2020年高中数学第四章导数在研究函数中的应用4 2页

‎4.3.3‎‎ 三次函数的性质：单调区间和极值 ‎1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是 ‎(　　)‎ A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)‎ C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)‎ 答案　B 解析　∵f′(x)＝－2x＋4，‎ ‎∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，‎ 故f(x)在[3,5]上单调递减，‎ 故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．‎ ‎2．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)‎ ‎(　　)‎ A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 答案　D 解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)‎ 在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.‎ ‎3．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是 ‎(　　)‎ A．π－1 B.－‎1 ‎‎ C．π D．π＋1‎ 答案　C 解析　因为y′＝1－cos x，当x∈，时，y′＞0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.‎ ‎4．(2012·安徽改编)函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为 ‎(　　)‎ A. B. C. D. ‎ 答案　A 解析　f′(x)＝ex(sin x＋cos x)．‎ 2‎ ‎∵x∈，f′(x)＞0.‎ ‎∴f(x)在上是单调增函数，‎ ‎∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝.‎ ‎5．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．‎ 答案　－71‎ 解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．‎ 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.‎ 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，‎ f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.‎ 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，‎ ‎∴f(x)min＝k－76＝－71.‎ ‎1．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值 ‎(1)极值是部分区间内的函数的最值，而最值是相对整个区间内的最大或最小值．‎ ‎(2)求最值的步骤：‎ ‎①求出函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；‎ ‎②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ ‎2．极值与最值的区别和联系 ‎(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．‎ ‎(2)函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．‎ ‎(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．‎ ‎(4)可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．‎ 2‎