高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题6立体几何第26练完美破解立体几何的证明问题文 15页

第 26 练 完美破解立体几何的证明问题 [题型分析·高考展望] 立体几何证明题是高考必考题，证明平行、垂直关系是主要题型， 特别是垂直关系尤为重要．掌握判定定理、性质定理并能灵活运用是解题的根本．学会分析 推理的方法和证明技巧是提升推理能力的关键，在二轮复习中，通过专题训练，使解立体几 何证明的能力更上一层楼，确保该类题型不失分． 体验高考 1．(2015·福建)若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 m 垂直于平面α，当 l⊂α时，也满足 l⊥m，但直线 l 与平面α不平行，∴充分性不 成立，反之，l∥α，一定有 l⊥m，必要性成立．故选 B. 2．(2016·山东)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线 a 和直线 b 相交” 是“平面α和平面β相交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A. 3．(2016·课标全国甲)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别在 AD， CD 上，AE＝CF，EF 交 BD 于点 H，将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置． (1)证明：AC⊥HD′； (2)若 AB＝5，AC＝6，AE＝5 4 ，OD′＝2 2，求五棱锥 D′ABCFE 的体积． (1)证明 由已知得 AC⊥BD，AD＝CD，又由 AE＝CF 得AE AD ＝CF CD ，故 AC∥EF，由此得 EF⊥HD， 折后 EF 与 HD 保持垂直关系，即 EF⊥HD′，所以 AC⊥HD′. (2)解 由 EF∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝1 4 . 由 AB＝5，AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2－AO2＝4， 所以 OH＝1，D′H＝DH＝3， 于是 OD′2＋OH2＝(2 2)2＋12＝9＝D′H2， 故 OD′⊥OH. 由(1)知 AC⊥HD′，又 AC⊥BD，BD∩HD′＝H， 所以 AC⊥平面 BHD′，于是 AC⊥OD′， 又由 OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以 OD′⊥平面 ABC. 又由EF AC ＝DH DO 得 EF＝9 2 . 五边形 ABCFE 的面积 S＝1 2 ×6×8－1 2 ×9 2 ×3＝69 4 . 所以五棱锥 D′ABCFE 的体积 V＝1 3 ×69 4 ×2 2＝23 2 2 . 4．(2016·四川)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝ CD＝1 2 AD. (1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM∥平面 PAB，并说明理由； (2)证明：平面 PAB⊥平面 PBD. (1)解 取棱 AD 的中点 M(M∈平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点，理 由如下： 因为 AD∥BC，BC＝1 2 AD， 所以 BC∥AM，且 BC＝AM. 所以四边形 AMCB 是平行四边形，所以 CM∥AB. 又 AB⊂平面 PAB，CM⊄ 平面 PAB. 所以 CM∥平面 PAB. (说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) (2)证明 由已知，PA⊥AB，PA⊥CD. 因为 AD∥BC，BC＝1 2 AD，所以直线 AB 与 CD 相交， 所以 PA⊥平面 ABCD， 所以 PA⊥BD. 因为 AD∥BC，BC＝1 2 AD，M 为 AD 的中点，连接 BM， 所以 BC∥MD，且 BC＝MD. 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BM＝CD＝1 2 AD，所以 BD⊥AB. 又 AB∩AP＝A，所以 BD⊥平面 PAB. 又 BD⊂平面 PBD， 所以平面 PAB⊥平面 PBD. 5．(2016·课标全国丙)如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝ 3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点． (1)证明：MN∥平面 PAB； (2)求四面体 NBCM 的体积． (1)证明 由已知得 AM＝2 3 AD＝2. 如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN， 由 N 为 PC 中点知 TN∥BC，TN＝1 2 BC＝2. 又 AD∥BC，故 TN 綊 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN∥AT. 因为 AT⊂平面 PAB，MN⊄ 平面 PAB， 所以 MN∥平面 PAB. (2)解 因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点， 所以 N 到平面 ABCD 的距离为 1 2 PA. 如图，取 BC 的中点 E，连接 AE.由 AB＝AC＝3 得 AE⊥BC，AE＝ AB2－BE2＝ 5. 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5， 故 S△BCM＝1 2 ×4× 5＝2 5. 所以四面体 NBCM 的体积 VNBCM＝1 3 ×S△BCM×PA 2 ＝4 5 3 . 高考必会题型 题型一 空间中的平行问题 例 1 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，S 是 B1D1 的中点，E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的中 点，求证： (1)直线 EG∥平面 BDD1B1； (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1. 