2014年四川省高考数学试卷（文科） 22页

‎2014年四川省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}‎ ‎2．（5分）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（　　）‎ A．总体 B．个体 C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本 ‎3．（5分）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（　　）‎ A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度 ‎4．（5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ ‎（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）‎ A．3 B．2 C． D．1‎ ‎5．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）‎ A．＞ B．＜ C．＞ D．＜‎ ‎6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7．（5分）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（　　）‎ A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c ‎8．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（　　）‎ A．m B．m C．m D．m ‎9．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（　　）‎ A．[，2] B．[，2] C．[，4] D．[2，4]‎ ‎10．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．（5分）双曲线﹣y2=1的离心率等于　　．‎ ‎12．（5分）复数=　　．‎ ‎13．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=　　．‎ ‎14．（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=　　．‎ ‎15．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：‎ ‎①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；‎ ‎②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；‎ ‎③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．‎ ‎④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．‎ 其中的真命题有　　．（写出所有真命题的序号）‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共75分）‎ ‎16．（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．‎ ‎（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；‎ ‎（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．‎ ‎17．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）．‎ ‎（1）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．‎ ‎18．（12分）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 ‎（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；‎ ‎（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．‎ ‎19．（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）证明：数列{bn}为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{anbn2}的前n项和Sn．‎ ‎20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．‎ ‎（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；‎ ‎（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2014年四川省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}‎ ‎【分析】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．‎ ‎【解答】解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，‎ 故A∩B={﹣1，0，1，2}‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•四川）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（　　）‎ A．总体 B．个体 C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本 ‎【分析】根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得结论．‎ ‎【解答】解：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得，5000名居民的阅读时间的全体是总体，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（　　）‎ A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度 ‎【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．‎ ‎【解答】解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，‎ ‎∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•四川）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ ‎（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）‎ A．3 B．2 C． D．1‎ ‎【分析】根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直，判断三棱锥的高与底面三角形的形状及边长，把数据代入棱锥的体积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三棱锥的俯视图与侧视图知：三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为，‎ 底面为等边三角形，边长为2，‎ ‎∴三棱锥的体积V=××2××=1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）‎ A．＞ B．＜ C．＞ D．＜‎ ‎【分析】利用特例法，判断选项即可．‎ ‎【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，‎ 则，‎ ‎∴C、D不正确；‎ ‎=﹣3，=﹣‎ ‎∴A不正确，B正确．‎ 解法二：‎ ‎∵c＜d＜0，‎ ‎∴﹣c＞﹣d＞0，‎ ‎∵a＞b＞0，‎ ‎∴﹣ac＞﹣bd，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+‎ y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，‎ 画出可行域如图：‎ 当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•四川）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（　　）‎ A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c ‎【分析】利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由5d=10，可得，‎ ‎∴cd=lgb=log5b=a．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（　　）‎ A．m B．m C．m D．m ‎【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，∠DAB=15°，‎ ‎∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．‎ 在Rt△ADB中，又AD=60，‎ ‎∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．‎ 在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，‎ ‎∴DC=AD•tan60°=60．‎ ‎∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．‎ ‎∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（　　）‎ A．[，2] B．[，2] C．[，4] D．[2，4]‎ ‎【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得 ‎|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．‎ ‎【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），‎ 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），‎ ‎∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，‎ P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．‎ 设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，‎ 由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]‎ ‎∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），‎ ‎∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，‎ ‎∴sin（θ+）∈[，1]，‎ ‎∴2sin（θ+）∈[，2]，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．‎ ‎【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 直线AB与x轴的交点为M（m，0），‎ 由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，‎ ‎∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，‎ 结合及，得，‎ ‎∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．‎ 不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，‎ ‎∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，‎ ‎=．‎ 当且仅当，即时，取“=”号，‎ ‎∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．（5分）（2014•四川）双曲线﹣y2=1的离心率等于　　．‎ ‎【分析】根据双曲线的方程，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由双曲线的方程可知a2=4，b2=1，‎ 则c2=a2+b2=4+1=5，‎ 则a=2，c=，‎ 即双曲线的离心率e==，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•四川）复数=　﹣2i　．‎ ‎【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．‎ ‎【解答】解：复数===﹣2i，‎ 故答案为：﹣2i．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=　1　．‎ ‎【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，‎ ‎∴=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=　2　．