高中数学第五章一元函数的导数及其应用5-2导数的运算5-2-3简单复合函数的导数课件新人教A版选择性必修第二册 27页

5.2.3 　简单复合函数的导数 激趣诱思 知识点拨 我们学习过基本初等函数 , 如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、常数函数 , 我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算得到新的函数 , 还有一种构造新函数的方法 , 那就是把两个或几个函数 “ 复合 ” 起来 , 怎样 “ 复合 ” 呢 , 复合后的函数怎样求导呢 ? 本节课就让我们来解决这些问题 . 激趣诱思 知识点拨 1 . 复合函数的概念 一般地 , 对于两个函数 y=f ( u ) 和 u=g ( x ), 如果通过中间变量 u , y 可以表示成 x 的函数 , 那么称这个函数为函数 y=f ( u ) 和 u=g ( x ) 的复合函数 , 记作 y=f ( g ( x )) . 2 . 复合函数的求导法则 一般地 , 对于由函数 y=f ( u ) 和 u=g ( x ) 复合而成的函数 y=f ( g ( x )), 它的导数与函数 y=f ( u ), u=g ( x ) 的导数间的关系为 y x '= y u ' · u x ' , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 求复合函数的导数需处理好以下环节 : (1) 中间变量的选择应是基本函数结构 ; (2) 关键是正确分析函数的复合层次 ; (3) 一般是从最外层开始 , 由外及里 , 一层层地求导 ; (4) 善于把一部分表达式作为一个整体 ; (5) 最后要把中间变量换成关于自变量的函数 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 函数 y= log 2 ( x+ 1) 是复合函数吗 ? 是由哪些函数复合而成的 ? 提示 : 是 , 函数 y= log 2 ( x+ 1) 是由 y= log 2 u 及 u=x+ 1 这两个函数复合而成的 . 微练习 (1) 函数 y= sin 4 x 的导数为 　　　　　　 ;   (2) 函数 y = 的 导数为 　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 求复合函数的导数 例 1 求下列函数的导数 : (1) y= (4 - 3 x ) 2 ;( 2) y= cos(2 x- ); (3) y= ln(4 x- 1);(4) y= . 分析 : 先分析每个复合函数的构成 , 再按照复合函数的求导法则进行求导 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 设 y=u 2 , u= 4 - 3 x , 则 y u '= 2 u , u x '=- 3, 于是 y x '=y u ' · u x '=- 6(4 - 3 x ) = 18 x- 24, 即 y'= 18 x- 24 . (4) 设 y= e u , u=x 2 , 则 y u '= e u , u x '= 2 x , 于是 y x '=y u ' · u x '= ·2 x , 即 y'= 2 x . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 解答此类问题常犯两个错误 : (1) 不能正确区分所给函数是否为复合函数 ; (2) 若是复合函数 , 不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成 . 2 . 复合函数求导的步骤 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 求下列函数的导数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复合函数求导与导数的运算法则的综合应用 例 2 求下列函数的导数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 此类问题出错的主要因素一般有两个 : 一是基本初等函数的导数公式记忆有误 ; 二是求导法则掌握不到位 , 尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆 , 导致运算结果出现错误 . 对于复杂函数求导 , 一般遵循先化简再求导的原则 , 但要注意化简过程中变换的等价性 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 求下列函数的导数 : (1) y= (2 x- 1) 3 ;(2) y= sin 2 x+ cos 2 x ;(3) y= ln 2 x. 解 : (1) 设 y=u 3 , u= 2 x- 1, 则 y u '= 3 u 2 , u x '= 2, 于是 y x '=y u ' · u x '= 6(2 x- 1) 2 , 即 y'= 6(2 x- 1) 2 ; (2) y'= (sin 2 x ) '+ (cos 2 x ) '= 2cos 2 x- 2sin 2 x ; 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 导数运算法则的综合应用 例 3 (1) 曲线 y= ln(2 x- 1) 上的点到直线 2 x-y+ 3 = 0 的最短距离是 ( 　　 ) (2) 设曲线 y= e ax 在点 (0,1) 处的切线与直线 x+ 2 y+ 1 = 0 垂直 , 则 a= 　　　　　 .   