黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题 Word版含答案 11页

- 1 - 铁人中学 2018 级高二学年下学期期末考试 数学（文）试题 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。 第Ⅰ卷 选择题部分（共 60 分） 一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 ， ，则 的真子集个数为 (　　) A 2 B 3 C 4 D 7 2．在 中，“ ”是“ ”的 (　　) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 非充分也非必要条件 3．已知命题 ： 在其定义域内是减函数；命题 ： 的图象关于 对称。则下列命题中真命题是(　　) A B C D 4．设方程 的根为 ，方程 的根为 ，则 + = (　　) A 1 B 2 C 3 D 4 5．设 , ， 则(　　) A B C D 6．已知函数 ，则 (　　) A 7 B C 8 D 9 7．欲得到函数 的图象，只需将函数 的图象 (　　) A 向右平移 个单位 B 向右平移 个单位 { }52 ≤∈= xNxP { }1ln −>∈= xRxQ QP  ABC∆ BA > BA sinsin > p ( ) 1−= xxf q ( ) xxg tan= 2 π=x qp ∨ qp ∧ ( ) qp ∧¬ ( )qp ∨¬ 022 =−+ xx 1x 021log2 =+− xx 2x 1x 2x 2 3ln=a ( )5 2 3ln=b 075sin=c cba << cab << bca << bac << ( ) ( )    ≥ <− = − 0,2 0,1log 12 2 x xx xf x ( )( ) ( )( ) =+− 03 ffff 3ln7 + ( ) xxf 2sin2= ( )      −= 42cos2 π xxg 8 π 4 π - 2 - C 向左平移 个单位 D 向左平移 个单位 8．函数 在 的图象大致是（ ） A B C D 9． 命题“ ，使 ”的否定是（ ） A 不存在 ， B 存在 ， C ， D ， 10．设 为正数，且 ，则(　　) A B C D 11．定义在 R 上的函数 是奇函数， 为偶函数，若 ，则 （ ） A B 0 C 2 D 3 12． 函数 是定义在 上的函数，其导函数记为 ， 的图象关 于 对称，当 时， 恒成立，若 ，则不等式 的解 集为（ ） A B C D 8 π 4 π ( ) xx xxxf cos sin 2 + += [ ]ππ ,− Rx ∈∃ 0 02 0 ≤x Rx ∈0 02 0 >x Rx ∈0 02 0 ≥x Rx ∈∀ 02 ≤x Rx ∈∀ 02 >x ba, b aba 2log142 =+− −− ba 2< ba 2> ba 2= 12 =+ ba ( )xfy = ( )xfy −= 2 ( ) 11 =f ( ) ( ) ( ) =++ 202120202019 fff 2− ( )xf R ( )xf ′ ( ) ( ) baxfxg +−= ( )baP , 0>x ( ) ( ) x xfxf <′ ( ) 02 =f ( ) 01 >−x xf ( ) ( )2,10,2 − ）（）（ 1,00,2-  ( ) ( )2,2,1 −∞− O x y 1 O x y 1 O x y 1 O x y 1 - 3 - 第 II 卷 非选择题部分（共 90 分） 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．若函数 在 上不单调，则实数 的取值范围是______． 14．已知钝角 的三边都是正整数，且成等差，公差为偶数，则满足条件的 的外 接圆的面积的最小值为______． 15．设 ， ， （ 是自然对数的底），若对 ， ，使得 成立，则正数 ______． 16．关于函数 有如下四个命题： ① 的图像关于 轴对称；② 的图像关于原点对称； ③ 在 上单调递减；④ 的最小值为 ； ⑤ 的最小正周期为 ． 其中所有真命题的序号是__________． 三、解答题（共 70 分） 17．（本题满分 10 分）已知 ， （1）求 在 处的切线方程； （2）求 在 上的最值． 18．（本题满分 12 分）已知 为锐角， ， ， （1）求 的值； （2）求 的值． ( ) ( )+∞− ,20,2  ( ) aaxxxxf ++−= 23 3 1 ( )1,0 a ABC∆ ABC∆ 0>a ( ) axxf 2 2= ( ) 2 3−= x exg e    ∈∀ 2,2 1 1x    ∈∃ 2,2 1 2x ( ) ( ) ( ) ( )2121 xgxgxfxf = =a xxxf sin 1sin)( += )(xf y )(xf )(xf )2,0( π )(xf 2 )(xf π ( ) xxxf 2sin−= ( )xfy = 0=x ( )xfy =     2,0 π βα, 3 4tan =α ( ) 5 5cos −=+ βα αα 2sin2cos + ( )αβ −tan - 4 - 19 ． （ 本 题 满 分 12 分 ） 已 知 （1）求 的最小正周期； （2）若 （ 为常数）在 上有两个不同的零点 和 ，求 + . 