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- 2021-06-15 发布
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【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（文科）5【附详细答案和解析_可编辑】
真水无香陈 tougao33
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ， ）
1. 设集合A={x|-30成立，则必有( )
A.f(x)在R上是增函数 B.f(x)在R上是减函数
C.函数f(x)是先增加后减少 D.函数f(x)是先减少后增加
4. 执行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）
A.32 B.64 C.128 D.256
5. 已知双曲线的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-1, -1)，则双曲线的标准方程为（ ）
A.1 B.1 C.y2＝1 D.y2＝1
6. 在△ABC中，“sinA>sinB”是“cosAb>0)的左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=8，过左焦点F1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，连接PF2，QF2，若三角形PQF2的周长为20，∠QPF2=90∘，则三角形PF1F2的面积为( )
A.9 B.18 C.25 D.50
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ， ）
9. 已知向量a→=(-3, 2)，b→=(-1, 0)，且向量λa→+b→与a→-2b→垂直，则实数λ的值为________．
10. 若x，y满足约束条件x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0,，则z=x-3y的最大值是________.
11. 抛物线 y2=8x 的焦点坐标为________，准线方程为________．
12. 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________m3．
13. 已知平面α，β，直线m，n．给出下列命题：
①若m // α，n // β，m // n，则α // β；
②若α // β，m // α，n // β，则m // n；
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③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．
其中是真命题的是________（填写所有真命题的序号）．
14. 三个正数a，b，c满足a≤b+c≤2a，b≤a+c≤2b，则ba的取值范围是________．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ， ）
15. △ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2b-3ccosA=3acosC．
(1)求A的大小；
(2)如图，若AB=4，AC=3，D为△ABC所在平面内一点，DB⊥AB，BC=CD，求△BCD的面积．
16. 已知等差数列an满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列an的通项公式．
(2)求数列an的前10项之和．
17. 某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位的停靠时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：
停靠时间
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
轮船数量
12
12
17
20
15
13
8
3
设该月这100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时 ．
（1）求a的值；
（2）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．
18. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1=BC，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．
(1)求证：B1C // 平面A1BD；
(2)求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
(3)在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E=45∘，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．
19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) ,四点A(0,-1),B(1,1),C(1,-22),D(-1,22)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l与椭圆C交于P,Q 两点（均异于点A），且AP与AQ的斜率 k1,k2 满足 k1+k2=2.问直线l是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，说明理由.
20. 已知函数f(x)=ex-1-x-ax2．
(1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若x>0，证明(ex-1)ln(x+1)>0．
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参考答案与试题解析
【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（文科）5【附详细答案和解析_可编辑】
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1.【答案】
C
【解答】
解：集合A={x|-30成立，
即对任意两个不相等实数a，b，
若a0)的焦点为(,0)，
由题意可得a3，
双曲线的渐近线方程为yx，
抛物线的准线方程为x，
由题意可得1，•1，
解得p＝2，a＝2，b＝2，
则双曲线的方程为（1）
故选：B．
6.【答案】
C
【解答】
解：由“sinA>sinB”成立，
若A是钝角，在△ABC中，显然有0cosA”；
若A不是钝角，显然有0cosA.
综上，“sinA>sinB”推出“cosAB，
若A不是钝角，显然有“sinA>sinB”成立，
若A是钝角，因为A+B<π，故有B<π-A<π2，故有sinBsinB”.
故，“sinA>sinB”是“cosA0，所以cosA=32，
因为00，所以cosA=32，
因为00,
设p(x1,y1),Q(x2,y2),
∴ x1+x2=-4kt2k2+1,x1⋅x2=2t2-22k2+1，
∵ k1+k2=2,∴ y1+1x1+y2+1x2=2,
∴ x2(y1+1)+x1(y2+1)=2x1x2,
∴ x2(kx1+t+1)+x1(kx2+t+1)-2x1x2=0,
∴ (2k-2)x1x2+(t+1)(x1+x2)=0,
∴ (2k-2)(2t2-2)+(t+1)(-4kt)2k2+1=0,
即(2k-2)(2t2-2)+(t+1)(-4kt)=0,
∴ -k-t2+1-kt=0,∴ (t+1)k=1-t2,
∵ t≠-1,∴ t+1≠0,∴ k=1-t,即t=1-k,
∴ 直线l可化为y=kx+1-k即y=k(x-1)+1,
这时，直线l过点(1,1),
综上所述，直线l必过定点(1,1).
