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- 2021-06-15 发布
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2017 年浙江省高考数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)
1.(4 分)已知集合 P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2},那么 P∪Q=( )
A.(﹣1,2) B.(0,1) C.(﹣1,0) D.(1,2)
2.(4 分)椭圆 + =1 的离心率是( )
A. B. C. D.
3.(4 分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:
cm2)是( )
A. +1 B. +3 C. +1 D. +3
4.(4 分)若 x、y 满足约束条件 ,则 z=x+2y 的取值范围是( )
A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞) D.[4,+∞)
5.(4 分)若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值是 m,
则 M﹣m( )
A.与 a 有关,且与 b 有关 B.与 a 有关,但与 b 无关
C.与 a 无关,且与 b 无关 D.与 a 无关,但与 b 有关
6.(4 分)已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.(4 分)函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的
图象可能是( )
A. B. C. D.
8.(4 分)已知随机变量ξi 满足 P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1﹣pi,i=1,2.若 0<
p1<p2< ,则( )
A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
9.(4 分)如图,已知正四面体 D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R
分别为 AB、BC、CA 上的点,AP=PB, = =2,分别记二面角 D﹣PR﹣Q,D﹣
PQ﹣R,D﹣QR﹣P 的平面角为α、β、γ,则( )
A.γ<α<βB.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α
10.(4 分)如图,已知平面四边形 ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与
BD 交于点 O,记 I1= • ,I2= • ,I3= • ,则( )
A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分
11.(4 分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把
π的值计算到任意精度,祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后
七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形
的面积 S6,S6= .
12.(6 分)已知 a、b
∈
R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则 a2+b2= ,
ab= .
13.(6 分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则 a4= ,
a5= .
14.(6 分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2,点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连
结 CD,则△BDC 的面积是 ,cos∠BDC= .
15.(6 分)已知向量 、 满足| |=1,| |=2,则| + |+| ﹣ |的最小值
是 ,最大值是 .
16.(4 分)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2
人组成 4 人服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有 种不同的选
法.(用数字作答)
17.(4 分)已知 a
∈
R,函数 f(x)=|x+ ﹣a|+a 在区间[1,4]上的最大值是 5,
则 a 的取值范围是 .
三、解答题(共 5 小题,满分 74 分)
18.(14 分)已知函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx(x
∈
R).
(Ⅰ)求 f( )的值.
(Ⅱ)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间.
19.(15 分)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD,△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三
角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点.
(Ⅰ)证明:CE∥平面 PAB;
(Ⅱ)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
20.(15 分)已知函数 f(x)=(x﹣ )e﹣x(x≥ ).
(1)求 f(x)的导函数;
(2)求 f(x)在区间[ ,+∞)上的取值范围.
21.(15 分)如图,已知抛物线 x2=y,点 A(﹣ , ),B( , ),抛物线上
的点 P(x,y)(﹣ <x< ),过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q.
(Ⅰ)求直线 AP 斜率的取值范围;
(Ⅱ)求|PA|•|PQ|的最大值.
22.(15 分)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n
∈
N*),证明:当 n
∈
N*时,
(Ⅰ)0<xn+1<xn;
(Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ ;
(Ⅲ) ≤xn≤ .
2017 年浙江省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)
1.(4 分)(2017•浙江)已知集合 P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2},那么 P∪
Q=( )
A.(﹣1,2) B.(0,1) C.(﹣1,0) D.(1,2)
【考点】1D:并集及其运算.菁优网版 权所有
【专题】11 :计算题;37 :集合思想;5J :集合.
【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可.
【解答】解:集合 P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2},
那么 P∪Q={x|﹣1<x<2}=(﹣1,2).
故选:A.
【点评】本题考查集合的基本运算,并集的求法,考查计算能力.
2.(4 分)(2017•浙江)椭圆 + =1 的离心率是( )
A. B. C. D.
【考点】K4:椭圆的简单性质.菁优网版 权所有
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可.
【解答】解:椭圆 + =1,可得 a=3,b=2,则 c= = ,
所以椭圆的离心率为: = .
故选:B.
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.
3.(4 分)(2017•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体
的体积(单位:cm2)是( )
A. +1 B. +3 C. +1 D. +3
【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版 权所有
【专题】11 :计算题;31 :数形结合;44 :数形结合法;5Q :立体几何.
【分析】根据几何体的三视图,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,画出
图形,结合图中数据即可求出它的体积.
【解答】解:由几何的三视图可知,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,
圆锥的底面圆的半径为 1,三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形,圆锥的
高和棱锥的高相等均为 3,
故该几何体的体积为 × ×π×12×3+ × × × ×3= +1,
故选:A
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是根据三视图得
出原几何体的结构特征,是基础题目.
4.(4 分)(2017•浙江)若 x、y 满足约束条件 ,则 z=x+2y 的取值范
围是( )
A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞) D.[4,+∞)
【考点】7C:简单线性规划.菁优网版 权所有
【专题】11 :计算题;31 :数形结合;35 :转化思想;5T :不等式.
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.
【解答】解:x、y 满足约束条件 ,表示的可行域如图:
目标函数 z=x+2y 经过 C 点时,函数取得最小值,
由 解得 C(2,1),
目标函数的最小值为:4
目标函数的范围是[4,+∞).
故选:D.
【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域判断目标函数的最优解是解
题的关键.
5.(4 分)(2017•浙江)若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是 M,
最小值是 m,则 M﹣m( )
A.与 a 有关,且与 b 有关 B.与 a 有关,但与 b 无关
C.与 a 无关,且与 b 无关 D.与 a 无关,但与 b 有关
【考点】3W:二次函数的性质.菁优网版 权所有
【专题】32 :分类讨论;4C :分类法;51 :函数的性质及应用.
【分析】结合二次函数的图象和性质,分类讨论不同情况下 M﹣m 的取值与 a,
b 的关系,综合可得答案.
【解答】解:函数 f(x)=x2+ax+b 的图象是开口朝上且以直线 x=﹣ 为对称轴的
抛物线,
①当﹣ >1 或﹣ <0,即 a<﹣2,或 a>0 时,
函数 f(x)在区间[0,1]上单调,
此时 M﹣m=|f(1)﹣f(0)|=|a+1|,
故 M﹣m 的值与 a 有关,与 b 无关
②当 ≤﹣ ≤1,即﹣2≤a≤﹣1 时,
函数 f(x)在区间[0,﹣ ]上递减,在[﹣ ,1]上递增,
且 f(0)>f(1),
此时 M﹣m=f(0)﹣f(﹣ )= ,
故 M﹣m 的值与 a 有关,与 b 无关
③当 0≤﹣ < ,即﹣1<a≤0 时,
函数 f(x)在区间[0,﹣ ]上递减,在[﹣ ,1]上递增,
且 f(0)<f(1),
此时 M﹣m=f(1)﹣f(﹣ )=1+a+ ,
故 M﹣m 的值与 a 有关,与 b 无关
综上可得:M﹣m 的值与 a 有关,与 b 无关
故选:B
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象
和性质,是解答的关键.
6.(4 分)(2017•浙江)已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”
是“S4+S6>2S5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版 权所有
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4R:转化法;54 :等差数列与等比数
列;5L :简易逻辑.
【分析】根据等差数列的求和公式和 S4+S6>2S5,可以得到 d>0,根据充分必要
条件的定义即可判断.
【解答】解:∵S4+S6>2S5,
∴4a1+6d+6a1+15d>2(5a1+10d),
∴21d>20d,
∴d>0,
故“d>0”是“S4+S6>2S5”充分必要条件,
故选:C
【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件,属于基础题
7.(4 分)(2017•浙江)函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则函
数 y=f(x)的图象可能是( )
A. B. C. D.
【考点】3O:函数的图象.菁优网版 权所有
【专题】31 :数形结合;44 :数形结合法;52 :导数的概念及应用.