20．（本题满分 12 分） 的三个内角 所对的边分别为 ，三个内角 满足 ， （1）求 ； （2）若 ， 的内角平分线 ，求 的周长． 21． （本题满分 12 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点 . （1）求椭圆 的方程； （2）不过坐标原点也不平行于坐标轴的直线 与椭圆 交于 、 两点，设线段 的中 点为 ，求证：直线 的斜率与直线 的斜率之积为定值． 22．（本题满分 12 分）已知函数 （ 是自然对数的底）． （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）若 在 上恒成立，求正数 的取值范围． ( ) ( )      +     −+         ++−= 4cos4cos22sinsin 2 ππππ xxxxxf ( )xf ( ) ( ) axfxg −= a     2,0 π 1x 2x 1x 2x ABC∆ CBA ,, cba ,, CBA ,, 1sinsin sin sin sin sin sin 2 =−+ CB A B C C B A 2=a ABC∆ 9 35=AE ABC∆ C ( )012 2 2 2 >>=+ bab y a x 2 2 ( )2,2 C l C A B AB M OM l 1( ) e ln lnxf x a x a−= − + e 1=a )(xfy = 1)( ≥xf ),0( +∞ a - 5 - 铁人中学 2018 级高二学年下学期期末考试 数学（文）试题答案 一、1-5 ：BCDBC 6-10：DAADC 11-12：BA 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分。） 13． 14． 15．1 16．②③ 三、解答题（共 70 分。） 17．（本题满分 10 分）已知 （1）求 在 处的切线方程； （2）求 在 上的最值 解：（1） 的定义域为 R ---1 分 ---2 分 ---3 分 所以切线方程为： ，即 ---4 分 （2）令 ，得 ， ---5 分 当 时， ， 单调递减 当 时， ， 单调递增 ---6 分 在 处取得最小值，为 ---7 分 ， ， ---8 分 在 处取得最大值，为 ---9 分 综上得 在 上的最小值为 ，最大值为 ---10 分 18．（本题满分 12 分）已知 为锐角， ， ( )1,0 3 49π ( ) xxxf 2sin−= ( )xfy = 0=x ( )xfy =     2,0 π ( )xfy = ( ) 00 =f ( ) xxf 2cos21−=′ ( ) 10 −=′f xy −= 0=+ yx ( ) 0=′ xf 2 12cos =x 6 π=x     ∈ 6,0 π x ( ) 0<′ xf ( )xf     ∈ 2,6 ππ x ( ) 0>′ xf ( )xf 6 π=x 2 3 66 −=     ππ f ( ) 00 =f 22 ππ =    f ( )02 ff >    π 2 π=x 22 ππ =    f ( )xfy =     2,0 π 2 3 6 −π 2 π βα, 3 4tan =α ( ) 5 5cos −=+ βα - 6 - （1）求 的值； （2）求 的值 解 ： （ 1 ） ---6 分 （2）因为 为锐角， ， 所以 ， 所以 ---12 分 19 ． （ 本 题 满 分 12 分 ） 已 知 （1）求 的最小正周期； （2）若 （ 为常数）在 上有两个不同的零点 和 ，求 + 解：（1） ---4 分 αα 2sin2cos + ( )αβ −tan αααααα cossin2sincos2sin2cos 22 +−=+ αα αααα 22 22 sincos cossin2sincos + +−= α αα 2 2 tan1 tan2tan1 + +−= 9 161 3 8 9 161 + +− = 25 17= βα, 3 4tan =α ( ) 5 5cos −=+ βα ( ) ( ) 5 52cos1sin 2 =+−=+ βαβα ( ) 2tan −=+ βα 7 24 tan1 tan22tan 2 −=−= α αα ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 11 2 2tantan1 2tantan2tantan =++ −+=−+=− αβα αβααβααβ ( ) ( )      +     −+         ++−= 4cos4cos22sinsin 2 ππππ xxxxxf ( )xf ( ) ( ) axfxg −= a     2,0 π 1x 2x 1x 2x ( ) ( )      +     −+         ++−= 4cos4cos22sinsin 2 ππππ xxxxxf ( )       −      +++= xxxxxx sin2 2cos2 2sin2 2cos2 22cossin 2 ( )xxxx 22 sincoscossin21 −++= xx 2cos2sin1 ++=      ++= 42sin21 π x - 7 - 所以 的最小正周期为 ---6 分 （2） 的单调递增区间为： ， 的单调递减区间为： ， 其对称轴为： ， --8 分 所以在 上， 在 上单调递增，在 上单调递减-10 分 若 在 上有两个不同的零点 和 ， 则 此时 和 关于 对称， 所以 + = ---12 分 20．（本题满分 12 分） 的三个内角 所对的边分别为 ，三个内角 满足 （1）求 ； （2）若 ， 的内角平分线 ，求 的周长 解：（1）由已知得： ----1 分 因为 ----2 分 所以 -----3 分 所以 -----5 分 又因为 所以 ---6 分 （2）由余弦定理： ,即 ππ == 2 2T ( )xf π ( )xf     +− 8,8 3 ππππ kk Zk ∈ ( )xf     ++ 8 5,8 ππππ kk Zk ∈ 82 ππ += kx Zk ∈     2,0 π ( ) ( ) axfxg −=     8,0 π     2,8 ππ ( ) ( ) axfxg −=     2,0 π 1x 2x 122 +<≤ a 1x 2x 8 π=x 1x 2x 4 π ABC∆ CBA ,, cba ,, CBA ,, 1sinsin sin sin sin sin sin 2 =−+ CB A B C C B A 2=a ABC∆ 9 35=AE ABC∆ CBACB sinsinsinsinsin 222 =−+ RC c B b A a 2sinsinsin === bcacb =−+ 222 2 1 2cos 222 =−+= bc acbA ( )π,0∈A 3 π=A Abccba cos2222 −+= 422 =−+ bccb - 8 - 整理得： ------8 分 因为 即 整理得： ------10 分 所以 解得： （或 舍） 所以 的周长为 5 --------12 分 21． （本题满分 12 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ，且经过 点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）不过坐标原点也不平行于坐标轴的直线 与椭圆 C 交于 A、B 两点，设线段 AB 的中 点为 M，求证：直线 OM 的斜率与直线 的斜率之积为定值。 解：（1）由题意得 ----------1 分 解得： -----------3 分 所以椭圆 C 的方程为： -------------4 分 （2）证明：设直线 的斜率为 ，其方程为： ，A ，B 由 得 -------6 分 因为 ，所以 ， -----8 分 所以线段 AB 中点 M 的坐标为 ( ) 432 =−+ bccb ACEABEABC SSS ∆∆∆ += 6sin2 1 6sin2 1 3sin2 1 πππ cAEbAEbc ×+×= ( )cbbc += 9 5 ( ) ( ) 43 52 =+−+ cbcb 3=+ cb 3 4−=+ cb ABC∆ ( )012 2 2 2 >>=+ bab y a x 2 2 ( )2,2 l l       =+ =−= 124 2 2 22 22 ba a ba a c 2,2,22 === cba 148 22 =+ yx l k ( )0≠+= kmmkxy ( )11, yx ( )22 , yx    =+ += 148 22 yx mkxy ( ) 082421 222 =−+++ mmkxxk 0>∆ 221 21 4 k mkxx + −=+ ( ) 22121 21 22 k mmxxkyy +=++=+      ++ − 22 21,21 2 k m k mk - 9 - 所以直线 OM 的斜率 -----10 分 所以 所以线 OM 的斜率与直线 的斜率之积为定值 ------12 分 方法二：设 A ，B ，则线段 AB 中点 M 的坐标为 AB 的斜率为 ，OM 的斜率 -------6 分 由 得 -----8 分 整理得： -----10 分 即 所以直线 OM 的斜率与直线 的斜率之积为定值 -----12 分 22．（本题满分 12 分）已知函数 ． （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）若 f（x）≥1 在 上恒成立，求正数 取值范围． 