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- 2021-06-15 发布
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第2节 等差数列及其前n项和
考试要求 1.理解等差数列的概念;2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式;3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能利用等差数列的有关知识解决相应的问题;4.了解等差数列与一次函数的关系.
知 识 梳 理
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A=.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:Sn=na1+=.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列也为等差数列.
[常用结论与微点提醒]
1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.
2.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
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5.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( )
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )
解析 (3)若公差d=0,则通项公式不是n的一次函数.
(4)若公差d=0,则前n项和不是二次函数.
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.(老教材必修5P46AT2改编)设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )
A.31 B.32 C.33 D.34
解析 由已知可得
解得∴S8=8a1+d=32.
答案 B
3.(老教材必修5P68T8改编)在等差数列{an}中a3+a4+a5=6,则S7=( )
A.8 B.12 C.14 D.18
解析 a3+a4+a5=3a4=6,∴a4=2,S7=×7×(a1+a7)=7a4=14.
答案 C
4.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )
A.-12 B.-10 C.10 D.12
解析 设等差数列{an}的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-a1.又a1=2,∴
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d=-3,
∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.
答案 B
5.(2020·上饶模拟)已知等差数列{an},a10=10,其前10项和S10=70,则公差d=( )
A.- B. C.- D.
解析 因为S10=×10×(a1+a10)=×10×(a1+10)=70,所以a1=4,因为a10=a1+9d=10,所以d=.
答案 D
6.(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=________.
解析 由a1≠0,a2=3a1,可得d=2a1,
所以S10=10a1+d=100a1,
S5=5a1+d=25a1,所以=4.
答案 4
考点一 等差数列基本量的运算
【例1】 (1)(一题多解)(2019·江苏卷)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是________.
(2)(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
解析 (1)法一 由S9=27⇒=27⇒a1+a9=6⇒2a5=6⇒a5=3,即a1+4d=3.
又a2a5+a8=0⇒2a1+5d=0,
解得a1=-5,d=2.
故S8=8a1+d=16.
法二 同法一得a5=3.
又a2a5+a8=0⇒3a2+a8=0⇒2a2+2a5=0⇒a2=-3.
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∴d==2,a1=a2-d=-5.
故S8=8a1+d=16.
(2)设首项为a1,公差为d.
由S4=0,a5=5可得解得
所以an=-3+2(n-1)=2n-5,
Sn=n×(-3)+×2=n2-4n.
答案 (1)16 (2)A
规律方法 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
【训练1】 (2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.
(1)若 a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
解 (1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5得9a1+d=-(a1+4d),即a1+4d=0.
由a3=4得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由(1)得a1=-4d,
故an=(n-5)d,Sn=.
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于≤n-5,
即n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10,
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
考点二 等差数列的判定与证明 典例迁移
【例2】 (经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.
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(1)求证:成等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,
得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以-=2,
又==2,
故是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解 由(1)可得=2n,∴Sn=.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=-==-.
当n=1时,a1=不适合上式.
故数列{an}的通项公式为an=
【迁移1】 本例条件不变,判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由.
解 因为an=Sn-Sn-1(n≥2),an+2SnSn-1=0,
所以Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n≥2).
所以-=2(n≥2).
又==2,
所以是以2为首项,2为公差的等差数列.
所以=2+(n-1)×2=2n,故Sn=.
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,
所以an+1=,又an+1-an=-==.
所以当n≥2时,an+1-an的值不是一个与n无关的常数,故数列{an}不是等差数列.
【迁移2】 本例中,若将条件变为a1=,nan+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an
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}的通项公式.
解 由已知可得=+1,即-=1,
又a1=,
∴是以=为首项,1为公差的等差数列,
∴=+(n-1)·1=n-,
∴数列{an}的通项公式为an=n2-n.
规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法:
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数.
(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立.
2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论:
(1)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(2)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.
【训练2】 记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
解 (1)设{an}的公比为q,由题设可得
解得
故{an}的通项公式为an=(-2)n.
(2)由(1)可得Sn==-+(-1)n.
