2015年数学理高考课件6-7 数学归纳法 33页

[ 最新考纲展示 ] 　 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 第七节　数学归纳法 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)( 归纳奠基 ) 证明当 n 取 时命题成立； (2)( 归纳递推 ) 假设 n ＝ k ( k ≥ n 0 ， k ∈ N * ) 时命题成立，证明当 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都成立． 第一个值 n 0 ( n 0 ∈ N * ) n ＝ k ＋ 1 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明． 2 ． n 0 是命题成立的第一个正整数，并不一定所有的第一个允许值 n 0 都是 1. 解析： 边数最少的凸 n 边形是三角形． 答案： C 解析： 验证 n ＝ 1,2,3 ， … 知 当 n ＝ 8 时成立，故初始值至少应取 8. 答案： B 3 ．用数学归纳法证明 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n ＋ 1 ＝ 2 n ＋ 2 － 1( n ∈ N * ) 的过程中，在验证 n ＝ 1 时，左端计算所得的项为 ( 　　 ) A ． 1 B ． 1 ＋ 2 C ． 1 ＋ 2 ＋ 2 2 D ． 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ 2 2 解析： n ＝ 1 时，左＝ 1 ＋ 2 ＋ 2 2 . 答案： C 解析： 当 n ＝ k 时，左边＝ ( k ＋ 1) ＋ ( k ＋ 2) ＋ … ＋ ( k ＋ k ) ，当 n ＝ k ＋ 1 时， 左边＝ ( k ＋ 1 ＋ 1) ＋ ( k ＋ 1 ＋ 2) ＋ … ＋ ( k ＋ 1 ＋ k ＋ 1) ＝ ( k ＋ 2) ＋ ( k ＋ 3) ＋ … ＋ 2 k ＋ (2 k ＋ 1) ＋ (2 k ＋ 2) ， 所以其差为 (2 k ＋ 1) ＋ (2 k ＋ 2) － ( k ＋ 1) ＝ 3 k ＋ 2. 答案： 3 k ＋ 2 用数学归纳法证明等式 【 例 1】 　求证： ( n ＋ 1)( n ＋ 2) · … · ( n ＋ n ) ＝ 2 n · 1 · 3 · 5 · … · (2 n － 1)( n ∈ N * ) [ 证明 ] 　 当 n ＝ 1 时，等式左边＝ 2 ，右边＝ 2 ，故等式成立； 假设当 n ＝ k 时等式成立，即 ( k ＋ 1)( k ＋ 2) · … · ( k ＋ k ) ＝ 2 k · 1 · 3 · 5 · … · (2 k － 1) ， 那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ ( k ＋ 1 ＋ 1)( k ＋ 1 ＋ 2) · … · ( k ＋ 1 ＋ k ＋ 1) ＝ ( k ＋ 2)( k ＋ 3) · … · ( k ＋ k )(2 k ＋ 1)(2 k ＋ 2) ＝ 2 k · 1 · 3 · 5 · … · (2 k － 1)(2 k ＋ 1) · 2 ＝ 2 k ＋ 1 · 1 · 3 · 5 · … · (2 k － 1)(2 k ＋ 1) ， 这就是说当 n ＝ k ＋ 1 时等式也成立． 综上可知原等式对于任意正整数 n 都成立． 反思总结 利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题 在证明过程中突出两个 “ 凑 ” 字，即一 “ 凑 ” 假设，二 “ 凑 ” 结论，关键是在证明 n ＝ k ＋ 1 时要用上 n ＝ k 时的假设，其次要明确 n ＝ k ＋ 1 时证明的目标，充分考虑由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中间的计算过程千万不能省略． 变式训练 1 ．用数学归纳法证明 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ (2 n ＋ 1) ＝ ( n ＋ 1)(2 n ＋ 1) 时，从 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 ，左边需增添的代数式是 ( 　　 ) A ． 2 k ＋ 2 　　　　　　　　 B ． 2 k ＋ 3 C ． 2 k ＋ 1 D ． (2 k ＋ 2) ＋ (2 k ＋ 3) 解析： 当 n ＝ k 时，左边共有 2 k ＋ 1 个连续自然数相加， 即 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ (2 k ＋ 1) ， 所以当 n ＝ k ＋ 1 时，左边共有 2 k ＋ 3 个连续自然数相加，即 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ (2 k ＋ 1) ＋ (2 k ＋ 2) ＋ (2 k ＋ 3) ． 