【分析】根据导数与函数单调性的关系,当 f′(x)<0 时,函数 f(x)单调递减,
当 f′(x)>0 时,函数 f(x)单调递增,根据函数图象,即可判断函数的单调性,
然后根据函数极值的判断,即可判断函数极值的位置,即可求得函数 y=f(x)的
图象可能
【解答】解:由当 f′(x)<0 时,函数 f(x)单调递减,当 f′(x)>0 时,函数
f(x)单调递增,
则由导函数 y=f′(x)的图象可知:f(x)先单调递减,再单调递增,然后单调递
减,最后单调递增,排除 A,C,
且第二个拐点(即函数的极大值点)在 x 轴上的右侧,排除 B,
故选 D
【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系,考查函数极值的
判断,考查数形结合思想,属于基础题.
8.(4 分)(2017•浙江)已知随机变量ξi 满足 P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1﹣pi,i=1,
2.若 0<p1<p2< ,则( )
A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差.菁优网版 权所有
【专题】11 :计算题;34 :方程思想;49 :综合法;5I :概率与统计.
【分析】由已知得 0<p1<p2< , <1﹣p2<1﹣p1<1,求出 E(ξ1)=p1,E(ξ2)
=p2,从而求出 D(ξ1),D(ξ2),由此能求出结果.
【解答】解:∵随机变量ξi 满足 P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1﹣pi,i=1,2,…,
0<p1<p2< ,
∴ <1﹣p2<1﹣p1<1,
E(ξ1)=1×p1+0×(1﹣p1)=p1,
E(ξ2)=1×p2+0×(1﹣p2)=p2,
D(ξ1)=(1﹣p1)2p1+(0﹣p1)2(1﹣p1)= ,
D(ξ2)=(1﹣p2)2p2+(0﹣p2)2(1﹣p2)= ,
D(ξ1)﹣D(ξ2)=p1﹣p12﹣( )=(p2﹣p1)(p1+p2﹣1)<0,
∴E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2).
故选:A.
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识,考查推理论证
能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是
中档题.
9.(4 分)(2017•浙江)如图,已知正四面体 D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱
锥),P、Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点,AP=PB, = =2,分别记二面角 D
﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,D﹣QR﹣P 的平面角为α、β、γ,则( )
A.γ<α<βB.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α
【考点】MT:二面角的平面角及求法.菁优网版 权所有
【专题】5F :空间位置关系与距离;5G :空间角;5H :空间向量及应用.
【分析】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面△ABC 的中心为 O.不
妨设 OP=3.则 O(0,0,0),P(0,﹣3,0),C(0,﹣6,0),D(0,0,6 ),
Q ,R ,利用法向量的夹角公式即可得出二面角.
解法二:如图所示,连接 OP,OQ,OR,过点 O 分别作垂线:OE⊥PR,OF⊥PQ,
OG⊥QR,垂足分别为 E,F,G,连接 DE,DF,DG..可得 tanα= .tanβ= ,
tanγ= .由已知可得:OE>OG>OF.即可得出.
【解答】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面△ABC 的中心为 O.
不妨设 OP=3.则 O(0,0,0),P(0,﹣3,0),C(0,﹣6,0),D(0,0,6 ),
Q ,R ,
= , =(0,3,6 ), =( ,5,0), = ,
= .
设平面 PDR 的法向量为 =(x,y,z),则 ,可得 ,
可得 = ,取平面 ABC 的法向量 =(0,0,1).
则 cos = = ,取α=arccos .
同理可得:β=arccos .γ=arccos .
∵ > > .
∴α<γ<β.
解法二:如图所示,连接 OP,OQ,OR,过点 O 分别作垂线:OE⊥PR,OF⊥PQ,
OG⊥QR,垂足分别为 E,F,G,连接 DE,DF,DG.
设 OD=h.
则 tanα= .
同理可得:tanβ= ,tanγ= .
由已知可得:OE>OG>OF.
∴tanα<tanγ<tanβ,α,β,γ为锐角.
∴α<γ<β.
故选:B.
【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公
式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
10.(4 分)(2017•浙江)如图,已知平面四边形 ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,
CD=3,AC 与 BD 交于点 O,记 I1= • ,I2= • ,I3= • ,则( )
A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3
【考点】9R:平面向量数量积的运算.菁优网版 权所有
【专题】31 :数形结合;48 :分析法;5A :平面向量及应用.
【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可.
【解答】解:∵AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,
∴AC=2 ,
∴∠AOB=∠COD>90°,
由图象知 OA<OC,OB<OD,
∴0> • > • , • >0,
即 I3<I1<I2,
故选:C.
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据图象结合平面向量数量积的
定义是解决本题的关键.
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分
11.(4 分)(2017•浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,
理论上能把π的值计算到任意精度,祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确
到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内
接正六边形的面积 S6,S6= .
【考点】CE:模拟方法估计概率.菁优网版 权所有
【专题】31 :数形结合;4O:定义法;5B :直线与圆.
【分析】根据题意画出图形,结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积.
【解答】解:如图所示,
单位圆的半径为 1,则其内接正六边形 ABCDEF 中,
△AOB 是边长为 1 的正三角形,
所以正六边形 ABCDEF 的面积为
S6=6× ×1×1×sin60°= .
故答案为: .
【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题,是基础题.
12.(6 分)(2017•浙江)已知 a、b
∈
R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则 a2+b2=
5 ,ab= 2 .
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.菁优网版 权所有
【专题】34 :方程思想;35 :转化思想;5N :数系的扩充和复数.
【分析】a、b
∈
R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),可得 3+4i=a2﹣b2+2abi,可得
3=a2﹣b2,2ab=4,解出即可得出.
【解答】解:a、b
∈
R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),
∴3+4i=a2﹣b2+2abi,
∴3=a2﹣b2,2ab=4,
解得 ab=2, , .
则 a2+b2=5,
故答案为:5,2.
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法,考查了推理能
力与计算能力,属于基础题.
13.(6 分)(2017•浙江)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,
则 a4= 16 ,a5= 4 .
【考点】DC:二项式定理的应用.菁优网版 权所有
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;5P :二项式定理.
【分析】利用二项式定理的展开式,求解 x 的系数就是两个多项式的展开式中 x
与常数乘积之和,a5 就是常数的乘积.
【解答】解:多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,
(x+1)3 中,x 的系数是:3,常数是 1;(x+2)2 中 x 的系数是 4,常数是 4,
a4=3×4+1×4=16;
a5=1×4=4.
故答案为:16;4.
【点评】本题考查二项式定理的应用,考查计算能力,是基础题.
14.(6 分)(2017•浙江)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2,点 D 为 AB 延长线上一
点,BD=2,连结 CD,则△BDC 的面积是 ,cos∠BDC= .
【考点】HT:三角形中的几何计算.菁优网版 权所有
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;44 :数形结合法;58 :解三角形.
【分析】如图,取 BC 得中点 E,根据勾股定理求出 AE,再求出 S△ABC,再根据 S
△BDC= S△ABC 即可求出,根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出
【解答】解:如图,取 BC 得中点 E,
∵AB=AC=4,BC=2,
∴BE= BC=1,AE⊥BC,
∴AE= = ,
∴S△ABC= BC•AE= ×2× = ,
∵BD=2,
∴S△BDC= S△ABC= ,
∵BC=BD=2,
∴∠BDC=∠BCD,
∴∠ABE=2∠BDC
在 Rt△ABE 中,
∵cos∠ABE= = ,
∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= ,
∴cos∠BDC= ,
故答案为: ,
【点评】本题考查了解三角形的有关知识,关键是转化,属于基础题
15.(6 分)(2017•浙江)已知向量 、 满足| |=1,| |=2,则| + |+| ﹣ |
的最小值是 4 ,最大值是 .
【考点】3H:函数的最值及其几何意义;93:向量的模.菁优网版 权所有
【专题】11 :计算题;31 :数形结合;44 :数形结合法;51 :函数的性质及
应用.
【分析】通过记∠AOB=α(0≤α≤π),利用余弦定理可可知| + |= 、
| ﹣ |= ,进而换元,转化为线性规划问题,计算即得结论.
