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高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-3-1　不等式的性质§3  不 等 式 46页

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  • 2021-06-15 发布

高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-3-1　不等式的性质§3  不 等 式

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§3 　不　等　式 3.1 　不等式的性质 必备知识 · 自主学习 1. 比较两个实数 a,b 大小的基本事实 文字语言 符号表示 如果 a-b 是 _____, 那么 a>b, 反过来也成立 a>b ⇔ ______ 如果 a-b 等于 0, 那么 a=b, 反过来也成立 a=b ⇔ ______ 如果 a-b 是 _____, 那么 a0 a-b=0 负数 a-b<0 【 思考 】 如何由比较两个实数大小的基本事实得出两个实数比较大小的方法 ? 提示 : 通过两个实数作差 , 判断差的正负比较大小 . 2. 不等式的性质 (1) 性质 序号 性质内容 1 如果 a>b, 且 b>c, 那么 ____ 2 如果 a>b, 那么 a+c>b+c 3 (1) 如果 a>b,c>0, 那么 ac>bc (2) 如果 a>b,c<0, 那么 ______ 4 如果 a>b,c>d, 那么 ________ a>c acb+d 序号 性质内容 5 (1) 如果 a>b>0,c>d>0, 那么 ______ (2) 如果 a>b>0,cb>0 时 ,_____, 其中 n∈N + ,n≥2 6 当 a>b>0 时 ,________, 其中 n∈N + ,n≥2 ac>bd acb n (2) 本质 : 不等式的性质是由等式性质类比而得到的 , 是解决不等式问题的基本依据 . (3) 应用 : 判断证明不等式是否成立 , 解不等式问题时的依据 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1)a>b 且 c>d, 则 a-c>b-d. ( 　　 ) (2) 若 a+c>b+d, 则 a>b,c>d. ( 　　 ) (3) 若 a>b>c, 则 a-c>b-c. ( 　　 ) 提示 : (1)×. 例如 5>3 且 4>1 时 , 则 5-4>3-1 是错的 , 故 (1) 错 . (2)×. 取 a=4,c=5,b=6,d=2. 满足 a+c>b+d, 但不满足 a>b. (3)√. 2. 若 a>b>0,c B. < C. > D. < 【 解析 】 选 D. 因为 c-d>0, 所以 >0. 又 a>b>0, 所以 , 所以 < . 3.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 已知 x≠2, 则 x 2 +4 与 4x 的大小关系为 　　　　 .  【 解析 】 x 2 +4-4x=(x-2) 2 , 而 x≠2, 所以 (x-2) 2 >0, 所以 x 2 +4-4x>0, 所以 x 2 +4>4x. 答案 : x 2 +4>4x 关键能力 · 合作学习 类型一　作差法比较大小 ( 逻辑推理、数学运算 ) 【 典例 】 已知 a≠1 且 a∈R, 试比较 与 1+a 的大小 . 【 解题策略 】 作差法比较大小的步骤 【 跟踪训练 】 1. 已知 x,y∈R,P=2x 2 -xy+1,Q=2x- , 试比较 P,Q 的大小 . 【 解析 】 因为 P-Q=2x 2 -xy+1- =x 2 -xy+ +x 2 -2x+1= +(x-1) 2 ≥0, 所以 P≥Q. 2. 已知 a,b 均为正实数 . 试比较 a 3 +b 3 与 a 2 b+ab 2 的大小 . 【 解析 】 因为 a 3 +b 3 -(a 2 b+ab 2 )=(a 3 -a 2 b)+(b 3 -ab 2 ) =a 2 (a-b)+b 2 (b-a) =(a-b)(a 2 -b 2 )=(a-b) 2 (a+b). 当 a=b 时 ,a-b=0,a 3 +b 3 =a 2 b+ab 2 ; 当 a≠b 时 ,(a-b) 2 >0,a+b>0,a 3 +b 3 >a 2 b+ab 2 . 综上所述 ,a 3 +b 3 ≥a 2 b+ab 2 . 【 拓展延伸 】 中间值法比较大小 如果所给式子作差后无法因式分解 , 不能判断差的符号 , 可尝试中间值法比较大小 . 利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值 , 通过它们的有界性来寻找中间值作媒介 , 以达到传递的目的 . 【 拓展训练 】 已知 x∈R, 试比较 2x 2 -3x+3 与 的大小 . 【 解析 】 因为 2x 2 -3x+3=2 >1,2 x +2 -x =( ) 2 +2≥2, 所以 ≤ 1, 所以 2x 2 -3x+3> . 类型二　利用不等式的性质判断命题真假 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 【 题组训练 】 1. 若 a>b>c, 则下列不等式成立的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. > B. < C. > D. < 2. 