解：（1） ， ---1 分 ，单调递增 ----2 分 当 时， -----3 分 当 时， ， 单调递减 当 时， ， 单调递增 所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 -----5 分 （2）解法一： , 的 k k mk k m kOM 2 1 21 2 21 2 2 −= + − += 2 1)2 1( −=−⋅=⋅ kkkk OM l ( )11, yx ( )22 , yx      ++ 2,2 211 yyxx 12 12 xx yyk AB − −= 21 21 xx yykOM + +=       =+ =+ 148 148 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 048 2 1 2 2 2 1 2 2 =−+− yyxx 2 1 12 12 12 12 −=+ +×− − xx yy xx yy 2 1−=× OMAB kk l 1( ) e ln lnxf x a x a−= − + 1=a ( )xfy = ( )+∞,0 a ( ) xexf x ln1 −= − 0>x ( ) xexf x 11 −=′ − 1=x ( ) 0=′ xf 10 << x ( ) 0<′ xf ( )xf 1>x ( ) 0>′ xf ( )xf ( )xfy = ( )1,0 ( )+∞,1 1( ) ln lnxf x ae x a−= − + - 10 - ，且 .设 ,则 ∴g(x)在 上单调递增，即 在 上单调递增， 当 时， ,∴ ,∴ 成立. 当 时， ， ， , ∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当 时 ， ， ，因此 >1, ∴ ∴ 恒成立； 当 时， ∴ 不是恒成立. 综上所述，实数 a 的取值范围是[1,+∞). 解法二： 等价于 , 令 ,上述不等式等价于 , 显然 为单调增函数，∴又等价于 ，即 ， 令 ,则 在 上 h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上 h’(x)<0,h(x)单调递减， ∴ , ，∴a 的取值范围是[1,+∞). 解法三：由（1）得 在 处取得最小值为 1， 即 ---7 分 1 1( ) xf x ae x −′∴ = − 0a > ( ) ( )g x f x= ′ 1 2 1( ) 0,xg x ae x −′ = + > (0, )+∞ ( )f x′ (0, )+∞ 1a = ( ) 01f ′ = ( ) ( )1 1minf x f= = ( ) 1f x ≥ 1a > 1 1a < 1 1 1ae − <∴ 1 11( ) (1) ( 1)( 1) 0af f a e aa −′ ′∴ = − − < 0 0x > 0 1 0 0 1( ) 0xf x ae x −′ = − = 0(0, )x x∈ ( ) 0f x′ < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > 0 1 0 1xae x −∴ = 0 0ln 1 lna x x∴ + − = − 0 1 min 0 0( ) ( ) ln lnxf x f x ae x a−= = − + 0 0 0 0 1 1ln 1 ln 2ln 1 2 2ln 1a x a a x ax x = + + − + ≥ − + ⋅ = + ( ) 1,f x > ( ) 1f x ≥ 0 1a< < (1) ln 1,f a a a= + < < (1) 1, ( ) 1f f x< ≥ ( ) 1 1 1x lna xf x ae lnx lna e lnx lna− + −= − + = − + ≥ 1 1lna x lnxe lna x lnx x e lnx+ − + + − ≥ + = + ( ) xg x e x= + ( ) ( )1g lna x g lnx+ − ≥ ( )g x 1lna x lnx+ − ≥ 1lna lnx x≥ − + ( ) 1h x lnx x= − + ( ) 1 11 xh x x x −= − =′ ( )0,1 ( ) ( )1 0maxh x h= = 0 1lna a≥ ≥，即 ( ) xexf x ln1 −= − 1=x 1ln1 ≥−− xe x - 11 - 对任意 ， 在 上单调递增 ---9 分 所以，当 时， ---10 分 当 时， 即存在 使 ，不合题意 ---11 分 综上得正数 的取值范围是 ---12 分 00 >x ( ) axaeag x lnln 0 10 +−= − ( )+∞,0 1≥a ( ) 1lnlnln 11 ≥−≥+−= −− aeaxaexf xx 10 << a ( ) xeaxaexf xx lnlnln 11 −<+−= −− 1=x ( ) 1ln1 <+= aaf a [ )+∞,1