高考数学专题复习练习第十四章 第三节 几个著名不等式 课下练兵场 5页

第十四章 第三节 几个著名不等式 命 题 报 告 ‎　　　　难度及题号 知识点　‎ 容易题(题号)‎ 中等题(题号)‎ 稍难题(题号)‎ 柯西不等式的应用 ‎1、2、3、4‎ ‎5、10‎ ‎11‎ 平均值不等式的应用 ‎6、7‎ ‎8‎ 数学归纳法的应用 ‎9‎ ‎12‎ 一、选择题 ‎1．(2009·厦门质检)函数f(x)＝＋的最大值＝ (　　)‎ A．2 B. C. D. 解析：＋＝＋，由柯西不等式得(＋)2≤(12＋‎ ‎12)[()2＋()2]＝6，‎ ‎∴＋≤＝.‎ 答案：C ‎2．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为 (　　)‎ A．10 B．11‎ C．12 D．13‎ 解析：(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，‎ ‎∴x2＋y2≥13.‎ 答案：D ‎3．设xy＞0，则(x2＋)(y2＋)的最小值为 (　　)‎ A．7 B．8‎ C．9 D．10‎ 解析：[x2＋()2][()2＋y2]≥(x·＋·y)2＝9.‎ 答案：C ‎4．已知x2＋4y2＋kz2＝36(其中k＞0)，且t＝x＋y＋z的最大值是7，则k＝ (　　)‎ A．7 B．8‎ C．9 D．10‎ 解析：由柯西不等式[x2＋(2y)2＋(z)2][1＋()2＋()2]≥(x＋y＋z)2，因t＝x＋y＋z 的最大值是7，且x2＋4y2＋kz2＝36，所以k＝9.‎ 答案：C ‎5．函数y＝4＋3的最大值为 (　　)‎ A．12 B．13‎ C．14 D．15‎ 解析：根据柯西不等式，得 y2＝(4＋3)2‎ ‎≤(42＋32)[()2＋()2]＝25×9＝225，‎ ‎∴y≤15.‎ 答案：D ‎6．若a＞0，b＞0，则(a＋b)(＋)的最小值为 (　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：(a＋b)(＋)‎ ‎＝1＋＋＋1＝2＋(＋)‎ ‎≥2＋2＝4.‎ 答案：D 二、填空题 ‎7．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1‎ ‎＝0上，其中m，n＞0，则＋的最小值为________．‎ 解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，‎ 则(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0,‎2m＋n＝1，m，n＞0，‎ ＋＝(＋)·(‎2m＋n)‎ ‎＝4＋＋≥4＋2 ＝8.‎ 答案：8‎ ‎8．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为 ‎________．‎ 解析：2x＋＝2(x－a)＋＋‎2a≥2 ＋‎2a＝‎2a＋4≥7，∴a≥.‎ 答案： ‎9．用数学归纳法证明 ‎1＋＋＋…＋＜n(n＞1)时，‎ 由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式为________．‎ 解析：n＝k时，左边＝1＋＋＋…＋；‎ n＝k＋1时，‎ 左边＝1＋＋＋…＋＋＋…＋.‎ 答案：＋＋＋…＋ 三、解答题 ‎10．求证：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．‎ 证明：∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，‎ ‎∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥‎2a2b＋2ab2，‎ ‎∴a3＋b3≥a2b＋ab2.‎ 同理：b3＋c3≥b‎2c＋bc2，a3＋c3≥a‎2c＋ac2.‎ 将三式相加得：‎ ‎2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b‎2c＋bc2＋a‎2c＋ac2.‎ ‎∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a‎2c)＋(b3＋b‎2a＋b‎2c)＋(c3＋c‎2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2‎ ‎＋c2)，‎ ‎∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．‎ ‎11．设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：‎ ‎(a＋)2＋(b＋)2＋(c＋)2≥.‎ 证明：左边＝(12＋12＋12)[(a＋)2＋(b＋)2＋(c＋)2]≥[1×(a＋)＋1×(b＋)＋1×(c＋)]2＝[1＋(＋＋)]2＝[1＋(a＋b＋c)·(＋＋)]2≥(1＋9)2＝.‎ ‎12．用数学归纳法证明不等式：＋＋＋…＋＞1(n∈N*且n＞1)．‎ 证明：(1)当n＝2时，＋＋＝＞1成立；‎ ‎(2)设当n＝k(k≥2)时，＋＋＋…＋＞1；‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋…＋＋＋…＋ ‎＝(＋＋…＋)＋＋…＋－ ‎＞1＋－ ‎＝1＋＝1＋＞1.‎ 即当n＝k＋1时也成立．‎ 所以对任意n＞1(n∈N*)，原不等式成立．‎