由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n
=2=2Sn,
故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
考点三 等差数列的性质及应用
【例3】 (1)(2019·安阳联考)在等差数列{an}中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5=( )
A.60 B.56 C.12 D.4
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )
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A.63 B.45 C.36 D.27
解析 (1)∵在等差数列{an}中,a2+a8=8,
∴a2+a8=a3+a7=2a5=8,解得a5=4,
所以(a3+a7)2-a5=82-4=60.
(2)由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,
即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
得到S9-S6=2S6-3S3=45,
所以a7+a8+a9=45.
答案 (1)A (2)B
规律方法 1.项的性质:在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
2.和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
(2)S2n-1=(2n-1)an.
【训练3】 (1)(2020·广东六校联考)等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值是( )
A.14 B.15 C.16 D.17
(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若=,则等于( )
A. B. C. D.
解析 (1)依题意,由a4+a6+a8+a10+a12=120,
得5a8=120,即a8=24,所以a9-a11=(3a9-a11)=(a9+a7+a11-a11)=(a9+a7)=a8=×24=16.
(2)====
==.
答案 (1)C (2)A
考点四 等差数列的最值问题 多维探究
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角度1 等差数列前n项和的最值
【例4-1】 (2019·北京卷)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.
解 (1)设{an}的公差为d.
因为a1=-10,
所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.
因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,
所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).
所以(-2+2d)2=d(-4+3d).
解得d=2.
所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-12.
(2)由(1)知,an=2n-12.
则当n≥7时,an>0;当n=6时,an=0,当n<6时,an<0;
所以Sn的最小值为S5=S6=-30.
规律方法 求等差数列前n项和的最值,常用的方法:(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值;(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数,A≠0)为二次函数,通过二次函数的性质求最值.
角度2 等差数列项的最值
【例4-2】 (2020·淮北模拟)Sn是等差数列{an}的前n项和,S2 0200.所以S4 038==2 019(a2 020+a2 019)<0,S4 039==4 039a2 020>0,可知Sn<0时n的最大值是4 038.
答案 D
规律方法 本题借助等差数列的性质求出Sn<0中n的取值范围,从而求出n的最大值,这种题型要与Sn的最值区别开来.
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【训练4】 (1)(角度1)等差数列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最小值时n的值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
(2)(角度2)设等差数列{an}满足a3+a7=36,a4a6=275,且anan+1有最小值,则这个最小值为________.
解析 (1)由d>0可得等差数列{an}是递增数列,又|a6|=|a11|,所以-a6=a11,即-a1-5d=a1+10d,所以a1=-,则a8=-<0,a9=>0,所以前8项和为前n项和的最小值.故选C.
(2)设等差数列{an}的公差为d,因为a3+a7=36,所以a4+a6=36,又a4a6=275,联立,解得或当时,可得此时an=7n-17,a2=-3,a3=4,易知当n≤2时,an<0,当n≥3时,an>0,所以a2a3=-12为anan+1的最小值;当时,可得此时an=-7n+53,a7=4,a8=-3,易知当n≤7时,an>0,当n≥8时,an<0,所以a7a8=-12为anan+1的最小值.综上,anan+1的最小值为-12.
答案 (1)C (2)-12
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2019·衡阳一模)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为( )
A.6 B.12 C.24 D.48
解析 ∵在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,
由等差数列的性质,a1+3a8+a15=5a8=120,
∴a8=24,∴a2+a14=2a8=48.
答案 D
2.(2020·河南名校联盟联合调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a7+a8+a13=,则tan S14=( )
A.- B. C.- D.
解析 ∵{an}是等差数列,且a2+a7+a8+a13=,
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∴a7+a8=,∴S14==7(a7+a8)=,
∴tan S14=tan =.
答案 D
3.(2020·武汉调研)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对任意n>1,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则S10的值为( )
A.90 B.91 C.96 D.100
解析 ∵对任意n>1,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),
∴Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,
∴an+1-an=2.
∴数列{an}在n≥2时是等差数列,公差为2.
又a1=1,a2=2,∴S10=1+9×2+×2=91.
故选B.
答案 B
4.(2019·合肥质检)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( )
A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤
解析 用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,
由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,
∴8a1+×17=996,解之得a1=65.
∴a8=65+7×17=184,即第8个儿子分到的绵是184斤.