答案： D 证明不等式 反思总结 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1) 当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2) 用数学归纳法证明不等式的关键是由 n ＝ k 成立，推证 n ＝ k ＋ 1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差 ( 求商 ) 比较法、放缩法等证明． 归纳猜想证明 【 例 3】 　 (2014 年北京海淀模拟 ) 数列 { a n } 满足 S n ＝ 2 n － a n ( n ∈ N * ) ． (1) 计算 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ，并由此猜想通项公式 a n ； (2) 用数学归纳法证明 (1) 中的猜想． 反思总结 “ 归纳 —— 猜想 —— 证明 ” 的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式． 变式训练 2 ．将正整数作如下分组： (1) ， (2,3) ， (4,5,6) ， (7,8,9,10) ， (11,12,13,14,15) ， (16,17,18,19,20,21) ， … ，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测 S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ … ＋ S 2 n － 1 的结果，并用数学归纳法证明． S 1 ＝ 1 ， S 2 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5 ， S 3 ＝ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＝ 15 ， S 4 ＝ 7 ＋ 8 ＋ 9 ＋ 10 ＝ 34 ， S 5 ＝ 11 ＋ 12 ＋ 13 ＋ 14 ＋ 15 ＝ 65 ， S 6 ＝ 16 ＋ 17 ＋ 18 ＋ 19 ＋ 20 ＋ 21 ＝ 111 ， 解析： 由题意知，当 n ＝ 1 时， S 1 ＝ 1 ＝ 1 4 ； 当 n ＝ 2 时， S 1 ＋ S 3 ＝ 16 ＝ 2 4 ； 当 n ＝ 3 时， S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＝ 81 ＝ 3 4 ； 当 n ＝ 4 时， S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ S 7 ＝ 256 ＝ 4 4 . 猜想： S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ … ＋ S 2 n － 1 ＝ n 4 . 下面用数学归纳法证明： (1) 当 n ＝ 1 时， S 1 ＝ 1 ＝ 1 4 ，等式成立． (2) 假设当 n ＝ k ( k ∈ N * ) 时等式成立，即 S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ … ＋ S 2 k － 1 ＝ k 4 ， 那么，当 n ＝ k ＋ 1 时， S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ … ＋ S 2 k － 1 ＋ S 2 k ＋ 1 ＝ k 4 ＋ [(2 k 2 ＋ k ＋ 1) ＋ (2 k 2 ＋ k ＋ 2) ＋ … ＋ (2 k 2 ＋ k ＋ 2 k ＋ 1)] ＝ k 4 ＋ (2 k ＋ 1)(2 k 2 ＋ 2 k ＋ 1) ＝ k 4 ＋ 4 k 3 ＋ 6 k 2 ＋ 4 k ＋ 1 ＝ ( k ＋ 1) 4 ， 所以，当 n ＝ k ＋ 1 时，等式也成立． 根据 (1) 和 (2) ，可知对于任意的 n ∈ N * ， S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ … ＋ S 2 n － 1 ＝ n 4 都成立 . —— 数学归纳法的应用问题 数学归纳法除证明与自然数 N * 有关的恒等式、不等式、以及归纳猜想证明外，在应用时还常用来证明整除性问题，证明几何中的有关问题等． 