【解答】解:记∠AOB=α,则 0≤α≤π,如图,
由余弦定理可得:
| + |= ,
| ﹣ |= ,
令 x= ,y= ,
则 x2+y2=10(x、y≥1),其图象为一段圆弧 MN,如图,
令 z=x+y,则 y=﹣x+z,
则直线 y=﹣x+z 过 M、N 时 z 最小为 zmin=1+3=3+1=4,
当直线 y=﹣x+z 与圆弧 MN 相切时 z 最大,
由平面几何知识易知 zmax 即为原点到切线的距离的 倍,
也就是圆弧 MN 所在圆的半径的 倍,
所以 zmax= × = .
综上所述,| + |+| ﹣ |的最小值是 4,最大值是 .
故答案为:4、 .
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义,考查数形结合能力,考查运算求解
能力,涉及余弦定理、线性规划等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档题.
16.(4 分)(2017•浙江)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,
普通队员 2 人组成 4 人服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有 660 种
不同的选法.(用数字作答)
【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版 权所有
【专题】11 :计算题;32 :分类讨论;4O:定义法;5O :排列组合.
【分析】由题意分两类选 1 女 3 男或选 2 女 2 男,再计算即可
【解答】解:第一类,先选 1 女 3 男,有 C63C21=40 种,这 4 人选 2 人作为队长
和副队有 A42=12 种,故有 40×12=480 种,
第二类,先选 2 女 2 男,有 C62C22=15 种,这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42=12
种,故有 15×12=180 种,
根据分类计数原理共有 480+180=660 种,
故答案为:660
【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理,属于中档题
17.(4 分)(2017•浙江)已知 a
∈
R,函数 f(x)=|x+ ﹣a|+a 在区间[1,4]上
的最大值是 5,则 a 的取值范围是 (﹣∞, ] .
【考点】3H:函数的最值及其几何意义.菁优网版 权所有
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;51 :函数的性质及应用.
【分析】通过转化可知|x+ ﹣a|+a≤5 且 a≤5,进而解绝对值不等式可知 2a﹣5
≤x+ ≤5,进而计算可得结论.
【解答】解:由题可知|x+ ﹣a|+a≤5,即|x+ ﹣a|≤5﹣a,所以 a≤5,
又因为|x+ ﹣a|≤5﹣a,
所以 a﹣5≤x+ ﹣a≤5﹣a,
所以 2a﹣5≤x+ ≤5,
又因为 1≤x≤4,4≤x+ ≤5,
所以 2a﹣5≤4,解得 a≤ ,
故答案为:(﹣∞, ].
【点评】本题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解
题方法的积累,属于中档题.
三、解答题(共 5 小题,满分 74 分)
18.(14 分)(2017•浙江)已知函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx(x
∈
R).
(Ⅰ)求 f( )的值.
(Ⅱ)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间.
【考点】3G:复合函数的单调性;GI:三角函数的化简求值;H1:三角函数的
周期性及其求法;H5:正弦函数的单调性.菁优网版 权所有
【专题】35 :转化思想;4R:转化法;57 :三角函数的图像与性质.
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式,
(Ⅰ)代入可得:f( )的值.
(Ⅱ)根据正弦型函数的图象和性质,可得 f(x)的最小正周期及单调递增区间
【解答】解:∵函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣ sin2x﹣cos2x=2sin
(2x+ )
(Ⅰ)f( )=2sin(2× + )=2sin =2,
(Ⅱ)∵ω=2,故 T=π,
即 f(x)的最小正周期为π,
由 2x+
∈
[﹣ +2kπ, +2kπ],k
∈
Z 得:
x
∈
[﹣ +kπ,﹣ +kπ],k
∈
Z,
故 f(x)的单调递增区间为[﹣ +kπ,﹣ +kπ]或写成[kπ+ ,kπ+ ],k
∈
Z.
【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值,三角函数的周期性,三角函
数的单调区间,难度中档.
19.(15 分)(2017•浙江)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD,△PAD 是以 AD 为斜边
的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点.
(Ⅰ)证明:CE∥平面 PAB;
(Ⅱ)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
【考点】MI:直线与平面所成的角;LS:直线与平面平行的判定.菁优网版 权所有
【专题】14 :证明题;31 :数形结合;41 :向量法;5F :空间位置关系与距
离;5G :空间角.
【分析】(Ⅰ)取 AD 的中点 F,连结 EF,CF,推导出 EF∥PA,CF∥AB,从而平
面 EFC∥平面 ABP,由此能证明 EC∥平面 PAB.
(Ⅱ)连结 BF,过 F 作 FM⊥PB 于 M,连结 PF,推导出四边形 BCDF 为矩形,从
而 BF⊥AD,进而 AD⊥平面 PBF,由 AD∥BC,得 BC⊥PB,再求出 BC⊥MF,由
此能求出 sinθ.
【解答】证明:(Ⅰ)取 AD 的中点 F,连结 EF,CF,
∵E 为 PD 的中点,∴EF∥PA,
在四边形 ABCD 中,BC∥AD,AD=2DC=2CB,F 为中点,
∴CF∥AB,∴平面 EFC∥平面 ABP,
∵EC
⊂
平面 EFC,
∴EC∥平面 PAB.
解:(Ⅱ)连结 BF,过 F 作 FM⊥PB 于 M,连结 PF,
∵PA=PD,∴PF⊥AD,
推导出四边形 BCDF 为矩形,∴BF⊥AD,
∴AD⊥平面 PBF,又 AD∥BC,
∴BC⊥平面 PBF,∴BC⊥PB,
设 DC=CB=1,则 AD=PC=2,∴PB= ,
BF=PF=1,∴MF= ,
又 BC⊥平面 PBF,∴BC⊥MF,
∴MF⊥平面 PBC,即点 F 到平面 PBC 的距离为 ,
∵MF= ,D 到平面 PBC 的距离应该和 MF 平行且相等,为 ,
E 为 PD 中点,E 到平面 PBC 的垂足也为垂足所在线段的中点,即中位线,
∴E 到平面 PBC 的距离为 ,
在 ,
由余弦定理得 CE= ,
设直线 CE 与平面 PBC 所成角为θ,则 sinθ= = .
【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线
线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、
空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.
20.(15 分)(2017•浙江)已知函数 f(x)=(x﹣ )e﹣x(x≥ ).
(1)求 f(x)的导函数;
(2)求 f(x)在区间[ ,+∞)上的取值范围.
【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中的应用;6B:利用导数研究函数的单
调性.菁优网版 权所有
【专题】35 :转化思想;48 :分析法;53 :导数的综合应用.
【分析】(1)求出 f(x)的导数,注意运用复合函数的求导法则,即可得到所求;
(2)求出 f(x)的导数,求得极值点,讨论当 <x<1 时,当 1<x< 时,当
x> 时,f(x)的单调性,判断 f(x)≥0,计算 f( ),f(1),f( ),即可
得到所求取值范围.
【解答】解:(1)函数 f(x)=(x﹣ )e﹣x(x≥ ),
导数 f′(x)=(1﹣ • •2)e﹣x﹣(x﹣ )e﹣x
=(1﹣x+ )e﹣x=(1﹣x)(1﹣ )e﹣x;
(2)由 f(x)的导数 f′(x)=(1﹣x)(1﹣ )e﹣x,
可得 f′(x)=0 时,x=1 或 ,
当 <x<1 时,f′(x)<0,f(x)递减;
当 1<x< 时,f′(x)>0,f(x)递增;
当 x> 时,f′(x)<0,f(x)递减,
且 x≥
⇔
x2≥2x﹣1
⇔
(x﹣1)2≥0,
则 f(x)≥0.
由 f( )= e ,f(1)=0,f( )= e ,
即有 f(x)的最大值为 e ,最小值为 f(1)=0.
则 f(x)在区间[ ,+∞)上的取值范围是[0, e ].
【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算
能力,正确求导是解题的关键,属于中档题.
