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  • 2021-06-15 发布

2021高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3节全称量词与存在量词逻辑联结词“且”“或”“非”教学案文北师大版

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第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”‎ ‎[最新考纲] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ ‎(对应学生用书第6页)‎ ‎1.全称量词与全称命题 ‎(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内,表示整体或全部的含义,这样的词叫作全称量词.‎ ‎(2)含有全称量词的命题,叫作全称命题.‎ ‎2.存在量词与特称命题 ‎(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义,这样的词叫作存在量词.‎ ‎(2)含有存在量词的命题,叫作特称命题.‎ ‎3.命题的否定 ‎(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.‎ ‎(2)p或q的否定:¬p且¬q;p且q的否定:¬p或¬q.‎ ‎4.逻辑联结词 ‎(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.‎ ‎(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p或q:p,q中有一个为真,则p或q为真,即有真即真.‎ ‎(2)p且q:p,q中有一个为假,则p且q为假,即有假即假.‎ ‎(3)¬p:与p的真假相反,即一真一假,真假相反.‎ ‎2.含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.‎ - 7 -‎ ‎3.命题的否定和否命题的区别:命题“若p,则q”的否定是“若p,则¬q”,否命题是“若¬p,则¬q”.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)命题“3≥2”是真命题. (  )‎ ‎(2)若命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题. (  )‎ ‎(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”. (  )‎ ‎(4)“全等三角形的面积相等”是全称命题. (  )‎ ‎[答案](1)√ (2)× (3)× (4)√‎ 二、教材改编 ‎1.命题“对任意x∈R,x2+x≥0”的否定是(  )‎ A.存在x0∈R,x+x0≤0 ‎ B.存在x0∈R,x+x0<0‎ C.对任意x∈R,x2+x≤0 ‎ D.对任意x∈R,x2+x<0‎ B [由全称命题的否定是特称命题知选项B正确.故选B.]‎ ‎2.下列命题中的假命题是(  )‎ A.存在x0∈R,lg x0=1 B.存在x0∈R,sin x0=0‎ C.对任意x∈R,x3>0 D.对任意x∈R,2x>0‎ C [当x=10时,lg 10=1,则A为真命题;当x=0时,sin 0=0,则B为真命题;当x≤0时,x3≤0,则C为假命题;由指数函数的性质知,对任意x∈R,2x>0,则D为真命题.故选C.]‎ ‎3.已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题¬p,¬q,p或q,p且q中真命题的个数为(  )‎ A.1 B.2 ‎ C.3     D.4‎ B [p和q显然都是真命题,所以¬p,¬q都是假命题,p或q,p且q都是真命题.]‎ ‎4.命题“实数的平方都是正数”的否定是________.‎ 存在一个实数的平方不是正数 [全称命题的否定是特称命题,故应填:存在一个实数的平方不是正数.]‎ ‎(对应学生用书第7页)‎ ‎⊙考点1 全称命题、特称命题 ‎(1)全称命题与特称命题的否定 - 7 -‎ ‎①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.‎ ‎②否定结论:对原命题的结论进行否定.‎ ‎(2)全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 ‎ 全称命题、特称命题的否定 ‎(1)(2019·西安模拟)命题“对任意x>0,>0”的否定是(  )‎ A.存在x<0,≤0 B.存在x>0,0≤x≤1‎ C.对任意x>0,≤0 D.对任意x<0,0≤x≤1‎ ‎(2)已知命题p:存在m∈R,f(x)=2x-mx是增函数,则¬p为(  )‎ A.存在m∈R,f(x)=2x-mx是减函数 B.对任意m∈R,f(x)=2x-mx是减函数 C.存在m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数 D.对任意m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数 ‎(1)B (2)D [(1)因为>0,所以x<0或x>1,所以>0的否定是0≤x≤1,所以命题的否定是存在x>0,0≤x≤1,故选B.‎ ‎(2)由特称命题的否定可得¬p为“对任意m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数”.]‎ ‎ 全(特)称命题的否定方法:任意x∈M,p(x) 存在x0∈M,¬p(x0),简记:改量词,否结论.‎ ‎ 全称命题、特称命题的真假判断 ‎(1)下列命题中的假命题是(  )‎ A.对任意x∈R,x2≥0‎ B.对任意x∈R,2x-1>0‎ C.存在x0∈R,lg x0<1‎ D.存在x0∈R,sin x0+cos x0=2‎ ‎(2)下列四个命题:‎ p1:存在x0∈(0,+∞),<;‎ - 7 -‎ p2:存在x0∈(0,1),logx0>logx0;‎ p3:对任意x∈(0,+∞),>logx;‎ p4:对任意x∈,<logx.‎ 其中的真命题是(  )‎ A.p1,p3  B.p1,p4 C.p2,p3  D.p2,p4‎ ‎(1)D (2)D [(1)A显然正确;由指数函数的性质知2x-1>0恒成立,所以B正确;当0<x<10时,lg x<1,所以C正确;因为sin x+cos x=sin,所以-≤sin x+cos x≤,所以D错误.‎ ‎(2)对于p1,当x0∈(0,+∞)时,总有>成立,故p1是假命题;对于p2,当x0=时,有1=log =log>log 成立,故p2是真命题;对于p3,结合指数函数y=与对数函数y=logx在(0,+∞)上的图像,可以判断p3是假命题;对于p4,结合指数函数y=与对数函数y=log x在上的图像可以判断p4是真命题.]