证明数的整除性问题 【 典例 1】 　 (2014 年保定模拟 ) 利用数学归纳法证明： (3 n ＋ 1) · 7 n － 1( n ∈ N * ) 能被 9 整除． [ 证明 ] 　 (1) 当 n ＝ 1 时， (3 × 1 ＋ 1) × 7 1 － 1 ＝ 27 ，能被 9 整除，所以命题成立． (2) 假设当 n ＝ k ( k ∈ N * ) 时命题成立，即 (3 k ＋ 1) · 7 k － 1 能被 9 整除． 那么当 n ＝ k ＋ 1 时， [3( k ＋ 1) ＋ 1] · 7 k ＋ 1 － 1 ＝ (3 k ＋ 4) · 7 k ＋ 1 － 1 ＝ (3 k ＋ 1) · 7 k ＋ 1 － 1 ＋ 3 · 7 k ＋ 1 ＝ [(3 k ＋ 1) · 7 k － 1] ＋ 3 · 7 k ＋ 1 ＋ 6 · (3 k ＋ 1) · 7 k ＝ [(3 k ＋ 1) · 7 k － 1] ＋ 7 k (21 ＋ 6 × 3 k ＋ 6) ＝ [(3 k ＋ 1) · 7 k － 1] ＋ 9 · 7 k (2 k ＋ 3) ． 由归纳假设知， (3 k ＋ 1) · 7 k － 1 能被 9 整除，而 9 · 7 k (2 k ＋ 3) 也能被 9 整除，故 [3( k ＋ 1) ＋ 1] · 7 k ＋ 1 － 1 能被 9 整除． 这就是说，当 n ＝ k ＋ 1 时，命题也成立． 由 (1) 和 (2) 知，对一切 n ∈ N * ， (3 n ＋ 1) · 7 n － 1 能被 9 整除． 由题悟道 数学归纳法证明有关数或整式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数 ( 或整式 ) 都能被某一个数 ( 或整式 ) 整除，则其和、差、积也能被这个数 ( 或整式 ) 整除． 证明几何问题 【 典例 2】 　 (2014 年潍坊模拟 ) 平面上有 n 个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点，求证：这 n 个圆分平面为 n 2 － n ＋ 2 个部分． [ 证明 ] 　 (1) 当 n ＝ 1 时， n 2 － n ＋ 2 ＝ 1 － 1 ＋ 2 ＝ 2 ，而一个圆把平面分成两部分，所以 n ＝ 1 时命题成立． (2) 假设当 n ＝ k 时，命题成立，即 k 个圆分平面为 k 2 － k ＋ 2 个部分， 则 n ＝ k ＋ 1 时，第 k ＋ 1 个圆与前 k 个圆有 2 k 个交点，这 2 k 个交点把第 k ＋ 1 个圆分成 2 k 段，每一段把原来的所在平面一分为二，故共增加了 2 k 个平面块，共有 k 2 － k ＋ 2 ＋ 2 k ＝ ( k ＋ 1) 2 － ( k ＋ 1) ＋ 2 个部分． ∴ 当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立． 由 (1)(2) 可知，这 n 个圆把平面分成 n 2 － n ＋ 2 个部分． 由题悟道 用数学归纳法证明几何问题的关键是 “ 找项 ” ，即几何元素从 k 个变成 k ＋ 1 个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，也可将 n ＝ k ＋ 1 和 n ＝ k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧． 用数学归纳法证明 a n ＋ 1 ＋ ( a ＋ 1) 2 n － 1 ( n ∈ N * ) 能被 a 2 ＋ a ＋ 1 整除． 证明： (1) 当 n ＝ 1 时， a 2 ＋ ( a ＋ 1) ＝ a 2 ＋ a ＋ 1 可被 a 2 ＋ a ＋ 1 整除． (2) 假设当 n ＝ k ( k ∈ N * 且 k ≥ 1) 时， a k ＋ 1 ＋ ( a ＋ 1) 2 k － 1 能被 a 2 ＋ a ＋ 1 整除， 则当 n ＝ k ＋ 1 时， a k ＋ 2 ＋ ( a ＋ 1) 2 k ＋ 1 ＝ a · a k ＋ 1 ＋ ( a ＋ 1) 2 ( a ＋ 1) 2 k － 1 ＝ a · a k ＋ 1 ＋ a · ( a ＋ 1) 2 k － 1 ＋ ( a 2 ＋ a ＋ 1)( a ＋ 1) 2 k － 1 ＝ a [ a k ＋ 1 ＋ ( a ＋ 1) 2 k － 1 ] ＋ ( a 2 ＋ a ＋ 1)( a ＋ 1) 2 k － 1 ， 由假设可知 a [ a k ＋ 1 ＋ ( a ＋ 1) 2 k － 1 ] 能被 a 2 ＋ a ＋ 1 整除， ( a 2 ＋ a ＋ 1)( a ＋ 1) 2 k － 1 也能被 a 2 ＋ a ＋ 1 整除， ∴ a k ＋ 2 ＋ ( a ＋ 1) 2 k ＋ 1 也能被 a 2 ＋ a ＋ 1 整除， 即 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立， ∴ 对任意 n ∈ N * 原命题成立 . 本小节结束 请按 ESC 键返回