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  • 2021-06-15 发布

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十)

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‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十)‎ ‎17.(本小题满分12分)在中,,,分别是内角,,的对边,且,.‎ ‎(1)求边的值;‎ ‎(2)求的周长的最大值.‎ ‎【答案】(1)由得.‎ ‎∴,即.‎ 由正弦定理得,故.‎ ‎(2)由余弦定理得,.‎ ‎∴,∴.‎ 所以当时,的周长的最大值为.‎ ‎18.(本小题满分12分)2018年全国数学奥赛试行改革:在高二一年中举行5次全区竞赛,学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训,不用参加其余的竞赛,而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定:若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名,则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是,每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.‎ ‎(1)求该学生进入省队的概率.‎ ‎(2)如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束,记该学生参加竞赛的次数为,求的分布列及的数学期望.‎ ‎【答案】(1)记“该生进入省队”的事件为事件,其对立事件为,‎ 则.‎ ‎∴.‎ ‎(2)该生参加竞赛次数的可能取值为2,3,4,5.‎ ‎,,‎ ‎.‎ ‎.‎ 故的分布列为:‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎.‎ ‎19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面,底面为菱形,,,过作平面与直线平行,交于.‎ ‎(1)求证:为的中点;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明:连结,设,连接,则为的中点,且面面,‎ ‎∵平面,∴,∴为的中点.‎ ‎(2)∵,∴底面,∴.‎ 又∵,,∴平面.‎ 过点作的垂线,交于,连接.‎ ‎∵,∴,∴为所求的平面角.‎ ‎,∴,又,∴.‎ ‎∴,∴二面角的余弦值为.‎ ‎20.(本小题满分12分)椭圆的右焦点为,过作圆的切线交轴于点,切点为线段的中点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)曲线与椭圆交于四点,若这四个点都在同一个圆上,求此圆的圆心坐标.‎ ‎【答案】(1)由已知得,且,∴,∴.‎ 所以椭圆的方程为;‎ ‎(2)由曲线知曲线的图象关于轴对称,‎ 又椭圆的图象也是关于轴对称,所以圆心在轴上,‎ 设圆心为,曲线与椭圆在一、四象限交于,‎ 两点,则,.‎ 把代入得,∴,‎ 又由得,‎ 即,‎ ‎∵,∴,∴.‎ 所以此圆的圆心坐标为.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知函数,其中.‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)证明:对任意时,.‎ ‎【答案】(1),,‎ ‎①若,当时,,当时,.‎ 所以的单调递增区间为,单调递减区间为;‎ ‎②若,当时,,当或时,,‎ 所以的单调递增区间为,,单调递减区间为;‎ ‎(2)证明:当时,由(1)知在处取得最小值,‎ ‎∴,即,‎ 当时,恒有.‎