证明 (1)如图，连接 SB， ∵E、G 分别是 BC、SC 的中点， ∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面 BDD1B1， EG⊄ 平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)连接 SD， ∵F、G 分别是 DC、SC 的中点， ∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄ 平面 BDD1B1， ∴FG∥平面 BDD1B1，由(1)知， EG∥平面 BDD1B1，且 EG⊂平面 EFG， FG⊂平面 EFG，EG∩FG＝G， ∴平面 EFG∥平面 BDD1B1. 点评 证明平行关系的方法 (1)证明线线平行的常用方法： ①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行； ②利用平行四边形进行转换； ③利用三角形中位线定理证明； ④利用线面平行、面面平行的性质定理证明． (2)证明线面平行的常用方法： ①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行； ②利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行． (3)证明面面平行的方法： 证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从 而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行． 变式训练 1 (2015·天津改编)如图，已知 AA1⊥平面 ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2 5， AA1＝ 7，BB1＝2 7，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点． 求证：(1)EF∥平面 A1B1BA； (2)平面 AEA1⊥平面 BCB1. 证明 (1)如图，连接 A1B，在△A1BC 中，因为 E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点， 所以 EF∥BA1.又因为 EF⊄ 平面 A1B1BA，BA1⊂平面 A1B1BA，所以 EF∥平面 A1B1BA. (2)因为 AB＝AC，E 为 BC 中点，所以 AE⊥BC，因为 AA1⊥平面 ABC，BB1∥AA1， 所以 BB1⊥平面 ABC，从而 BB1⊥AE.又因为 BC∩BB1＝B，所以 AE⊥平面 BCB1， 又因为 AE⊂平面 AEA1，所以平面 AEA1⊥平面 BCB1. 题型二 空间中的垂直问题 例 2 如图所示，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，△ACD 为等边三角 形，AD＝DE＝2AB，F 为 CD 的中点． 求证：(1)AF∥平面 BCE； (2)平面 BCE⊥平面 CDE. 证明 (1)如图，取 CE 的中点 G，连接 FG，BG. ∵F 为 CD 的中点， ∴GF∥DE 且 GF＝1 2 DE. ∵AB⊥平面 ACD， DE⊥平面 ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又 AB＝1 2 DE，∴GF＝AB. ∴四边形 GFAB 为平行四边形， ∴AF∥BG. ∵AF⊄ 平面 BCE，BG⊂平面 BCE， ∴AF∥平面 BCE. (2)∵△ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点， ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD，AF⊂平面 ACD， ∴DE⊥AF. 又 CD∩DE＝D，故 AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面 CDE. ∵BG⊂平面 BCE，∴平面 BCE⊥平面 CDE. 点评 (1)证明线面垂直的常用方法： ①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直； ②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直； ③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)证明面面垂直的方法： 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面 垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中 点、高线或添加辅助线来解决． 变式训练 2 (2016·北京)如图，在四棱锥 PABCD 中，PC⊥平面 ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求证：DC⊥平面 PAC； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PAC； (3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA∥平面 CEF？说明理由． (1)证明 ∵PC⊥平面 ABCD，DC⊂平面 ABCD， ∴PC⊥DC.又 AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC，∴DC⊥平面 PAC. (2)证明 ∵AB∥CD，CD⊥平面 PAC， ∴AB⊥平面 PAC，又∵AB⊂平面 PAB， ∴平面 PAB⊥平面 PAC. (3)解 棱 PB 上存在点 F，使得 PA∥平面 CEF. 证明如下： 取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF，又∵E 为 AB 的中点， ∴EF 为△PAB 的中位线， ∴EF∥PA.又 PA⊄ 平面 CEF， EF⊂平面 CEF，∴PA∥平面 CEF. 