高考数学专题复习练习：9-8-2 专项基础训练 7页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．(2016·吉林长春二模)过双曲线x2－＝1的右支上一点P分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为(　　)‎ A．10　　　　　　　　　　　　B．13‎ C．16 D．19‎ ‎【解析】 由题意可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)·(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎2．(2017·台州模拟)已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(　　)‎ A. B. C．4 D．5‎ ‎【解析】 由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎3．(2017·江西南昌调研)已知圆O1：(x－2)2＋y2＝16和圆O2：x2＋y2＝r2(0＜r＜2)，动圆M与圆O1，圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1，e2(e1＞e2)，则e1＋2e2的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 ①当动圆M与圆O1，O2都相内切时，|MO2|＋|MO1|＝4－r＝2a，故e1＝.‎ ‎②当动圆M与圆O1相内切而与圆O2相外切时，|MO1|＋|MO2|＝4＋r＝2a′，故e2＝.‎ 因此e1＋2e2＝＋＝，令12－r＝t(10＜t＜12)，e1＋2e2＝2×≥2×＝＝，故选A.‎ ‎【答案】 A ‎4．(2017·绵阳模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则·的最小值为________．‎ ‎【解析】 点P为椭圆＋＝1上的任意一点，设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，依题意得左焦点F(－1，0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋＝·＋.‎ ‎∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，∴≤≤，‎ ‎∴≤≤，∴6≤·＋≤12，即6≤·≤12.故最小值为6.‎ ‎【答案】 6‎ ‎5．(2017·浙江温州一模)已知斜率为的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是________．‎ ‎【解析】 设直线l的方程为y＝x＋b(b＞0)，即x＝2y－2b，‎ 代入抛物线方程y2＝2px，可得y2－4py＋4pb＝0，‎ Δ＝16p2－16pb＞0，∴p＞b.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4p，y1y2＝4pb，k1＋k2＝＋＝＋＝＝＞2.‎ ‎【答案】 (2，＋∞)‎ ‎6．(2016·山东)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.‎ ‎(ⅰ)设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；‎ ‎(ⅱ)求直线AB的斜率的最小值．‎ ‎【解析】 (1)设椭圆的半焦距为c，‎ 由题意知2a＝4，2c＝2，‎ 所以a＝2，b＝＝.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)(ⅰ)设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)．‎ 由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m)，‎ 所以直线PM的斜率k＝＝.‎ 直线QM的斜率k′＝＝－.‎ 此时＝－3.‎ 所以为定值－3.‎ ‎(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 直线PA的方程为y＝kx＋m，‎ 直线QB的方程为y＝－3kx＋m.‎ 联立 整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0.‎ 由x0x1＝，可得x1＝，‎ 所以y1＝kx1＋m＝＋m.‎ 同理x2＝，y2＝＋m.‎ 所以x2－x1＝－ ‎＝，‎ y2－y1＝＋m－－m ‎＝，‎ 所以kAB＝＝＝.‎ 由m＞0，x0＞0，可知k＞0，‎ 所以6k＋≥2，等号当且仅当k＝时取得．‎ 此时＝，即m＝，符合题意．‎ 所以直线AB的斜率的最小值为.‎ ‎7．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.‎ ‎(1)若e＝，求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，若·＝0，且＜e≤，求k的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)由焦点F2(3，0)，知c＝3，‎ 又e＝＝，所以a＝2.‎ 又由a2＝b2＋c2，解得b2＝3.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知，‎ x1＋x2＝0，x1x2＝－.‎ 又＝(3－x1，－y1)，＝(3－x2，－y2)，‎ 所以·＝(3－x1)(3－x2)＋y1y2‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋9＝0，‎ 即＋9＝0，‎ 整理得k2＝＝－1－.‎ 由＜e≤及c＝3，‎ 知2≤a＜3，12≤a2＜18.‎ 所以a4－18a2＝(a2－9)2－81∈[－72，0)，‎ 所以k2≥，则k≥或k≤－，‎ 因此实数k的取值范围为∪.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：25分钟)‎ ‎8．(2017·威海模拟)已知圆x2＋y2＝1过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，与椭圆＋＝1相交于A，B两点．记λ＝·，且≤λ≤.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)求k的取值范围；‎ ‎(3)求△OAB的面积S的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)由题意知2c＝2，所以c＝1.‎ 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，‎ 从而b＝1，故a＝，所以所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)因为直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，‎ 所以原点O到直线l的距离为＝1，‎ 即m2＝k2＋1.‎ 由 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ λ＝·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，‎ 由≤λ≤，得≤k2≤1，‎ 即k的取值范围是∪.‎ ‎(3)|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2－，‎ 由≤k2≤1，得≤|AB|≤.‎ 设△OAB的AB边上的高为d，‎ 则S＝|AB|d＝|AB|，‎ 所以≤S≤.‎ 即△OAB的面积S的取值范围是.‎ ‎9．(2017·湖北黄冈模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)∵双曲线的离心率为，‎ ‎∴椭圆的离心率e＝＝.‎ 又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，‎ ‎∴右顶点为(2，0)，即a＝2，c＝，b＝1，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 联立消去y并整理，得 ‎(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)‎ ‎＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，‎ 又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，‎ 故·＝＝k2⇒－＋m2＝0，‎ 由m≠0，得k2＝⇒k＝±.‎ 又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，得0＜m2＜2，‎ 显然m2≠1(否则x1x2＝0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．‎ 设原点O到直线MN的距离为d，则 S△OMN＝|MN|d ‎＝ |x1－x2|‎ ‎＝|m| ‎＝ .‎ 由0＜m2＜2，且m2≠1，得 ‎△OMN面积的取值范围为(0，1)．‎