答案 B
5.(2020·昆明诊断)等差数列{an}中,a1=2 019,a2 019=a2 015-16,则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时n的值为( )
A.504 B.505 C.506 D.507
解析 ∵数列{an}为等差数列,a2 019=a2 015-16,
∴数列{an}的公差d=-4,
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∴an=a1+(n-1)d=2 023-4n,令an≥0,得n≤.
又n∈N*,∴Sn取最大值时n的值为505.
答案 B
二、填空题
6.(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=________.
解析 ∵{an}为等差数列,a3=5,a7=13,
∴公差d===2,
首项a1=a3-2d=5-2×2=1,
∴S10=10a1+d=100.
答案 100
7.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S10=16,S100-S90=24,则S100=________.
解析 依题意,S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90依次成等差数列,设该等差数列的公差为d.又S10=16,S100-S90=24,因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得d=,因此S100=10S10+d=10×16+×=200.
答案 200
8.(多填题)(2019·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5=________,Sn的最小值为________.
解析 由题意得a2=a1+d=-3,S5=5a1+10d=-10,
解得a1=-4,d=1,
所以a5=a1+4d=0,
故an=a1+(n-1)d=n-5.
令an≤0,则n≤5,即数列{an}中前4项为负,a5=0,第6项及以后项为正.
∴Sn的最小值为S4=S5=-10.
答案 0 -10
三、解答题
9.已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.
(1)求d及Sn;
(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.
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解 (1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,
将a1=1代入上式,解得d=2或d=-5.
因为d>0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).
(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),
所以(2m+k-1)(k+1)=65.
由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,
故解得
即所求m的值为5,k的值为4.
10.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.
(1)求a及k的值;
(2)设数列{bn}的通项公式bn=,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.
(1)解 设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,
由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,
所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k,
由Sk=110,得k2+k-110=0,
解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.
(2)证明 由(1)得Sn==n(n+1),
则bn==n+1,
故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,
即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,
所以Tn==.
B级 能力提升
11.(2019·济宁模拟)设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),则a18=( )
A. B. C.3 D.
解析 令bn=nan,则2bn=bn-1+bn+1(n≥2),
所以{bn}为等差数列,
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因为b1=1,b2=4,所以公差d=3,则bn=3n-2,
所以b18=52,
则18a18=52,所以a18=.
答案 B
12.(2020·济南调研)已知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,数列{bn}满足+++…+=,数列{bn}的前n项和为Sn,则S5的值为( )
A.-454 B.-450 C.-446 D.-442
解析 ∵数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
∵数列{bn}满足+++…+=,
∴n≥2时,++…+=,
两式相减可得=-,可得bn=(1-2n)· 2n(n≥2).
n=1时,=,解得b1=2,不符合上式,
∴bn=∴S5=2-3×22-5×23-7×24-9×25=-450.
答案 B
13.(2020·广州质检)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,且对任意正整数n都有=-1,则Sn=________.
解析 对任意正整数n都有=-1,
∴=-=-1,
即-=1,又=1.
∴数列是首项与公差都为1的等差数列.
∴=1+n-1=n,解得Sn=.
答案
14.设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是a和an的等差中项.
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(1)证明:数列{an}为等差数列;
(2)若bn=-n+5,求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值.
(1)证明 由已知可得2Sn=a+an,且an>0,
当n=1时,2a1=a+a1,解得a1=1.
当n≥2时,有2Sn-1=a+an-1,
所以2an=2Sn-2Sn-1=a-a+an-an-1,
所以a-a=an+an-1,
即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1,
因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).
故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
(2)解 由(1)可知an=n,设cn=an·bn,
则cn=n(-n+5)=-n2+5n=-+,
因为n∈N*,所以n=2或3,c2=c3=6,因此当n=2或n=3时,{an·bn}取最大项,且最大项的值为6.
C级 创新猜想
15.(新背景题)(2020·晋冀鲁豫名校联考)我国南北朝时期的著作《张邱建算经》有这样一个问题:今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入,得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给,问各得金几何?则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知,两个人所得金相差数额绝对值的最小值是( )
A.斤 B.斤 C.斤 D.斤
解析 设第n个人得金an斤,由题意可知{an}是等差数列,设公差为d,
则有
解得
则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤.故选C.
答案 C
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