题型三 空间中的平行、垂直综合问题 例 3 (2015·山东)如图，三棱台 DEFABC 中，AB＝2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点． (1)求证：BD∥平面 FGH； (2)若 CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面 BCD⊥平面 EGH. 证明 (1)方法一 如图，连接 DG，设 CD∩GF＝M，连接 MH. 在三棱台 DEF－ABC 中， AB＝2DE，G 为 AC 的中点， 可得 DF∥GC，DF＝GC， 所以四边形 DFCG 为平行四边形． 则 M 为 CD 的中点， 又 H 为 BC 的中点， 所以 HM∥BD，又 HM⊂平面 FGH，BD⊄ 平面 FGH， 所以 BD∥平面 FGH. 方法二 在三棱台 DEF－ABC 中，由 BC＝2EF，H 为 BC 的中点， 可得 BH∥EF，BH＝EF， 所以四边形 HBEF 为平行四边形， 可得 BE∥HF.在△ABC 中，G 为 AC 的中点， H 为 BC 的中点，所以 GH∥AB. 又 GH∩HF＝H，AB∩BE＝B， 所以平面 FGH∥平面 ABED. 又因为 BD⊂平面 ABED， 所以 BD∥平面 FGH. (2)连接 HE， 因为 G，H 分别为 AC，BC 的中点， 所以 GH∥AB. 由 AB⊥BC，得 GH⊥BC. 又 H 为 BC 的中点， 所以 EF∥HC，EF＝HC， 因此四边形 EFCH 是平行四边形， 所以 CF∥HE.又 CF⊥BC，所以 HE⊥BC. 又 HE，GH⊂平面 EGH，HE∩GH＝H， 所以 BC⊥平面 EGH. 又 BC⊂平面 BCD， 所以平面 BCD⊥平面 EGH. 点评 (1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易 得线垂直于线．要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得． (2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画 出一些图形辅助使用． (3)平行关系往往用到三角形的中位线，垂直关系往往用到三角形的高线、中线． 变式训练 3 (2015·北京)如图，在三棱锥 V－ABC 中，平面 VAB⊥平面 ABC，△VAB 为等边 三角形，AC⊥BC 且 AC＝BC＝ 2，O，M 分别为 AB，VA 的中点． (1)求证：VB∥平面 MOC； (2)求证：平面 MOC⊥平面 VAB； (3)求三棱锥 V－ABC 的体积． (1)证明 因为 O，M 分别为 AB，VA 的中点， 所以 OM∥VB， 又因为 VB⊄ 平面 MOC，所以 VB∥平面 MOC. (2)证明 因为 AC＝BC，O 为 AB 的中点， 所以 OC⊥AB. 又因为平面 VAB⊥平面 ABC，且 OC⊂平面 ABC， 所以 OC⊥平面 VAB.又 OC⊂平面 MOC， 所以平面 MOC⊥平面 VAB. (3)解 在等腰直角三角形 ACB 中，AC＝BC＝ 2， 所以 AB＝2，OC＝1， 所以等边三角形 VAB 的面积 S△VAB＝ 3. 又因为 OC⊥平面 VAB. 所以 VC－VAB＝1 3 ·OC·S△VAB＝ 3 3 ， 又因为三棱锥 V－ABC 的体积与三棱锥 C－VAB 的体积相等， 所以三棱锥 V－ABC 的体积为 3 3 . 高考题型精练 1．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线 l.若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥β， 则( ) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案 C 解析 由已知，α∩β＝l，∴l⊂β， 又∵n⊥β，∴n⊥l，C 正确．故选 C. 2．(2015·安徽)已知 m，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是 ( ) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 答案 D 解析 对于 A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故 A 错；对于 B，m，n 平行于 同一平面，m，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故 B 错；对于 C，α，β不平行，但α 内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故 C 错；对于 D，若 假设 m，n 垂直于同一平面，则 m∥n，其逆否命题即为 D 选项，故 D 正确． 3．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线 a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行 直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β， b∥α，可以推出α∥β的是( ) A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 答案 C 解析 对于②，平面α与β还可以相交； 对于③，当 a∥b 时，不一定能推出α∥β， 所以②③是错误的，易知①④正确，故选 C. 4．如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，AC∩EF＝G.现在沿 AE，EF，FA 把这个正方形折成一个四面体，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 P，则在四面体 P－ AEF 中必有( ) A．AP⊥△PEF 所在平面 B．AG⊥△PEF 所在平面 C．EP⊥△AEF 所在平面 D．PG⊥△AEF 所在平面 答案 A 解析 在折叠过程中，AB⊥BE，AD⊥DF 保持不变． ∴ AP⊥PE AP⊥PF PE∩PF＝P ⇒AP⊥平面 PEF. 5．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N，P，Q 分别是 AA1，A1D1，CC1，BC 的中点， 给出以下四个结论： ①A1C⊥MN；②A1C∥平面 MNPQ；③A1C 与 PM 相交；④NC 与 PM 异面．