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- 2021-06-15 发布
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2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十)
17.(本小题满分12分)在中,,,分别是内角,,的对边,且,.
(1)求边的值;
(2)求的周长的最大值.
【答案】(1)由得.
∴,即.
由正弦定理得,故.
(2)由余弦定理得,.
∴,∴.
所以当时,的周长的最大值为.
18.(本小题满分12分)2018年全国数学奥赛试行改革:在高二一年中举行5次全区竞赛,学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训,不用参加其余的竞赛,而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定:若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名,则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是,每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.
(1)求该学生进入省队的概率.
(2)如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束,记该学生参加竞赛的次数为,求的分布列及的数学期望.
【答案】(1)记“该生进入省队”的事件为事件,其对立事件为,
则.
∴.
(2)该生参加竞赛次数的可能取值为2,3,4,5.
,,
.
.
故的分布列为:
2
3
4
5
.
19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面,底面为菱形,,,过作平面与直线平行,交于.
(1)求证:为的中点;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明:连结,设,连接,则为的中点,且面面,
∵平面,∴,∴为的中点.
(2)∵,∴底面,∴.
又∵,,∴平面.
过点作的垂线,交于,连接.
∵,∴,∴为所求的平面角.
,∴,又,∴.
∴,∴二面角的余弦值为.
20.(本小题满分12分)椭圆的右焦点为,过作圆的切线交轴于点,切点为线段的中点.
(1)求椭圆的方程;
(2)曲线与椭圆交于四点,若这四个点都在同一个圆上,求此圆的圆心坐标.
【答案】(1)由已知得,且,∴,∴.
所以椭圆的方程为;
(2)由曲线知曲线的图象关于轴对称,
又椭圆的图象也是关于轴对称,所以圆心在轴上,
设圆心为,曲线与椭圆在一、四象限交于,
两点,则,.
把代入得,∴,
又由得,
即,
∵,∴,∴.
所以此圆的圆心坐标为.
21.(本小题满分12分)已知函数,其中.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明:对任意时,.
【答案】(1),,
①若,当时,,当时,.
所以的单调递增区间为,单调递减区间为;
②若,当时,,当或时,,
所以的单调递增区间为,,单调递减区间为;
(2)证明:当时,由(1)知在处取得最小值,
∴,即,
当时,恒有.
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