已知 a,b 为非零实数 , 且 a0,b<0, 那么 a,b,-a,-b 的大小是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 【 解析 】 1. 选 B. 因为 a>b>c, 所以 a-c>b-c>0. 所以 < . 当 a>b>0>c 时 , < , 当 a>b>c>0 时 , > , 所以 CD 错误 . 2. 选 C. 对于 A, 若 a0 时 ,a 2 b>0,ab 2 <0,a 2 b0, 所以 ; 对于 D, 当 a=-1,b=1 时 , = =-1. 3. 选 C. 令 a=5,b=-2 满足 a+b>0, 所以 a>-b>b>-a. 【 解题策略 】 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 (1) 要注意不等式成立的条件 , 不要弱化条件 , 尤其是不能随意捏造性质 . (2) 解有关不等式选择题时 , 也可采用特殊值法进行排除 , 注意取值一定要遵循如下原则 : 一是满足题设条件 ; 二是取值要简单 , 便于验证计算 . 【 补偿训练 】 1. 下列命题中一定正确的是 ( 　　 ) A. 若 ab,b≠0, 则 >1 C. 若 a>b, 且 a+c>b+d, 则 c>d D. 若 a>b 且 ac>bd, 则 c>d 【 解析 】 选 A. 对于 A 项 , 因为 , 所以 - <0, 即 <0, 又 a0, 所以 ab<0; 对于 B 项 , 当 a>0,b<0 时 , 有 <0<1, 故 B 项错 ; 对于 C 项 , 当 a=10, b=3 时 , 虽有 10+1>3+2, 但 1<2, 故 C 项错 ; 对于 D 项 , 当 a=-1,b=-2 时 , 有 (-1)×(-1) >(-2)×7, 但 -1<7, 故 D 项错 . 2. 给出下列命题 :①a>b⇒ac 2 >bc 2 ;②a>|b|⇒a 4 >b 4 ;③a>b⇒a 3 >b 3 ;④|a|>b⇒ a 2 >b 2 . 其中正确的命题序号是 　　　　 .  【 解析 】 ① 当 c 2 =0 时不成立 . ② 一定成立 . ③ 当 a>b 时 ,a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) =(a-b)· >0 成立 . ④ 当 b<0 时 , 不一定成立 . 如 :|2|>-3, 但 2 2 <(-3) 2 . 答案 : ②③ 类型三　证明不等式 ( 逻辑推理 ) 　角度 1 　利用不等式的性质证明不等式  【 典例 】 已知 c>a>b>0, 求证 : 【 思路导引 】 利用不等式的性质 , 先证明 , 再由 得到 . 【 证明 】 方法一 : 因为 a>b>0, 所以 < , 因为 c>0, 所以 < , 所以 -1< -1, 即 < , 因为 c>a>b>0, 所以 c-a>0,c-b>0. 所以 > . 方法二 : 因为 c>a>b>0, 所以 0 >0, 又因为 a>b>0, 所以 > . 【 变式探究 】 将本例中的条件“ c>a>b>0” 变为“ a>b>0,c<0”, 试证明 : > . 【 证明 】 因为 a>b>0, 所以 ab>0, >0. 于是 a× >b× , 即 > . 由 c<0, 得 > . 　角度 2 　利用作差法证明不等式  【 典例 】 若 a<0,b<0,p= ,q=a+b. 求证 :p≤q. 【 思路导引 】 利用作差法证明 . 【 证明 】 p-q= -a-b 因为 a<0,b<0, 所以 a+b<0,ab>0. 若 a=b, 则 p-q=0, 故 p=q; 若 a≠b, 则 p-q<0, 故 pb>0,c>d>0, 证明 :ac>bd. 【 证明 】 ⇒ac>bd. 【 补偿训练 】 已知 a+b>0, 求证 : ≥ + . 【 证明 】 - = =(a-b) · = . 因为 a+b>0,(a-b) 2 ≥0, 所以 ≥ 0. 所以 备选类型　利用不等式的性质求代数式的取值范围 ( 逻辑推理、数学运算 ) 【 典例 】 已知 -6b>c 且 a+b+c=0, 则下列不等式中正确的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.ab>ac B.ac>bc C.a|b|>c|b| D.a 2 >b 2 >c 2 【 解析 】 选 A. 由 a>b>c 及 a+b+c=0 知 a>0,c<0, ⇒ ab>ac. 2. 设 a=3x 2 -x+1,b=2x 2 +x, 则 ( 　　 ) A.a>b B.ab 时成立 B. 当 a0,b>0,m>0, 所以 a+m>0. 所以 a-b<0, 所以 a0” 是“ a 2 -b 2 >0” 的 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解析 】 选 A. >0 ⇒ > ⇒ a>b>0 ⇒ a 2 >b 2 , 但由 a 2 -b 2 >0 不能推出 >0. 5. 比较 (a+3)(a-5) 与 (a+2)(a-4) 的大小为 　　　　 .  【 解析 】 因为 (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4) =(a 2 -2a-15)-(a 2 -2a-8)=-7<0. 所以 (a+3)(a-5)<(a+2)(a-4). 答案 : (a+3)(a-5)<(a+2)(a-4)

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