21.(15 分)(2017•浙江)如图,已知抛物线 x2=y,点 A(﹣ , ),B( , ),
抛物线上的点 P(x,y)(﹣ <x< ),过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q.
(Ⅰ)求直线 AP 斜率的取值范围;
(Ⅱ)求|PA|•|PQ|的最大值.
【考点】KO:圆锥曲线的最值问题;KN:直线与抛物线的位置关系.菁优网版 权所有
【专题】11 :计算题;33 :函数思想;49 :综合法;5E :圆锥曲线中的最值
与范围问题.
【分析】(Ⅰ)通过点 P 在抛物线上可设 P(x,x2),利用斜率公式结合﹣ <x
< 可得结论;
(Ⅱ)通过(I)知 P(x,x2)、﹣ <x< ,设直线 AP 的斜率为 k,联立直线
AP、BP 方程可知 Q 点坐标,进而可用 k 表示出 、 ,计算可知|PA|•|PQ|=
(1+k)3(1﹣k),通过令 f(x)=(1+x)3(1﹣x),﹣1<x<1,求导结合单调
性可得结论.
【解答】解:(Ⅰ)由题可知 P(x,x2),﹣ <x< ,
所以 kAP= =x﹣
∈
(﹣1,1),
故直线 AP 斜率的取值范围是:(﹣1,1);
(Ⅱ)由(I)知 P(x,x2),﹣ <x< ,
所以 =(﹣ ﹣x, ﹣x2),
设直线 AP 的斜率为 k,则 AP:y=kx+ k+ ,BQ:y=﹣ x+ + ,
联立直线 AP、BQ 方程可知 Q( , ),
故 =( , ),
又因为 =(﹣1﹣k,﹣k2﹣k),
故﹣|PA|•|PQ|= • = + =(1+k)3(k﹣1),
所以|PA|•|PQ|=(1+k)3(1﹣k),
令 f(x)=(1+x)3(1﹣x),﹣1<x<1,
则 f′(x)=(1+x)2(2﹣4x)=﹣2(1+x)2(2x﹣1),
由于当﹣1<x<﹣ 时 f′(x)>0,当 <x<1 时 f′(x)<0,
故 f(x)max=f( )= ,即|PA|•|PQ|的最大值为 .
【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题,考查运算求解能力,考查函数思想,注
意解题方法的积累,属于中档题.
22.(15 分)(2017•浙江)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n
∈
N*),
证明:当 n
∈
N*时,
(Ⅰ)0<xn+1<xn;
(Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ ;
(Ⅲ) ≤xn≤ .
【考点】8H:数列递推式;8K:数列与不等式的综合.菁优网版 权所有
【专题】15 :综合题;33 :函数思想;35 :转化思想;49 :综合法;4M:
构造法;53 :导数的综合应用;54 :等差数列与等比数列;55 :点列、递归
数列与数学归纳法;5T :不等式.
【分析】(Ⅰ)用数学归纳法即可证明,
(Ⅱ)构造函数,利用导数判断函数的单调性,把数列问题转化为函数问题,即
可证明,
(Ⅲ)由 ≥2xn+1﹣xn 得 ﹣ ≥2( ﹣ )>0,继续放缩即可证明
【解答】解:(Ⅰ)用数学归纳法证明:xn>0,
当 n=1 时,x1=1>0,成立,
假设当 n=k 时成立,则 xk>0,
那么 n=k+1 时,若 xk+1<0,则 0<xk=xk+1+ln(1+xk+1)<0,矛盾,
故 xn+1>0,
因此 xn>0,(n
∈
N*)
∴xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1,
因此 0<xn+1<xn(n
∈
N*),
(Ⅱ)由 xn=xn+1+ln(1+xn+1)得 xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1),
记函数 f(x)=x2﹣2x+(x+2)ln(1+x),x≥0
∴f′(x)= +ln(1+x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(x)≥f(0)=0,
因此 xn+12﹣2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)≥0,
故 2xn+1﹣xn≤ ;
(Ⅲ)∵xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,
∴xn≥ ,
由 ≥2xn+1﹣xn 得 ﹣ ≥2( ﹣ )>0,
∴ ﹣ ≥2( ﹣ )≥…≥2n﹣1( ﹣ )=2n﹣2,
∴xn≤ ,
综上所述 ≤xn≤ .
【点评】本题考查了数列的概念,递推关系,数列的函数的特征,导数和函数的
单调性的关系,不等式的证明,考查了推理论证能力,分析解决问题的能力,运
算能力,放缩能力,运算能力,属于难题
参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;whgcn;豫汝王世崇;铭灏 2016;zlzhan;
沂蒙松;maths;742048;cst;双曲线(排名不分先后)
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2017 年 8 月 1 日
考点卡片
1.并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素的组成的集合叫做 A 与 B 的并集,记作 A
∪B.
符号语言:A∪B={x|x
∈
A 或 x
∈
B}.
图形语言: .
A∪B 实际理解为:①x 仅是 A 中元素;②x 仅是 B 中的元素;③x 是 A 且是 B 中
的元素.
运算形状:
①A∪B=B∪A.②A∪
∅
=A.③A∪A=A.④A∪B
⊇
A,A∪B
⊇
B.⑤A∪B=B
⇔
A
⊆
B.⑥
A∪B=
∅
,两个集合都是空集.⑦A∪(CUA)=U.⑧CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB).
【解题方法点拨】解答并集问题,需要注意并集中:“或”与“所有”的理解.不能
把“或”与“且”混用;注意并集中元素的互异性.不能重复.
【命题方向】掌握并集的表示法,会求两个集合的并集,命题通常以选择题、填
空题为主,也可以与函数的定义域,值域联合命题.
2.必要条件、充分条件与充要条件的判断
【知识点的认识】
正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、
逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点;掌握逻辑推理能力和语言互译能
力,对充要条件概念本质的把握是本节的难点.
1.充分条件:对于命题“若 p 则 q”为真时,即如果 p 成立,那么 q 一定成立,
记作“p
⇒
q”,称 p 为 q 的充分条件.意义是说条件 p 充分保证了结论 q 的成立,
换句话说要使结论 q 成立,具备条件 p 就够了当然 q 成立还有其他充分条件.如
p:x≥6,q:x>2,p 是 q 成立的充分条件,而 r:x>3,也是 q 成立的充分条
件.
必要条件:如果 q 成立,那么 p 成立,即“q
⇒
p”,或者如果 p 不成立,那么 q 一
定不成立,也就是“若非 p 则非 q”,记作“¬p
⇒
¬q”,这是就说条件 p 是 q 的必
要条件,意思是说条件 p 是 q 成立的必须具备的条件.
充要条件:如果既有“p
⇒
q”,又有“q
⇒
p”,则称条件 p 是 q 成立的充要条件,或
称条件 q 是 p 成立的充要条件,记作“p
⇔
q”.
2.从集合角度看概念:
如果条件 p 和结论 q 的结果分别可用集合 P、Q 表示,那么
①“p
⇒
q”,相当于“P
⊆
Q”.即:要使 x
∈
Q 成立,只要 x
∈
P 就足够了﹣﹣有它就行.
②“q
⇒
p”,相当于“P
⊇
Q”,即:为使 x
∈
Q 成立,必须要使 x
∈
P﹣﹣缺它不行.
③“p
⇔
q”,相当于“P=Q”,即:互为充要的两个条件刻画的是同一事物.
3.当命题“若 p 则 q”为真时,可表示为,则我们称 p 为 q 的充分条件,q 是 p 的
必要条件.这里由,得出 p 为 q 的充分条件是容易理解的.但为什么说 q 是 p
的必要条件呢?事实上,与“”等价的逆否命题是“”.它的意义是:若 q 不成立,
则 p 一定不成立.这就是说,q 对于 p 是必不可少的,所以说 q 是 p 的必要条件.
4.“充要条件”的含义,实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同.也就是
说,如果命题 p 等价于命题 q,那么我们说命题 p 成立的充要条件是命题 q 成立;
同时有命题 q 成立的充要条件是命题 p 成立.
