‎小时按‎1‎小时计时,依此类推,统计结果如表:‎ 停靠时间 ‎2.5‎ ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎5‎ ‎5.5‎ ‎6‎ 轮船数量 ‎12‎ ‎12‎ ‎17‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎3‎ 设该月这‎100‎艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时 . ‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时,且在一昼夜的时间段中随机到达,求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.‎ ‎ ‎ ‎18. 如图所示,在直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,AB=BB‎1‎=BC,AC‎1‎⊥‎平面A‎1‎BD,D为AC的中点. ‎ ‎(1)‎求证:B‎1‎C // ‎平面A‎1‎BD;‎ ‎(2)‎求证:B‎1‎C‎1‎‎⊥‎平面ABB‎1‎A‎1‎;‎ ‎(3)‎在CC‎1‎上是否存在一点E,使得‎∠BA‎1‎E=‎‎45‎‎∘‎,若存在,试确定E的位置,并判断平面A‎1‎BD与平面BDE是否垂直?若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎19. 已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎ ,四点A(0,-1),B(1,1),C(1,-‎2‎‎2‎),D(-1,‎2‎‎2‎)‎中恰有三点在椭圆C上. ‎ ‎(1)‎求椭圆C的方程;‎ ‎(2)‎已知直线l与椭圆C交于P,Q 两点(均异于点A),且AP与AQ的斜率 k‎1‎‎,‎k‎2‎ 满足 k‎1‎‎+k‎2‎=2‎.问直线l是否经过定点?若经过定点,请求出定点坐标;若不经过定点,说明理由‎.‎ ‎ ‎ ‎20. 已知函数f(x)=ex-1-x-ax‎2‎.‎ ‎(1)‎当x≥0‎时,若不等式f(x)≥0‎恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)‎若x>0‎,证明‎(ex-1)ln(x+1)>0‎.‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 参考答案与试题解析 ‎【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷(文科)5【附详细答案和解析_可编辑】‎ 一、 选择题 (本题共计 8 小题 ,每题 5 分 ,共计40分 ) ‎ ‎1.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解:集合A={x|-30‎成立, 即对任意两个不相等实数a,b, 若a0)‎的焦点为‎(‎,‎0)‎, 由题意可得a3‎, 双曲线的渐近线方程为yx, 抛物线的准线方程为x, 由题意可得‎1‎,•‎1‎, 解得p=‎2‎,a=‎2‎,b=‎2‎, 则双曲线的方程为(1) 故选:B.‎ ‎6.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解:由“sinA>sinB”成立, 若A是钝角,在‎△ABC中,显然有‎0cosA”; 若A不是钝角,显然有‎0cosA. 综上,“sinA>sinB”推出“cosAB, 若A不是钝角,显然有“sinA>sinB”成立, 若A是钝角,因为A+B<π,故有B<π-A<‎π‎2‎,故有sinBsinB”. 故,“sinA>sinB”是“cosA0‎,所以cosA=‎‎3‎‎2‎, 因为‎00‎,所以cosA=‎‎3‎‎2‎, 因为‎00, ‎设p(x‎1‎,y‎1‎),Q(x‎2‎,y‎2‎)‎, ‎∴ x‎1‎+x‎2‎=‎-4kt‎2k‎2‎+1‎,x‎1‎⋅x‎2‎=‎‎2t‎2‎-2‎‎2k‎2‎+1‎, ‎∵ k‎1‎+k‎2‎=2,∴ y‎1‎‎+1‎x‎1‎+y‎2‎‎+1‎x‎2‎=2, ‎‎∴ x‎2‎(y‎1‎+1)+x‎1‎(y‎2‎+1)=2x‎1‎x‎2‎, ‎‎∴ x‎2‎(kx‎1‎+t+1)+x‎1‎(kx‎2‎+t+1)-2x‎1‎x‎2‎=0, ‎‎∴ (2k-2)x‎1‎x‎2‎+(t+1)(x‎1‎+x‎2‎)=0, ‎‎∴ ‎(2k-2)(2t‎2‎-2)+(t+1)(-4kt)‎‎2k‎2‎+1‎=0, ‎即‎(2k-2)(2t‎2‎-2)+(t+1)(-4kt)=0,‎ ‎∴ -k-t‎2‎+1-kt=0,∴ (t+1)k=1-t‎2‎, ‎‎∵ t≠-1,∴ t+1≠0,∴ k=1-t,‎即t=1-k,‎ ‎∴ ‎直线l可化为y=kx+1-k即y=k(x-1)+1,‎ 这时,直线l过点‎(1,1),‎ 综上所述,直线l必过定点‎(1,1).‎ ‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎依题意得‎,A,C,D三点在椭圆上, ‎∴ ‎0‎a‎2‎‎+‎1‎b‎2‎=1,‎‎1‎a‎2‎‎+‎(‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎b‎2‎=1,‎ ‎解得a=‎2‎,b=1,‎ ∴ 椭圆C的方程为x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1.