其中不正确的结论是 ( ) A．① B．② C．③ D．④ 答案 B 解析 作出过 M，N，P，Q 四点的截面交 C1D1 于点 S，交 AB 于点 R，如图所示中的六边形 MNSPQR， 显然点 A1，C 分别位于这个平面的两侧，故 A1C 与平面 MNPQ 一定相交，不可能平行，故结论 ②不正确． 6．下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点， 能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案 B 解析 ①中易知 NP∥AA′，MN∥A′B， ∴平面 MNP∥平面 AA′B 可得出 AB∥平面 MNP (如图)． ④中，NP∥AB， 能得出 AB∥平面 MNP. 7．(教材改编)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与平面 AEC 的位置关 系为________． 答案 平行 解析 连接 BD，设 BD∩AC＝O， 连接 EO，在△BDD1 中，O 为 BD 的中点， 所以 EO 为△BDD1 的中位线， 则 BD1∥EO，而 BD1⊄ 平面 ACE，EO⊂平面 ACE， 所以 BD1∥平面 ACE. 8．如图，已知六棱锥 P－ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC，PA＝2AB，则下列结论 中： ①PB⊥AE；②平面 ABC⊥平面 PBC；③直线 BC∥平面 PAE；④∠PDA＝45°. 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)． 答案 ①④ 解析 由 PA⊥平面 ABC，AE⊂平面 ABC，得 PA⊥AE， 又由正六边形的性质得 AE⊥AB，PA∩AB＝A， 得 AE⊥平面 PAB，又 PB⊂平面 PAB， ∴AE⊥PB，①正确； ∵平面 PAD⊥平面 ABC， ∴平面 ABC⊥平面 PBC 不成立，②错； 由正六边形的性质得 BC∥AD， 又 AD⊂平面 PAD，BC⊄ 平面 PAD， ∴BC∥平面 PAD， ∴直线 BC∥平面 PAE 也不成立，③错； 在 Rt△PAD 中，PA＝AD＝2AB， ∴∠PDA＝45°，④正确． 9．如图，三棱柱 ABC—A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为 O，且 AO⊥平面 BB1C1C， 则 B1C 与 AB 的位置关系为________． 答案 异面垂直 解析 ∵AO⊥平面 BB1C1C，∴AO⊥B1C， 又∵平面 BB1C1C 为菱形，∴B1C⊥BO， ∴B1C⊥平面 ABO，∵AB⊂平面 ABO，∴B1C⊥AB. 10．如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一 动点，当点 M 满足________时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即 可) 答案 DM⊥PC(或 BM⊥PC，答案不唯一) 解析 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， 又∵PA⊥平面 ABCD， ∴PA⊥BD， 又 AC∩PA＝A， ∴BD⊥平面 PAC，∴BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时， 即有 PC⊥平面 MBD， 而 PC⊂平面 PCD， ∴平面 MBD⊥平面 PCD. 11．(2015·江苏)如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已知 AC⊥BC，BC＝CC1.设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1＝E. 求证：(1)DE∥平面 AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 证明 (1)由题意知，E 为 B1C 的中点， 又 D 为 AB1 的中点，因此 DE∥AC. 又因为 DE⊄ 平面 AA1C1C，AC⊂平面 AA1C1C， 所以 DE∥平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABC－A1B1C1 是直三棱柱， 所以 CC1⊥平面 ABC. 因为 AC⊂平面 ABC， 所以 AC⊥CC1. 又因为 AC⊥BC，CC1⊂平面 BCC1B1， BC⊂平面 BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以 AC⊥平面 BCC1B1. 又因为 BC1⊂平面 BCC1B1， 所以 BC1⊥AC. 因为 BC＝CC1，所以矩形 BCC1B1 是正方形， 因此 BC1⊥B1C. 因为 AC，B1C⊂平面 B1AC，AC∩B1C＝C， 所以 BC1⊥平面 B1AC. 又因为 AB1⊂平面 B1AC， 所以 BC1⊥AB1. 12．(2016·山东)在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EF∥DB. (1)已知 AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB； (2)已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点，求证：GH∥平面 ABC. 证明 (1)因为 EF∥DB， 所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF， 如图①，连接 DE.因为 AE＝EC， D 为 AC 的中点， 所以 DE⊥AC.同理可得 BD⊥AC. 又 BD∩DE＝D， 所以 AC⊥平面 BDEF. 因为 FB⊂平面 BDEF， 所以 AC⊥FB. (2)如图②，设 FC 的中点为 I， 连接 GI，HI. 在△CEF 中，因为 G 是 CE 的中点，所以 GI∥EF. 又 EF∥DB， 所以 GI∥DB. 在△CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HI∥BC. 又 HI∩GI＝I， 所以平面 GHI∥平面 ABC， 因为 GH⊂平面 GHI， 所以 GH∥平面 ABC.