【解题方法点拨】
1.借助于集合知识加以判断,若 P
⊆
Q,则 P 是 Q 的充分条件,Q 是的 P 的必要
条件;若 P=Q,则 P 与 Q 互为充要条件.
2.等价法:“P
⇒
Q”
⇔
“¬Q
⇒
¬P”,即原命题和逆否命题是等价的;原命题的逆
命题和原命题的否命题是等价的.
3.对于充要条件的证明,一般有两种方法:其一,是用分类思想从充分性、必
要性两种情况分别加以证明;其二,是逐步找出其成立的充要条件用“
⇔
”连接.
【命题方向】
充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系,它是中学数学最重要的
数学概念之一,它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础.在每年的高考中,
都会考查此类问题.
3.复合函数的单调性
【知识点的认识】
所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成,这种函数先要考
虑基本函数的单调性,然后再考虑整体的单调性.平常常见的一般以两个函数的
为主.
【解题方法点拨】
求复合函数 y=f(g(x))的单调区间的步骤:
(1)确定定义域;
(2)将复合函数分解成两个基本初等函数;
(3)分别确定两基本初等函数的单调性;
(4)按“同增异减”的原则,确定原函数的单调区间.
【命题方向】
理解复合函数的概念,会求复合函数的区间并判断函数的单调性.
4.函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质,从图象上看,函数的最大值或
最小值是图象最高点或最低点的纵坐标,求函数的最值一般是先求出极值在求出
端点的值,然后进行比较可得.
【解题方法点拨】
①基本不等式法:如当 x>0 时,求 2x+ 的最小值,有 2x+ ≥2 =8;
②转化法:如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值,那么可以看成是数轴上的点到 x=5 和
x=3 的距离之和,易知最小值为 2;
③求导法:通过求导判断函数的单调性进而求出极值,再结合端点的值最后进行
比较.
【命题方向】
本知识点是常考点,重要性不言而喻,而且通常是以大题的形式出现,所以
务必引起重视.本知识 点未来将仍然以复合函数为基础,添加若干个参数,然
后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围.常
用方法有分离参变量法、多次求导法等.
5.函数的图象
【知识点的认识】
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.
首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、
单调性、周期性、对称性等).
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),
描点,连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换:
y=f(x)a>0,右移 a 个单位(a<0,左移|a|个单位)
⇒
y=f(x﹣a);
y=f(x)b>0,上移 b 个单位(b<0,下移|b|个单位)
⇒
y=f(x)+b.
(2)伸缩变换:
y=f(x) y=f(ωx);
y=f(x)A>1,伸为原来的 A 倍(0<A<1,缩为原来的 A 倍)
⇒
y=Af(x).
(3)对称变换:
y=f(x)关于 x 轴对称
⇒
y=﹣f(x);
y=f(x)关于 y 轴对称
⇒
y=f(﹣x);
y=f(x)关于原点对称
⇒
y=﹣f(﹣x).
(4)翻折变换:
y=f(x)去掉 y 轴左边图,保留 y 轴右边图,将 y 轴右边的图象翻折到左边
⇒
y=f
(|x|);
y=f(x)留下 x 轴上方图将 x 轴下方图翻折上去 y=|f(x)|.
【解题方法点拨】
1、画函数图象的一般方法
(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几
何中熟悉的曲线时,可根据这些函数或曲线的特征直接作出.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称
得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉函数的要
先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
(3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过描少量点,
就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
(1)知图选式:
①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;
②从图象的变化趋势,观察函数的单调性;
③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;
④从图象的循环往复,观察函数的周期性.
利用上述方法,排除错误选项,筛选正确的选项.
(2)知式选图:
①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;
②从函数的单调性,判断图象的变化 趋势;
③从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
④从函数的周期性,判断图象的循环往复.
利用上述方法,排除错误选项,筛选正确选项.
注意联系基本函数图象和模型,当选项无法排除时,代特殊值,或从某些量上寻
找突破口.
3、(1)利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数
的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.
(2)利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数;利用此法也可由
解的个数求参数值.
4、方法归纳:
(1)1 个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的 x,y 变换”的原
则,写出每一次的变换所得图象对应的解析式,这样才能避免出错.
(2)3 个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象,必须做到以下三点:
①正确求出函数的定义域;
②熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函
数、幂函数、形如 y=x+的函数;
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧,
来帮助我们简化作图过程.
(3)3 种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称
性等方面来获取图中所提供的信息,解决这类问题的常用方法有:
①定性分析法,也就是通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下
降)的趋势,利用这一特征来分析解决问题;
②定量计算法,也就是通过定量的计算来分析解决问题;
③函数模型法,也就是由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数
模型来分析解决问题.
6.二次函数的性质
【知识点的认识】
其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定
理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移.
【解题方法点拨】
以 y=ax2+bx+c 为例:
①开口、对称轴、最值与 x 轴交点个数,当 a>0(<0)时,图象开口向上(向
下);对称轴 x=﹣ ;最值为:f(﹣ );判别式△=b2﹣4ac,当△=0 时,函
数与 x 轴只有一个交点;△>0 时,与 x 轴有两个交点;当△<0 时无交点.
②根与系数的关系.若△≥0,且 x1、x2 为方程 y=ax2+bx+c 的两根,则有 x1+x2=
﹣ ,x1•x2= ;
③二次函数其实也就是抛物线,所以 x2=2py 的焦点为(0, ),准线方程为 y=
﹣ ,含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离.
④平移:当 y=a(x+b)2+c 向右平移一个单位时,函数变成 y=a(x﹣1+b)2+c;
例题:y=2x2+x﹣3
那么由 2>0,可知抛物线开口向上,对称轴为 x=﹣ ,最小值为 f(﹣ )
=﹣ ,;△=1+24=25>0,故方程 2x2+x﹣3=0 有两个根,其满足 x1+x2=﹣ ;x1•x2=
﹣ ;
另外,方程可以写成(y+ )=2(x+ )2,当沿 x 轴向右 ,在向下平移
时,就变成 y=2x2;
【命题方向】
重点关注高中所学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移.另外在解析几何当
做要灵活运用韦达定理.
7.利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系:
(1)若 f′(x)>0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是增函数,f′
(x)>0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
(2)若 f′(x)<0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是减函数,f′
(x)<0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:
(1)确定 f(x)的定义域;
(2)计算导数 f′(x);
(3)求出 f′(x)=0 的根;
(4)用 f′(x)=0 的根将 f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区
间内 f′(x)的符号,进而确定 f(x)的单调区间:f′(x)>0,则 f(x)在对应
区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0,则 f(x)在对应区间上是减
函数,对应区间为减区间.
【典型例题分析】
题型一:导数和函数单调性的关系
典例 1:已知函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x
∈
R,f′(x)>2,
则 f(x)>2x+4 的解集为( )
A.(﹣1,1)B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,+∞)
解:设 g(x)=f(x)﹣2x﹣4,
则 g′(x)=f′(x)﹣2,
∵对任意 x
∈
R,f′(x)>2,
∴对任意 x
∈
R,g′(x)>0,
即函数 g(x)单调递增,
∵f(﹣1)=2,
∴g(﹣1)=f(﹣1)+2﹣4=4﹣4=0,
则由 g(x)>g(﹣1)=0 得
x>﹣1,
即 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞),
故选:B
题型二:导数很函数单调性的综合应用
典例 2:已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a
∈
R).
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,对于
任意的 t
∈
[1,2],函数 在区间(t,3)上总不是单调
函数,求 m 的取值范围;
(Ⅲ)求证: .
