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- 2021-06-15 发布
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圆锥曲线:存在性问题
大题精做十一
精选大题
[:]
[2019·株洲一模]已知,分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,
且轴,的周长为6.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线与椭圆交于,两点,设为坐标原点,是否存在常数,使得恒成立?请说明理由.
【答案】(1);(2)当时,.
【解析】(1)由题意,,,,
∵的周长为6,∴,
∴,,∴椭圆的标准方程为.
(2)假设存在常数满足条件.
①当过点的直线的斜率不存在时,,,
∴,
∴当时,;
②当过点的直线的斜率存在时,设直线的方程为,设,,
联立,化简得,
∴,.
·5·
∴
,
∴,解得,即时,;
综上所述,当时,.
模拟精做
1.[2019·宜昌调研]已知椭圆的离心率为,短轴长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线与椭圆交于、两点,是椭圆的上焦点.
问:是否存在直线,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
2.[2019·江西联考]已知点为抛物线的焦点,抛物线上的点满足(为坐标原点),且.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线与抛物线交于不同的两点,,是否存在实数及定点,对任意实数,
都有?若存在,求出的值及点的坐标;若不存在,请说明理由.
·5·
3.[2019·哈三中期末]在圆上取一点,过点作轴的垂线段,为垂足,
当点在圆上运动时,设线段中点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)试问在上是否存在两点,关于直线对称,且以为直径的圆恰好经过坐标
原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
答案与解析
1.【答案】(1);(2)存在直线或.
【解析】(1)∵,,且有,解得,,
∴椭圆的方程为.
(2)由题可知的斜率一定存在,设为,设,,
联立,
∴,
∵,∴为线段的中点,∴……④,
将④代入②解得……⑤
将④代入③得……⑥
·5·
将⑤代入⑥解得……⑦
将⑦式代入①式检验成立,
∴,即存在直线或合题意.
2.【答案】(1);(2)存在及点,对任意实数,都有.
【解析】(1)由得点横坐标为,
由抛物线定义及得,,所以,
所以抛物线的方程为.
(2)假设存在实数及定点,对任意实数,都有,
设,,,
联立,得,
则,,,
由,得
[:.]
,
所以,,,当时不满足题意,所以,
即存在及点,对任意实数,都有.
3.【答案】(1);(2)存在,.
【解析】(1)设,则点,
将代入圆,可得,
·5·
的方程为.
(2)显然,直线存在斜率,设直线的方程为,
联立,消去并整理得,
,化为,
设,,则,,
依题意,可得,,
又,
,
,解得,
由的中点在直线上,
,
,化为,
把代入化为,解得(舍去)或,
,解得,满足,即满足,
在上存在两点,关于直线对称,且以为直径的圆恰好经过坐标原点,
直线的方程为.
·5·
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