‎ ‎(2)‎若l无斜率,设l:x=t,‎则P(t,y‎0‎),Q(t,-y‎0‎),‎且t‎2‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎=1,‎ ‎∴ k‎1‎+k‎2‎=y‎0‎‎+1‎t+‎-y‎0‎+1‎t=2, ‎解得t=1,‎即l:x=1.‎ 若l有斜率,设l:y=kx+t(t≠-1)‎, 联立椭圆C消y得‎,(2k‎2‎+1)x‎2‎+4ktx+2t‎2‎-2=0,‎ Δ=(4kt‎)‎‎2‎-4(2k‎2‎+1)(2t‎2‎-2)=8(2k‎2‎-t‎2‎+1)>0, ‎设p(x‎1‎,y‎1‎),Q(x‎2‎,y‎2‎)‎, ‎∴ x‎1‎+x‎2‎=‎-4kt‎2k‎2‎+1‎,x‎1‎⋅x‎2‎=‎‎2t‎2‎-2‎‎2k‎2‎+1‎, ‎∵ k‎1‎+k‎2‎=2,∴ y‎1‎‎+1‎x‎1‎+y‎2‎‎+1‎x‎2‎=2, ‎‎∴ x‎2‎(y‎1‎+1)+x‎1‎(y‎2‎+1)=2x‎1‎x‎2‎, ‎‎∴ x‎2‎(kx‎1‎+t+1)+x‎1‎(kx‎2‎+t+1)-2x‎1‎x‎2‎=0, ‎‎∴ (2k-2)x‎1‎x‎2‎+(t+1)(x‎1‎+x‎2‎)=0, ‎‎∴ ‎(2k-2)(2t‎2‎-2)+(t+1)(-4kt)‎‎2k‎2‎+1‎=0, ‎即‎(2k-2)(2t‎2‎-2)+(t+1)(-4kt)=0,‎ ‎∴ -k-t‎2‎+1-kt=0,∴ (t+1)k=1-t‎2‎, ‎‎∵ t≠-1,∴ t+1≠0,∴ k=1-t,‎即t=1-k,‎ ‎∴ ‎直线l可化为y=kx+1-k即y=k(x-1)+1,‎ 这时,直线l过点‎(1,1),‎ 综上所述,直线l必过定点‎(1,1).‎ ‎ ‎20.【答案】‎ ‎(1)‎解:f‎'‎‎(x)=ex-1-2ax, 令h(x)=ex-1-2ax,则h‎'‎‎(x)=ex-2a. ①当‎2a≤1‎时,在‎[0, +∞)‎上,h‎'‎‎(x)≥0‎,h(x)‎单调递增,h(x)≥h(0)‎, 即f‎'‎‎(x)≥f‎'‎(0)=0‎, ∴ f(x)‎在 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎[0, +∞)‎上单调递增, ∴ f(x)≥f(0)=0‎, ∴ a≤‎‎1‎‎2‎时满足条件; ②当‎2a>1‎时,令h‎'‎‎(x)=0‎,解得x=ln2a, 当x∈(0, ln2a)‎时,h‎'‎‎(x)<0‎,h(x)‎单调递减, ∴ x∈(0, ln2a)‎时,有h(x)0‎ 时,ex‎>1+x+‎x‎2‎‎2‎, 即ex‎-1>+x+x‎2‎‎2‎=‎x‎2‎‎+2x‎2‎, 要证不等式t(ex-1)ln(x+1)>‎x‎2‎,只需证明ex‎-1>‎x‎2‎ln(x+1)‎, 只需证明x‎2‎‎+2x‎2‎‎>‎x‎2‎ln(x+1)‎,只需证ln(x+1)>‎‎2x‎2+x, 设F(x)=ln(x+1)-‎2xx+2‎(x>0)‎, 则F‎'‎‎(x)=‎1‎x+1‎-x‎2‎‎(x+2‎‎)‎‎2‎=‎x‎2‎‎(x+1)(x+2‎‎)‎‎2‎, ∴ x>0‎时,F'(x)>0‎恒成立,故F(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增, 又F(0)=0‎∴ F(x)>0‎恒成立. 所以原不等式得证.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎解:f‎'‎‎(x)=ex-1-2ax, 令h(x)=ex-1-2ax,则h‎'‎‎(x)=ex-2a. ①当‎2a≤1‎时,在‎[0, +∞)‎上,h‎'‎‎(x)≥0‎,h(x)‎单调递增,h(x)≥h(0)‎, 即f‎'‎‎(x)≥f‎'‎(0)=0‎, ∴ f(x)‎在‎[0, +∞)‎上单调递增, ∴ f(x)≥f(0)=0‎, ∴ a≤‎‎1‎‎2‎时满足条件; ②当‎2a>1‎时,令h‎'‎‎(x)=0‎,解得x=ln2a, 当x∈(0, ln2a)‎时,h‎'‎‎(x)<0‎,h(x)‎单调递减, ∴ x∈(0, ln2a)‎时,有h(x)0‎ 时,ex‎>1+x+‎x‎2‎‎2‎, 即ex‎-1>+x+x‎2‎‎2‎=‎x‎2‎‎+2x‎2‎, 要证不等式t(ex-1)ln(x+1)>‎x‎2‎,只需证明ex‎-1>‎x‎2‎ln(x+1)‎, 只需证明x‎2‎‎+2x‎2‎‎>‎x‎2‎ln(x+1)‎,只需证ln(x+1)>‎‎2x‎2+x, 设F(x)=ln(x+1)-‎2xx+2‎(x>0)‎, 则F‎'‎‎(x)=‎1‎x+1‎-x‎2‎‎(x+2‎‎)‎‎2‎=‎x‎2‎‎(x+1)(x+2‎‎)‎‎2‎, ∴ x>0‎时,F'(x)>0‎恒成立,故F(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增, 又F(0)=0‎∴ F(x)>0‎恒成立. 所以原不等式得证.‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页