解:(Ⅰ) (2 分)
当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞);
当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),减区间为(0,1];
当 a=0 时,f(x)不是单调函数(4 分)
(Ⅱ) 得 a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+2x﹣3
∴ ,
∴g'(x)=3x2+(m+4)x﹣2(6 分)
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=﹣2
∴
由题意知:对于任意的 t
∈
[1,2],g′(t)<0 恒成立,
所以有: ,∴ (10 分)
(Ⅲ)令 a=﹣1 此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以 f(1)=﹣2,
由(Ⅰ)知 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+∞)上单调递增,
∴当 x
∈
(1,+∞)时 f(x)>f(1),即﹣lnx+x﹣1>0,
∴lnx<x﹣1 对一切 x
∈
(1,+∞)成立,(12 分)
∵n≥2,n
∈
N*,则有 0<lnn<n﹣1,
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使 f′(x)=0,在其余的点恒有 f′(x)>0,则 f(x)
仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内 f′(x)>0 是 f(x)在此区
间上为增函数的充分条件,而不是必要条件.
8.导数在最大值、最小值问题中的应用
【知识点的知识】
一、利用导数求函数的极值
1、极大值
一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f
(x)<f(x0),就说 f(x0)是函数的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),是极大值
点.
2、极小值
一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)
>f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),是极小
值点.
3、极大值与极小值统称为极值
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数
值.请注意以下几点:
(ⅰ)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函
数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
(ⅱ)函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小
值可以不止一个.
(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极
小值,如下图所示,x1 是极大值点,x4 是极小值点,而 f(x4)>f(x1).
(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使
函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点
4、判别 f(x0)式极大值、极小值的方法:
若 x0 满足 f′(x0)=0,且在 x0 的两侧 f(x)的导数异号,则 x0 是 f(x)的极值点,
f(x0)是极值,并且如果 f′(x)在 x0 两侧满足“左正右负”,则 x0 是 f(x)的极
大值点,f(x0)是极大值;如果 f′(x)在 x0 两侧满足“左负右正”,则 x0 是 f(x)
的极小值点,f(x0)是极小值.
5、求可导函数 f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x);
(2)求方程 f′(x)=0 的根;
(3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列
成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在
这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果
左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值.
二、利用导数求函数的最大值与最小值
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数 f(x)的图象.图中 f(x1)与 f(x3)
是极小值,f(x2)是极大值.函数 f(x)在[a,b]上的最大值是 f(b),最小值
是 f(x1).
一般地,在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
说明:(1)在开区间(a,b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值.如
函数 f(x)= 在(0,+∞)内连续,但没有最大值与最小值;
(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值
点附近函数值得出的.
(3)函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,是 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值
与最小值的充分条件而非必要条件.
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能
不止一个,也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤:
由上面函数 f(x)的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点
的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了.
设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求 f(x)在[a,b]上的最
大值与最小值的步骤如下:
(1)求 f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将 f(x)的各极值与 f(a)、f(b)比较得出函数 f(x)在[a,b]上的最值.
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点:
(1)按定义,极值点 x0 是区间[a,b]内部的点,不会是端点 a,b(因为在端点
不可导).
(2)极值是一个局部性概念,只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须
在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值,在
某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值,也就是说极大值与极小值没有必
然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
(3)若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,
即在区间上单调的函数没有极值.
(4)若函数 f(x)在[a,b]上有极值且连续,则它的极值点的分布是有规律的,
相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个
极大值点,一般地,当函数 f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数 f
(x)在[a,b]内的极大值点、极小值点是交替出现的,
(5)可导函数的极值点必须是导数为 0 的点,但导数为 0 的点不一定是极值点,
不可导的点也可能是极值点,也可能不是极值点.
9.简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问
题,它是一种重要的数学模型.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的
线性规划,其最优解可以用数形结合方法求出.我们高中阶段接触的主要是由三
个二元一次不等式组限制的可行域,然后在这个可行域上面求某函数的最值或者
是斜率的最值.
【例题解析】
例:若目标函数 z=x+y 中变量 x,y 满足约束条件 .
(1)试确定可行域的面积;
(2)求出该线性规划问题中所有的最优解.
解:(1)作出可行域如图:对应得区域为直角三角形 ABC,
其中 B(4,3),A(2,3),C(4,2),
则可行域的面积 S= = .
(2)由 z=x+y,得 y=﹣x+z,则平移直线 y=﹣x+z,
则由图象可知当直线经过点 A(2,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最小,
此时 z 最小为 z=2+3=5,
当直线经过点 B(4,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最大,
此时 z 最大为 z=4+3=7,
故该线性规划问题中所有的最优解为(4,3),(2,3)
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型,解这种题一律先画图,把每条
直线在同一个坐标系中表示出来,然后确定所表示的可行域,也即范围;最后通
过目标函数的平移去找到它的最值.
【考点预测】
线性规划在实际中应用广泛,因此具有很高的实用价值,所以也成为了高考
的一个热点.大家在备考的时候,需要学会准确的画出可行域,然后会平移目标
曲线.
10.数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义:如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项),且任一项 an 与它的
前一项 an﹣1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做
这个数列的递推公式.
2、数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式:an= .
在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系,是本讲内容一个重点,要认
真掌握.
注意:(1)用 an=Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了
吗?(n≥2,当 n=1 时,a1=S1);若 a1 适合由 an 的表达式,则 an 不必表达成分
段形式,可化统一为一个式子.
(2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系式 an=Sn﹣
Sn﹣1,先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解.
3、数列的通项的求法:
(1)公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式.
(2)已知 Sn(即 a1+a2+…+an=f(n))求 an,用作差法:an= .一
般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系式,先将已知条件
转化为只含 或 的关系式,然后再求解.
(3)已知 a1•a2…an=f(n)求 an,用作商法:an,= .
(4)若 an+1﹣an=f(n)求 an,用累加法:an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2
﹣a1)+a1(n≥2).
(5)已知 =f(n)求 an,用累乘法:an= (n≥2).
(6)已知递推关系求 an,有时也可以用构造法(构造等差、等比数列).特别地
有,
①形如 an=kan﹣1+b、an=kan﹣1+bn(k,b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法
转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an.
②形如 an= 的递推数列都可以用倒数法求通项.
(7)求通项公式,也可以由数列的前几项进行归纳猜想,再利用数学归纳法进
行证明.
11.数列与不等式的综合
【知识点的知识】
证明与数列求和有关的不等式基本方法:
(1)直接将数列求和后放缩;
(2)先将通项放缩后求和;
(3)先将通项放缩后求和再放缩;
(4)尝试用数学归纳法证明.
常用的放缩方法有:
, , ,
= [ ]
﹣ = < < = ﹣ (n≥2),
< = ( )(n≥2),
,
2( )= < = < =2( ).
…+ ≥ …+ = = < .
【解题方法点拨】
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而
充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成
为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往
是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰
当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
(1)添加或舍去一些项,如: >|a|; >n;
(2)将分子或分母放大(或缩小);
(3)利用基本不等式; < ;
(4)二项式放缩;
(5)利用常用结论;
(6)利用函数单调性.
(7)常见模型:
①等差模型;②等比模型;③错位相减模型;④裂项相消模型;⑤二项式定理模
型;⑥基本不等式模型.
【典型例题分析】
题型一:等比模型
典例 1:对于任意的 n
∈
N*,数列{an}满足 =n+1.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求证:对于 n≥2, .
解答:(Ⅰ)由 ①,
当 n≥2 时,得 ②,
①﹣②得 .
∴ .
又 ,得 a1=7 不适合上式.
综上得 ;
(Ⅱ)证明:当 n≥2 时, .
∴ = .
∴当 n≥2 时, .
题型二:裂项相消模型
典例 2:数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意 n
∈
N*,总有 an,
Sn,an2 成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: .
分析:(1)根据 an=Sn﹣Sn﹣1,整理得 an﹣an﹣1=1(n≥2)进而可判断出数列{an}
是公差为 1 的等差数列,根据等差数列的通项公式求得答案.
(2)由(1)知 ,因为 ,所以 ,从而
得证.
