浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量补上一课立体几何中的截面问题及球的切接问题课件 26页

立体几何中的截面问题及球的切接问题 1. 立体几何中的截面问题 (1) 平面截球：圆 ( 圆面 ). (2) 平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形 . (3) 平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形 . 知识拓展 题型一　立体几何中的截面问题 【例 1 】 (1) (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知正方体的棱长为 1 ，每条棱所在直线与平面 α 所成的角都相等，则 α 截此正方体所得截面面积的最大值为 ( 　　 ) 题型突破 (2) (2020· 浙江新高考仿真卷三 ) 已知平面 α 截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与 α 成 60° 二面角的平面 β 截该球面得圆 N ，若该球面的半径为 4 ，圆 M 的面积为 4π ，则圆 N 的面积为 ( 　　 ) A.7π B.9π C.11π D.13π 答案　 (1)A 　 (2)D 规律方法 　此类题主要考查空间想象能力及空间几何体的结构特征，解题时可寻找特殊情况使问题得到简化 . (2) 如图，已知正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ， E ， F 分别是棱 AD ， B 1 C 1 上的动点，设 AE ＝ λ ， B 1 F ＝ μ . 若平面 BEF 与正方体的截面是五边形，则 λ ＋ μ 的取值范围是 ________. (2) 通过特殊位置来分析，当 AE ＝ λ → 1 时 ( 此时 E 与 D 接近重合 ) ，若 B 1 F ＝ μ → 0( 此时 B 1 与 F 接近重合 ) ，此时截面是四边形，随着 B 1 F ＝ μ 的变大，平面 BEF 与正方体的截面是五边形，由此知 λ ＋ μ ＞ 1 ；随着 B 1 F ＝ μ → 1 ，平面 BEF 与正方体的截面仍是五边形，当两者均为 1 时，截面是三角形，由此知 λ ＋ μ ＜ 2 ，故 1 ＜ λ ＋ μ ＜ 2. 答案 　 (1)B 　 (2)(1 ， 2) 题型二　外接球问题 【例 2 】 (1) (2017· 新课标全国 Ⅱ ) 长方体的长、宽、高分别为 3 、 2 、 1 ，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 ________. 答案　 (1)14π 　 (2)D 　 (3)C 　 (4)A 　 (5)36π 规律方法 　 1. 常用结论 (1) 正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 . (2) 正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点 . (3) 直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点 . (4) 正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到 . (5) 若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心 . 2. 构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心 (1) 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正方体或长方体 . (2) 相对的棱长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体 . 在 Rt △ BHO 中， BO 2 ＝ BH 2 ＋ OH 2 ， ∴ BO 2 ＝ BH 2 ＋ ( AH － OA ) 2 ， 法二　 如图， 设 AH ⊥ 平面 BCD ，设外接球球心为 O ，则点 O 也是内切球球心 ， 由于内切球球心到各个面的距离相等，都为内切球半径，设为 r ， ∵ V A － BCD ＝ V O － ABC ＋ V O － ACD ＋ V O － ABD ＋ V O － BCD . 规律方法 　求内切球的半径常用等积法 (1) 正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离 . (2) 正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合 . 解析 　 (1) 由 AB ⊥ BC ， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ，得 AC ＝ 10. 要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面 △ ABC 的内切圆的半径为 r . 2 r ＝ 4 ＞ 3 ，不合题意 . 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大 .