‎ ‎ 因为命题p与¬p的真假性相反,因此不管是全称命题,还是特称命题,当其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.‎ ‎ 1.命题“任意n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(  )‎ A.对任意n∈N*,f(n)N*且f(n)>n B.对任意n∈N*,f(n)N*或f(n)>n C.存在n0∈N*,f(n0)N*且f(n0)>n0‎ D.存在n0∈N*,f(n0)N*或f(n0)>n0‎ D [“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.]‎ ‎2.已知命题p:存在x0∈,使得cos x0≤x0,则¬p为________,是________(填“真”或“假”)命题.‎ 对任意x∈,都有cos x>x 假 [¬p:对任意x∈,都有cos x>x,此命题是假命题.]‎ - 7 -‎ ‎⊙考点2 含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎ 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤 ‎(1)判断复合命题的结构;‎ ‎(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假;‎ ‎(3)依据“‘或’:一真即真;‘且’:一假即假;‘非’:真假相反”作出判断即可.‎ ‎ [一题多解]记不等式组表示的平面区域为D.命题p:存在(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:对任意(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题 ‎①p或q ②¬p或q ③p且¬q ④¬p且¬ q 这四个命题中,所有真命题的编号是(  )‎ A.①③ B.①②‎ C.②③ D.③④‎ A [法一:画出可行域如图中阴影部分所示.目标函数z=2x+y是一条平行移动的直线,且z的几何意义是直线y=2x-z的纵截距.显然,直线过点A(2,4)时,zmin=2×2+4=8,即z=2x+y≥8.∴2x+y∈[8,+∞).由此得命题p:存在(x,y)∈D,2x+y≥9正确;‎ 命题q:任意(x,y)∈D,2x+y≤12不正确.∴①③真,②④假.故选A.‎ 法二:取x=4,y=5,满足不等式组且满足2x+y≥9,不满足2x+y≤12,故p真,q假.‎ ‎∴①③真,②④假.故选A.]‎ ‎ 含逻辑联结词的命题真假的等价关系 ‎(1)p或q真⇔p,q至少一个真⇔(¬p)且(¬q)假;‎ ‎(2)p或q假⇔p,q均假⇔(¬p)且(¬q)真;‎ ‎(3)p且q真⇔p,q均真⇔(¬p)或(¬q)假;‎ ‎(4)p且q假⇔p,q至少一个假⇔(¬p)或(¬q)真;‎ ‎(5)¬p真⇔p假;¬p假⇔p真.‎ ‎ 1.(2019·石家庄模拟)命题p:若sin x>sin y,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是(  )‎ A.p或q B.p且q C.q D.¬p B [取x=,y=,可知命题p为假;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q为真,故¬p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题.]‎ - 7 -‎ ‎2.给定下列命题:‎ p1:函数y=ax+x(a>0,且a≠1)在R上为增函数;‎ p2:存在a,b∈R,a2-ab+b2<0;‎ p3:cos α=cos β成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β(k∈Z).‎ 则下列命题中的真命题为(  )‎ A.p1或p2 B.p2且p3‎ C.p1或(¬p3) D.(¬p2)且p3‎ D [对于p1:令y=f(x),当a=时,f(0)=+0=1,f(-1)=-1=1,所以p1为假命题;对于p2:a2-ab+b2=+b2≥0,所以p2为假命题;对于p3:由cos α=cos β,可得α=2kπ±β(k∈Z),所以p3是真命题,所以(¬p2)且p3为真命题.]‎ ‎⊙考点3 由命题的真假确定参数的取值范围 ‎ 根据命题真假求参数的方法步骤 ‎(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);‎ ‎(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;‎ ‎(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.‎ ‎ 已知p:存在x0∈R,mx+1≤0,q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] 依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,则有Δ=m2-4<0,-2<m<2.因此由p,q均为假命题得即m≥2.‎ 所以实数m的取值范围为[2,+∞).‎ ‎[母题探究]‎ ‎1.(变问法)在本例条件下,若p且q为真,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] 依题意知p,q均为真命题,当p是真命题时,有m<0;‎ 当q是真命题时,有-2<m<2,‎ 由可得-2<m<0.‎ 所以实数m的取值范围为(-2,0).‎ ‎2.(变问法)在本例条件下,若p且q为假,p或q为真,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] 若p且q为假,p或q为真,则p,q一真一假.‎ 当p真q假时所以m≤-2;‎ 当p假q真时所以0≤m<2.‎ 所以m的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2).‎ - 7 -‎ ‎ 根据命题的真假求参数取值范围的策略 ‎(1)全称命题可转化为恒成立问题,特称命题可转化为存在性问题.‎ ‎(2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,转化为函数的最值解决.‎ ‎ (2019·福建三校联考)若命题“存在x0∈R,使得3x+2ax0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是________.‎ ‎[-,] [命题“存在x0∈R,使得3x+2ax0+1<0”是假命题,‎ 即“对任意x∈R,3x2+2ax+1≥0”是真命题,‎ 故Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤.]‎ - 7 -‎