解答:(1)由已知:对于 n
∈
N*,总有 2Sn=an+an2①成立
∴ (n≥2)②
①﹣②得 2an=an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12,∴an+an﹣1=(an+an﹣1)(an﹣an﹣1)
∵an,an﹣1 均为正数,∴an﹣an﹣1=1(n≥2)∴数列{an}是公差为 1 的等差数列
又 n=1 时,2S1=a1+a12,解得 a1=1,∴an=n.(n
∈
N*)
(2)解:由(1)可知 ∵
∴
【解题方法点拨】
(1)放缩的方向要一致.
(2)放与缩要适度.
(3)很多时候只对数列的一部分进行放缩法,保留一些项不变(多为前几项或
后几项).
(4)用放缩法证明极其简单,然而,用放缩法证不等式,技巧性极强,稍有不
慎,则会出现放缩失当的现象.所以对放缩法,只需要了解,不宜深入.
12.向量的模
【知识点的知识】
1、向量的模: 的大小,也就是 的长度(或称模),记作| |.
2、零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作 ,零向量的长度为 0,方向不确
定.
3、单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与 共线的单位向
量是 ).
4、相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性.
13.平面向量数量积的运算
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①( ± )2= 2±2 • + 2.②( ﹣ )
( + )= 2﹣ 2.③ •( • )≠( • )• ,从这里可以看出它的运算法则和
数的运算法则有些是相同的,有些不一样.
【例题解析】
例:由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:
①“mn=nm”类比得到“ ”
②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( )• = ”;
③“t≠0,mt=nt
⇒
m=n”类比得到“
⇒
”;
④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“| |=| |•| |”;
⑤“(m•n)t=m(n•t)”类比得到“( )• = ”;
⑥“ ”类比得到 . 以上的式子中,类比得到的结论正确的是 ①
② .
解:∵向量的数量积满足交换律,
∴“mn=nm”类比得到“ ”,
即①正确;
∵向量的数量积满足分配律,
∴“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( )• = ”,
即②正确;
∵向量的数量积不满足消元律,
∴“t≠0,mt=nt
⇒
m=n”不能类比得到“
⇒
”,
即③错误;
∵| |≠| |•| |,
∴“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“| |=| |•| |”;
即④错误;
∵向量的数量积不满足结合律,
∴“(m•n)t=m(n•t)”不能类比得到“( )• = ”,
即⑤错误;
∵向量的数量积不满足消元律,
∴ ”不能类比得到 ,
即⑥错误.
故答案为:①②.
向量的数量积满足交换律,由“mn=nm”类比得到“ ”;向量的数量
积满足分配律,故“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( )• = ”;向量
的数量积不满足消元律,故“t≠0,mt=nt
⇒
m=n”不能类比得到“
⇒
” ; | | ≠ | |•| | , 故 “|m•n|=|m|•|n|” 不 能 类 比 得 到
“| |=| |•| |”;向量的数量积不满足结合律,故“(m•n)t=m(n•t)”不能
类比得到“( )• = ”;向量的数量积不满足消元律,故 ”不能
类比得到 .
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握,这个知识点和三角函数联系比较多,也
是一个常考点,题目相对来说也不难,所以是拿分的考点,希望大家都掌握.
14.复数代数形式的乘除运算
【知识点的知识】
1、复数的加、减、乘、除运算法则
2、复数加法、乘法的运算律
15.模拟方法估计概率
【知识点的知识】
1、模拟方法﹣﹣概率的应用
在大量重复试验的前提下,可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概
率,但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验,既费时又费力,
并且有时很难实现.因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概
率.
2、定义:向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M,若点 M 落在子区域
G1
⊊
G 的概率与 G1 的面积成正比,而与 G 的形状、位置无关,即 P(点 M 落在
G1)= ,则称这种模型为几何概型.
说明:几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上的有限区域,相应的概率是体
积之比或长度之比.
【解题方法点拨】
1、几何概型与古典概型的比较:
几何概型 古典概型
类
型
比
较
区
别
试验中所有可能出现的结果(基
本事件)有无限多个
试验的所有可能结果只有有限个,每次试
验只出现其中的一个结果
联
系
每个基本事件(每一个试验结果)出现的可能性相等
2、求解几何概型的步骤:
(1)适当选择观察角度(一定要注意观察角度的等可能性);
(2)把基本事件转化为与之对应的区域;
(3)把随机事件 A 转化为与之对应的区域;
(4)利用概率公式计算.
3、如果事件 A 对应的区域不易处理,可以用其对立事件逆向求解.同时要注意
判断基本事件的等可能性,这需要严谨的思维,切忌想当然,需要从问题的实际
背景去判断.
16.离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望,简称期望.
数学期望的意义:数学期望离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机
变量取值的平均水平.
平均数与均值:一般地,在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令
p1=p2=…=pn,则有 p1=p2=…=pn= ,Eξ=(x1+x2+…+xn)× ,所以ξ的数学期望又称
为平均数、均值.
期望的一个性质:若η=aξ+b,则 E(aξ+b)=aEξ+b.
2、离散型随机变量的方差;
方差:对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是 x1,x2,…,xn,…,且
取这些值的概率分别是 p1,p2,…,pn…,那么,
称
为随机变量ξ的均方差,简称为方差,式中的 Eξ 是随机变量ξ的期望.
标准差:Dξ的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差,记作 .
方差的性质: .
方差的意义:
(1)随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;
(2)随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数,它们都反映了随机变
量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;
(3)标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛.
17.排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧:
①特殊元素优先安排;
②合理分类与准确分步;
③排列、组合混合问题先选后排;
④相邻问题捆绑处理;
⑤不相邻问题插空处理;
⑥定序问题除法处理;
⑦分排问题直排处理;
⑧“小集团”排列问题先整体后局部;
⑨构造模型;
⑩正难则反、等价转化.
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则:一是按元素的性质分类,
二是按时间发生的过程进行分步.对于有限制条件的排列组合问题,通常从以下
三个途径考虑:
①以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;
②以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;
③先不考虑限制条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数.
2、排列、组合问题几大解题方法:
(1)直接法;
(2)排除法;
(3)捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待
整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;
(4)插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的
空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”;
(5)占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再
排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后
再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则;
(6)调序法:当某些元素次序一定时,可用此法;
(7)平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有 ;
(8)隔板法:常用于解正整数解组数的问题;
(9)定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元
素都包含在内,并且都排在某 r 个指定位置则有 ;
(10)指定元素排列组合问题:
①从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列(或组合),规定某 r 个元
素都包含在内.先 C 后 A 策略,排列 ;组合 ;
②从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合),规定某 r 个元素
都不包含在内.先 C 后 A 策略,排列 ;组合 ;
③从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合),规定每个排列(或
组合)都只包含某 r 个元素中的 s 个元素.先 C 后 A 策略,排列 ;组
合 .
18.二项式定理的应用
【知识点的知识】
二项式定理的应用:
(1)求特征项:先求通项公式,再求满足条件的 r;
(2)求二项式系数及项的系数的问题:
①二次项系数:每项中的组合数
②项的系数:除去变量以外的部分
(3)证明组合恒等式问题:熟记组合数的各个性质;
(4)整除、余数的问题:通常把底数适当地拆成两项之和或之差,再按二项式
定理展开推得所求结论;
(5)近似计算的问题:一般地,当 a 较小时,(1+a)n≈1+na
*记清二项展开式的特点,熟记二项展开式的通项公式是正确应用二项式定理的
关键.
19.三角函数的化简求值
【知识点的知识】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合
理的拆分,从而正确使用公式.
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的
有“切化弦”;
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的
有“遇到分式要通分”等.
20.三角函数的周期性及其求法
【知识点的认识】
周期性
①一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的
每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数
T 叫做这个函数的周期.
②对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么
这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.
③函数 y=Asin(ωx+φ),x
∈
R 及函数 y=Acos(ωx+φ);x
∈
R(其中 A、ω、φ为常
数,且 A≠0,ω>0)的周期 T= .
【解题方法点拨】
1.一点提醒
求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意ω的符号,只有当ω>0 时,才能
把ωx+φ看作一个整体,代入 y=sin t 的相应单调区间求解,否则将出现错误.