‎ ‎【分析】利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），‎ ‎∴=m（1，2）+（4，2）=（m+4，2m+2）．‎ ‎∴=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．‎ ‎，=2．‎ ‎∵与的夹角等于与的夹角，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，‎ 化为5m+8=4m+10，‎ 解得m=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：‎ ‎①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；‎ ‎②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；‎ ‎③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．‎ ‎④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．‎ 其中的真命题有　①③④　．（写出所有真命题的序号）‎ ‎【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．‎ ‎【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；‎ ‎ （2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．‎ ‎∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；‎ ‎ （3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．‎ 则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；‎ ‎ （4）对于命题④，∵﹣≤≤，‎ 当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞‎ ‎），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题．‎ 故答案为①③④．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共75分）‎ ‎16．（12分）（2014•四川）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．‎ ‎（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；‎ ‎（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，而满足a+b=c的（a，b，c有计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率．‎ ‎（Ⅱ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，‎ 而满足a+b=c的（a，b，c）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个，‎ 故“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为=．‎ ‎（Ⅱ）满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）有：‎ ‎（1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，‎ 故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为=，‎ ‎∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为1﹣=．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．‎ ‎（1）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．‎ ‎【分析】（1）令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈‎ z，求得x的范围，可得函数的增区间．‎ ‎（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得 （cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，‎ 求得 ﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z．‎ ‎（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，‎ ‎∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），‎ ‎∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）‎ 即 （sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），‎ 又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，‎ 当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣．‎ 当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．‎ 综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 ‎（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；‎ ‎（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1‎ 的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先证明AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BC，利用AC⊥BC，可以证明直线BC⊥平面ACC1A1；‎ ‎（Ⅱ）取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，证明四边形MDEO为平行四边形即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形，‎ ‎∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，‎ ‎∵AB∩AC=A，‎ ‎∴AA1⊥平面ABC，‎ ‎∵BC⊂平面ABC，‎ ‎∴AA1⊥BC，‎ ‎∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，‎ ‎∴直线BC⊥平面ACC1A1；‎ ‎（Ⅱ）解：取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点，则O为AC1的中点．‎ 连接MD，OE，则MD∥AC，MD=AC，OE∥AC，OE=AC，‎ ‎∴MD∥OE，MD=OE，‎ 连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，‎ ‎∴DE∥MO，‎ ‎∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，‎ ‎∴DE∥平面A1MC，‎ ‎∴线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•四川）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）证明：数列{bn}为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{anbn2}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用等比数列的定义证明即可；‎ ‎（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得an，bn，再利用错位相减求数列{anbn2}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：由已知得，bn=＞0，‎ 当n≥1时，===2d，‎ ‎∴数列{bn}为首项是，公比为2d的等比数列；‎ ‎（Ⅱ）解：f′（x）=2xln2‎ ‎∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y﹣=ln2（x﹣a2），‎ ‎∵在x轴上的截距为2﹣，‎ ‎∴a2﹣=2﹣，∴a2=2，‎ ‎∴d=a2﹣a1=1，an=n，bn=2n，anbn2=n4n，‎ ‎∴Tn=1•4+2•42+3•43+…+（n﹣1）•4n﹣1+n•4n，‎ ‎4Tn=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，‎ ‎∴Tn﹣4Tn=4+42+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=，‎ ‎∴Tn=．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率kTF=﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m．此时四边形OPTQ的面积S=．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，‎ 解得c=2，a=，b=．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），‎ 设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，‎ ‎∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2）．‎ 联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，‎ ‎△＞0，∴y1+y2=，y1y2=．‎ ‎∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=．‎ ‎∵四边形OPTQ是平行四边形，‎ ‎∴，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2），‎ ‎∴，解得m=±1．‎ 此时四边形OPTQ的面积S=═=．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．‎ ‎（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；‎ ‎（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；‎ ‎（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，‎ 又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，‎ ‎∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，‎ ‎∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；‎ ‎②当，则1＜2a＜e，‎ ‎∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，‎ ‎∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，‎ g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；‎ ‎③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，‎ ‎∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，‎ 综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；‎ ‎（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，‎ 若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，‎ 由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．‎ 若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1‎ 令h（x）= （1＜x＜e）‎ 则=，∴．由＞0⇒x＜‎ ‎∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，‎ ‎==＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，‎ ‎∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，‎ 又，所以e﹣2＜a＜1，‎ 综上得：e﹣2＜a＜1．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；caoqz；sxs123；清风慕竹；whgcn；沂蒙松；刘长柏；lincy；尹伟云；maths；任老师；王老师；liu老师；静定禅心（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日