求 P ( x 0 , y 0 )→ 由点到直线的距离求最小值 (2) 求 y' → 由 y'| x= 0 = 2 求 a 的值 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : (1) 设曲线 y= ln(2 x- 1) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的切线与直线 2 x-y+ 3 = 0 平行 . (2) 令 y=f ( x ), 则曲线 y= e ax 在点 (0,1) 处的切线的斜率为 f' (0), 又切线与直线 x+ 2 y+ 1 = 0 垂直 , 所以 f' (0) = 2 . 因为 f ( x ) = e ax , 所以 f' ( x ) = (e ax ) '= e ax ·( ax ) '=a e ax , 所以 f' (0) =a e 0 =a , 故 a= 2 . 答案 : (1)A 　 ( 2)2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 导数综合应用的解题策略 本题正确地求出复合函数的导数是前提 , 审题时注意所给点是否是切点 , 挖掘题目隐含条件 , 求出参数 , 解决已知经过一定点的切线问题 , 寻求切点是解决问题的关键 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 1 本例 (1) 的条件变为 “ 曲线 y= ln(2 x- 1) 上的点到直线 2 x-y+m= 0 的最小距离为 2 ”, 求 m 的值 . 即实数 m 的值为 8 或 - 12 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 2 求本例 (2) 中曲线的切线与坐标轴围成的面积 . 解 : 由题意可知 , 切线方程为 y- 1 = 2 x , 即 2 x-y+ 1 = 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等价转化思想在导数几何意义中的应用 典例 已知点 P 是曲线 y=f ( x ) =x 2 - ln x 上任意一点 , 求点 P 到直线 y=x- 2 的距离的最小值 . 审题视角 所求点 P 应为与直线 y=x- 2 平行的曲线 y=x 2 - ln x 的切线的切点 , 此时最小距离应为该切线与已知直线之间的距离 , 即切点到已知直线的距离 , 从而转化为求曲线 y=x 2 - ln x 的斜率等于 1 的切线的切点坐标问题 , 故可借助导数的几何意义进行求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 由已知 , 可得当点 P 是曲线 y=f ( x ) 的平行于直线 y=x- 2 的切线的切点时 , 点 P 到直线 y=x- 2 的距离最小 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 这类 “ 求某曲线上任意一点到某已知直线的最小距离 ” 问题 , 可结合图形 , 利用等价转化思想 , 将问题转化为求曲线的平行于已知直线的切线的切点问题 , 从而借助导数的几何意义进行求解 . 其基本步骤与方法如下 : (1) 根据切线与已知直线平行 , 它们的斜率相等 , 得到切线的斜率 . (2) 根据导数的几何意义 , 由切线的斜率得到切点的横坐标 . (3) 由切点在曲线上 , 求得切点的纵坐标 , 得到切点的坐标 . (4) 利用点到直线的距离公式求得最小距离 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 点 P 是曲线 y=-x 2 上任意一点 , 则点 P 到直线 y=x+ 2 的最小距离为 ( 　　 ) 解析 : 依题意知 , 点 P 就是曲线 y=-x 2 上与直线 y=x+ 2 平行的切线的切点 . 设点 P 坐标为 ( x 0 , y 0 ), 因为 y'=- 2 x , 所以曲线在点 P 处的切线的斜率为 k=- 2 x 0 . 因为该切线与直线 y=x+ 2 平行 , 所以有 - 2 x 0 = 1, 得 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 函数 y= ( x 2 - 1) n 的复合过程正确的是 ( 　　 ) A .y=u n , u=x 2 - 1 B .y= ( u- 1) n , u=x 2 C .y=t n , t= ( x 2 - 1) n D .y= ( t- 1) n , t=x 2 - 1 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . (2020 黑龙江大庆实验中学高二期末 ) 已知 f ( x ) = sin 2 x+ e 2 x , 则 f' ( x ) = ( 　　 ) A.2cos 2 x+ 2e 2 x B.cos 2 x+ e 2 x C.2sin 2 x+ 2e 2 x D.sin 2 x+ e 2 x 解析 : 因为 f ( x ) = sin 2 x+ e 2 x , 所以 f' ( x ) = 2cos 2 x+ 2e 2 x . 故选 A . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . (2020 福建高二期末 ) 已知 f ( x ) = ln(2 x+ 1) -ax , 且 f' (2) =- 1, 则 a= ( 　　 ) 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测