2.两类点
y=sin x,x
∈
[0,2π],y=cos x,x
∈
[0,2π]的五点是:零点和极值点(最值点).
3.求周期的三种方法
①利用周期函数的定义.f(x+T)=f(x)
②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 ,y=tan
(ωx+φ)的最小正周期为 .
③利用图象.图象重复的 x 的长度.
21.正弦函数的单调性
【知识点的知识】
三角函数的单调性的规律方法
1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图象,结合图象判
定.
2.求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>0)的单调区间时,要
视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导
公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
22.三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算:
(1)利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解:
①已知两角和任一边,求其他两边和一角.
②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和
角).
(2)利用余弦定理可以求解:
①解三角形;
②判断三角形的形状;
③实现边角之间的转化.包括:a、已知三边,求三个角;b、已知两边和夹角,
求第三边和其他两角.
2、与面积有关的问题:
(1)三角形常用面积公式
①S= a•ha(ha 表示边 a 上的高);
②S= absinC= acsinB= bcsinA.
③S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径).
(2)面积问题的解法:
①公式法:三角形、平行四边形、矩形等特殊图形,可用相应面积公式解决.
②割补法:若是求一般多边形的面积,可采用作辅助线的办法,通过分割或补形
把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形,再由三角形的面积公式求
解.
3、几何计算最值问题:
(1)常见的求函数值域的求法:
①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;
②逆求法(反求法):通过反解,用 y 来表示 x,再由 x 的取值范围,通过解不等
式,得出 y 的取值范围;
④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
⑥单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域.
⑦数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域.
(2)正弦,余弦,正切函数值在三角形内角范围内的变化情况:
①当角度在 0°~90°间变化时,
正弦值随着角度的增大而增大,且 0≤sinα≤1;
余弦值随着角度的增大而减小,且 0≤cosα≤1;
正切值随着角度的增大而增大,tanα>0.
②当角度在 90°~180°间变化时,
正弦值随着角度的增大而减小,且 0≤sinα≤1;
余弦值随着角度的增大而减小,且﹣1≤cosα≤0;
正切值随着角度的增大而增大,tanα<0.
23.椭圆的简单性质
【知识点的认识】
1.椭圆的范围
2.椭圆的对称性
3.椭圆的顶点
顶点:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.
顶点坐标(如上图):A1(﹣a,0),A2(a,0),B1(0,﹣b),B2(0,b)
其中,线段 A1A2,B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2a 和 2b,
a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
4.椭圆的离心率
①离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率,用 e 表示,即:e= ,
且 0<e<1.
②离心率的意义:刻画椭圆的扁平程度,如下面两个椭圆的扁平程度不一样:
e 越大越接近 1,椭圆越扁平,相反,e 越小越接近 0,椭圆越圆.当且仅当 a=b
时,c=0,椭圆变为圆,方程为 x2+y2=a2.
5.椭圆中的关系:a2=b2+c2.
24.直线与抛物线的位置关系
v.
25.圆锥曲线的最值问题
v.
26.由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1.三视图:观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形,
包括:
(1)主视图:物体前后方向投影所得到的投影图,反映物体的高度和长度;
(2)左视图:物体左右方向投影所得到的投影图,反映物体的高度和宽度;
(3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图,反映物体的长度和宽度.
2.三视图的画图规则:
(1)高平齐:主视图和左视图的高保持平齐;
(2)长对正:主视图和俯视图的长相对应;
(3)宽相等:俯视图和左视图的宽度相等.
3.常见空间几何体表面积、体积公式
(1)表面积公式:
(2)体积公式:
【解题思路点拨】
1.解题步骤:
(1)由三视图定对应几何体形状(柱、锥、球)
(2)选对应公式
(3)定公式中的基本量(一般看俯视图定底面积,看主、左视图定高)
(4)代公式计算
2.求面积、体积常用思想方法:
(1)截面法:尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题,常用轴截面进
行分析求解;
(2)割补法:求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法;
(3)等体积转化:充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点,灵活
求解三棱锥的体积;
(4)还台为锥的思想:这是处理台体时常用的思想方法.
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一,是新课程高考重点考查的内容.解
答此类问题,必须熟练掌握三视图的概念,弄清视图之间的数量关系:正视图、
俯视图之间长相等,左视图、俯视图之间宽相等,正视图、左视图之间高相等(正
俯长对正,正左高平齐,左俯宽相等),要善于将三视图还原成空间几何体,熟
记各类几何体的表面积和体积公式,正确选用,准确计算.
例:某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.8﹣2π B.8﹣π C.8﹣ D.8﹣
分析:几何体是正方体切去两个 圆柱,根据三视图判断正方体的棱长及切去的
圆柱的底面半径和高,把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算.
解答:由三视图知:几何体是正方体切去两个 圆柱,
正方体的棱长为 2,切去的圆柱的底面半径为 1,高为 2,
∴几何体的体积 V=23﹣2× ×π×12×2=8﹣π.
故选:B.
点评:本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数
据所对应的几何量是解题的关键.
27.直线与平面平行的判定
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理:
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平
行. 用符号表示为:若 a
⊄
α,b
⊂
α,a∥b,则 a∥α.
2、直线与平面平行的判定定理的实质是:对于平面外的一条直线,只需在平面
内找到一条直线和这条直线平行,就可判定这条直线必和这个平面平行.即由线
线平行得到线面平行.
28.直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角,应分三种情况:
(1)直线与平面斜交时,直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影
所成的锐角;
(2)直线和平面垂直时,直线和平面所成的角的大小为 90°;
(3)直线和平面平行或在平面内时,直线和平面所成的角的大小为 0°.
显然,斜线和平面所成角的范围是(0, );直线和平面所成的角的范围为[0,
].
2、一条直线和一个平面斜交,它们所成的角的度量问题(空间问题)是通过斜
线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题(平面问题)来解决的.具体
的解题步骤与求异面直线所成的角类似,有如下的环节:
(1)作﹣﹣作出斜线与射影所成的角;
(2)证﹣﹣论证所作(或找到的)角就是要求的角;
(3)算﹣﹣常用解三角形的方法(通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影
所组成的直角三角形)求出角.
(4)答﹣﹣回答求解问题.
在求直线和平面所成的角时,垂线段是其中最重要的元素,它可起到联系各
线段的纽带的作用.在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合
的数学思想.
3、斜线和平面所成角的最小性:
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的,其中一条直线
就是斜线本身,另一条直线是斜线在平面上的射影.在平面内经过斜足的直线有
无数条,它们和斜线都组成相交的两条直线,为什么选中射影和斜线这两条相交
直线,用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢?原因是斜线和平面内经
过斜足的直线所成的一切角中,它是最小的角.对于已知的斜线来说这个角是唯
一确定的,它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”.根据线面所成的角的定
义,有结论:斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切
角中最小的角.
29.二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面
角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.棱为 AB、面分别为α、β的二面角记作
二面角α﹣AB﹣β.有时为了方便,也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别
取点 P、Q,将这个二面角记作 P﹣AB﹣Q.如果棱记作 l,那么这个二面角记作
二面角α﹣l﹣β或 P﹣l﹣Q.
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面α和β内分
别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的
平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就
说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角
∠AOB 的大小与点 O 的位置无关,也就是说,我们可以根据需要来选择棱 l 上的
点 O.
3、二面角的平面角求法:
(1)定义;
(2)三垂线定理及其逆定理;
①定理内容:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那
么,它就和这条斜线垂直.
②三垂线定理(逆定理)法:由二面角的一个面上的斜线(或它的射影)与二面
角的棱垂直,推得它位于二面角的另一的面上的射影(或斜线)也与二面角的棱
垂直,从而确定二面角的平面角.
(3)找(作)公垂面法:由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂
直,因此公垂面与两个面的交线所成的角,就是二面角的平面角.;
(4)平移或延长(展)线(面)法;
(5)射影公式;
(6)化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角;
(7)向量法:两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角(或
补角)相等.
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