2015年数学理高考课件7-6 空间向量及其运算 39页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．　 2. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．　 3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判断向量的共线与垂直． 第六节　空间向量及其运算 空间向量及其有关概念、定理 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．对空间任意两个向量 a ， b ( b ≠ 0) ，共线向量定理可以分解为两个命题： ① a ∥ b ⇒ 存在唯一实数 λ ，使 a ＝ λ b ； ② 若存在唯一实数 λ ，使 a ＝ λ b ，则 a ∥ b . 其中命题 ② 是空间向量共线的判定定理． 2 ．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 3 ．由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故 0 不能作为基底向量． 4 ．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 答案： B 答案： D 空间向量数量积及坐标运算 1 ．两个向量的数量积 (1) a · b ＝ | a || b |cos 〈 a ， b 〉 ； (2) a ⊥ b ⇔ ； a · b ＝ 0 a 2 2 ．向量的坐标运算 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 要理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式．利用空间向量的坐标运算可将立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如 (1) 判断线线平行或诸点共线，可以转化为证 a ∥ b ( b ≠ 0 ) ⇔ a ＝ λ b ； (2) 证明线线垂直，转化为证 a ⊥ b ⇔ a · b ＝ 0 ，若 a ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ，则转化为计算 x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ z 1 z 2 ＝ 0 ； (3) 在立体几何中求线段的长度问题时，转化为 a · a ＝ | a | 2 ，或利用空间两点间的距离公式； 答案： A 4 ．已知 a ＝ ( － 3,2,5) ， b ＝ (1 ， λ ，－ 1) ．若 a ⊥ b ，则 λ ＝ ________. 解析： ∵ a ⊥ b ， ∴ ( － 3) × 1 ＋ 2 λ ＋ 5 × ( － 1) ＝ 0. ∴ λ ＝ 4. 答案： 4 5 ．已知四边形 ABCD 为平行四边形，且 A (4,1,3) ， B (2 ，－ 5,1) ， C (3,7 ，－ 5) ，则点 D 的坐标为 ________ ． 答案： (5,13 ，－ 3) 空间向量的线性运算 反思总结 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，可从以下角度入手 (1) 要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来； (2) 把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和、差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系； (3) 用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘． 共线向量定理、共面向量定理的应用 【 例 2】 　已知 E ， F ， G ， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点， (1) 求证： E ， F ， G ， H 四点共面； (2) 求证： BD ∥ 平面 EFGH ； (3) 设 M 是 EG 和 FH 的交点， 反思总结 在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解，若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性关系 a ＝ λ b ，即可判定两直线平行． 空间向量数量积的应用 【 例 3】 　如图所示，直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 ，底面 △ ABC 中， CA ＝ CB ＝ 1 ， ∠ BCA ＝ 90° ，棱 AA 1 ＝ 2 ， M 、 N 分别是 A 1 B 1 、 A 1 A 的中点． (1) 求 BN 的长； (2) 求异面直线 BA 1 与 CB 1 所成角的余弦值． —— 方程思想在空间向量基本问题中的应用 空间向量共线、共面问题是考试的重点，利用空间向量共线定理、共面定理待定系数是命题的热点．此类问题体现了方程思想的应用．解决时根据基本定理转化为方程式或方程组可求解问题． [ 答案 ] 　 D 由题悟道 利用共面基本定理转化为向量相等．然后利用方程思想建立方程组可求解实数 λ . 1 ．设 a 1 ＝ 2 i － j ＋ k ， a 2 ＝ i ＋ 3 j － 2 k ， a 3 ＝－ 2 i ＋ j － 3 k ， a 4 ＝ 3 i ＋ 2 j ＋ 5 k ( 其中 i ， j ， k 是两两垂直的单位向量 ) ．若 a 4 ＝ λ a 1 ＋ μ a 2 ＋ υ a 3 ，则实数组 ( λ ， μ ， υ ) ＝ ________. 答案： ( － 2,1 ，－ 3) 本小节结束 请按 ESC 键返回