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- 2021-06-12 发布
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[最新考纲展示]
1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、
组合数公式. 3.能利用排列与组合解决简单的实际问题.
第二节 排列与组合
排列与排列数
____________________[通关方略]____________________
排列与排列数是不同概念,易混淆,排列数是问题中所有不同排
列的个数.
按照一定的顺序排成一列
所有不同排列的个数
1.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同
的坐法种数为( )
A.3×3! B.3×(3!)3
C.(3!)4 D.9!
组合与组合数
1.组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ,叫做从n个不同元
素中取出m个元素的一个组合.
合成一组
所有不同组合的个数
____________________[通关方略]____________________
排列与组合有何异同点?
排列与组合问题的共同点:都是“从n个不同元素中取出m个元素”
;不同点:前者与元素的顺序有关,为“将取出的元素按照一定顺序排
成一列”,后者与元素的顺序无关,为“将取出的元素合成一组”.
因此我们可以得到:区分某一问题是排列问题还是组合问题,关
键是看选出的元素是否与顺序有关.
排列数、组合数的公式及性质
____________________[通关方略]____________________
1.对于排列数公式的连乘形式和阶乘形式,运用时注意把握以
下几点
(1)排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数.
(2)排列数公式的阶乘形式主要有两个作用:一是当m,n较大时,
使用计算器快捷地算出结果;二是对含有字母的排列数的式子进行变
形.
2.电视台在直播2013年世锦赛广州地区羽毛球比赛时要连续插
播5个广告,其中3个不同的商业广告和2个不同的世锦赛宣传广告,要
求最后播放的是世锦赛宣传广告,且2个世锦赛宣传广告不能连播.则
不同的播放方式有( )
A.120 B.48
C.36 D.18
答案:C
3.(2014年开封一模)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,
从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有(
)
A.4种 B.10种 C.18种 D.20种
解析:分两种情况:①选2本画册,2本集邮册送给4位朋友,有C
=6种方法;②选1本画册,3本集邮册送给4位朋友,有C=4种方法,
所以不同的赠送方法共有6+4=10(种),故选B.
答案:B
4.有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片,若任
取其中5张卡片组成牌号,则可以组成的不同牌号的总数等于________
.(用数字作答)
答案:4 020
排列问题
【例1】 有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的
排列方法总数:
(1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置;
(2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边;
(3)全体排成一行,其中男生必须排在一起;
(4)全体排成一行,男、女各不相邻;
(5)全体排成一行,男生不能排在一起;
(6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变;
(7)排成前后两排,前排3人,后排4人;
(8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有3人.
反思总结
求解排列应用题的主要方法
组合问题
【例2】 某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并
且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件
各有多少种选法?
(1)只有一名女生;
(2)两队长当选;
(3)至少有一名队长当选;
(4)至多有两名女生当选;
(5)既要有队长,又要有女生当选.
反思总结
组合问题常有以下两种题型
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元
素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩
下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“
至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间
接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接
法处理.
变式训练
1.从6名男生和2名女生中选出3名志愿者,其中至少有1名女生
的选法共有( )
A.36种 B.30种
C.42种 D.60种
答案:A
排列与组合的综合应用
【例3】 (1)某地奥运会火炬接力传递路线共分6段,传递活动分
别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,
最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方法共有
________种(用数字作答).
(2)有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字
1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行,如果取出
的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有________种(用
数字作答).
[答案] (1)96 (2)432
反思总结
解排列组合综合应用问题的思路
解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入
手.“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置
”;“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等;
“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类,
然后逐类解决;“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而每一
步都是简单的排列组合问题,然后逐步解决.
变式训练
2.从5种不同的水果和4种不同的糖果中各选出3种,放入如图所示
的6个不同的区域(用数字表示)中拼盘,每个区域只放一种,且水果不
能放在有公共边的相邻区域内,则不同的放法共有( )
A.2 880种 B.2 160种
C.1 440种 D.720种
——有限制条件的排列组合问题
有限制条件的排列组合问题,高考每年必考,解决此类问题时,
一是要明确问题中是排列还是组合或排列组合混合问题;二是要讲究
一些基本策略和方法技巧.常用的有:元素位置分析法、捆绑法或插
空法、先整体后局部法、定序问题相除法、正难则反排除法、分组分
配法等.
特殊元素、特殊位置
【典例1】 1名老师和5位同学站成一排照相,老师不站在两端
的排法共有( )
A.450种 B.460种 C.480种 D.500种
[答案] C
由题悟道
解决排列组合问题最基本的方法是位置分析法和元素分析法,若
以位置为主,需首先满足特殊位置的要求,再处理其他位置;若以元
素为主,需先满足特殊元素的要求,再处理其他元素.
相邻、不相邻
【典例2】 (2014年张家界模拟)在航天员进行的一项太空实验中,
要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B
和C在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有( )
A.34种 B.48种 C.96种 D.144种
[答案] C
由题悟道
相邻问题用捆绑法,非相邻问题用插空法.插空法一般是先排没
有限制条件的元素,再按要求将不相邻的元素插入排好的元素之间;
对于捆绑法,一般是将必须相邻的元素看作一个“大元素”,然后再与
其余“普通元素”全排列,但不要忘记对“大元素”内的元素进行排列.
有5盆各不相同的菊花,其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆,
现把它们摆放成一排,要求2盆黄菊花必须相邻,2盆白菊花不能相邻,
则这5盆花的不同摆放种数是( )
A.12 B.24 C.36 D.48
答案:B
本小节结束
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