【解答】
解：(1)依题意得,A,C,D三点在椭圆上，
∴ 0a2+1b2=1，1a2+(22)2b2=1，
解得a=2,b=1,
∴ 椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)若l无斜率，设l:x=t,则P(t,y0),Q(t,-y0),且t22+y02=1,
∴ k1+k2=y0+1t+-y0+1t=2,
解得t=1,即l:x=1.
若l有斜率，设l:y=kx+t(t≠-1)，
联立椭圆C消y得,(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0,
Δ=(4kt)2-4(2k2+1)(2t2-2)=8(2k2-t2+1)>0,
设p(x1,y1),Q(x2,y2),
∴ x1+x2=-4kt2k2+1,x1⋅x2=2t2-22k2+1，
∵ k1+k2=2,∴ y1+1x1+y2+1x2=2,
∴ x2(y1+1)+x1(y2+1)=2x1x2,
∴ x2(kx1+t+1)+x1(kx2+t+1)-2x1x2=0,
∴ (2k-2)x1x2+(t+1)(x1+x2)=0,
∴ (2k-2)(2t2-2)+(t+1)(-4kt)2k2+1=0,
即(2k-2)(2t2-2)+(t+1)(-4kt)=0,
∴ -k-t2+1-kt=0,∴ (t+1)k=1-t2,
∵ t≠-1,∴ t+1≠0,∴ k=1-t,即t=1-k,
∴ 直线l可化为y=kx+1-k即y=k(x-1)+1,
这时，直线l过点(1,1),
综上所述，直线l必过定点(1,1).
20.【答案】
(1)解：f'(x)=ex-1-2ax，
令h(x)=ex-1-2ax，则h'(x)=ex-2a．
①当2a≤1时，在[0, +∞)上，h'(x)≥0，h(x)单调递增，h(x)≥h(0)，
即f'(x)≥f'(0)=0，
∴ f(x)在
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[0, +∞)上单调递增，
∴ f(x)≥f(0)=0，
∴ a≤12时满足条件；
②当2a>1时，令h'(x)=0，解得x=ln2a，
当x∈(0, ln2a)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
∴ x∈(0, ln2a)时，有h(x)0 时，ex>1+x+x22，
即ex-1>+x+x22=x2+2x2，
要证不等式t(ex-1)ln(x+1)>x2，只需证明ex-1>x2ln(x+1)，
只需证明x2+2x2>x2ln(x+1)，只需证ln(x+1)>2x2+x，
设F(x)=ln(x+1)-2xx+2(x>0)，
则F'(x)=1x+1-x2(x+2)2=x2(x+1)(x+2)2，
∴ x>0时，F'(x)>0恒成立，故F(x)在(0，+∞)上单调递增，
又F(0)=0∴ F(x)>0恒成立．
所以原不等式得证.
【解答】
(1)解：f'(x)=ex-1-2ax，
令h(x)=ex-1-2ax，则h'(x)=ex-2a．
①当2a≤1时，在[0, +∞)上，h'(x)≥0，h(x)单调递增，h(x)≥h(0)，
即f'(x)≥f'(0)=0，
∴ f(x)在[0, +∞)上单调递增，
∴ f(x)≥f(0)=0，
∴ a≤12时满足条件；
②当2a>1时，令h'(x)=0，解得x=ln2a，
当x∈(0, ln2a)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
∴ x∈(0, ln2a)时，有h(x)0 时，ex>1+x+x22，
即ex-1>+x+x22=x2+2x2，
要证不等式t(ex-1)ln(x+1)>x2，只需证明ex-1>x2ln(x+1)，
只需证明x2+2x2>x2ln(x+1)，只需证ln(x+1)>2x2+x，
设F(x)=ln(x+1)-2xx+2(x>0)，
则F'(x)=1x+1-x2(x+2)2=x2(x+1)(x+2)2，
∴ x>0时，F'(x)>0恒成立，故F(x)在(0，+∞)上单调递增，
又F(0)=0∴ F(x)>0恒成立．
所以原不等式得证.
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