2015年数学理高考课件10-9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 40页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．　 2. 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 第九节　离散型随机变量的均值与方差、正态分布 均值 1 ．一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 则称 E ( X ) ＝ 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 ． 2 ．若 Y ＝ aX ＋ b ，其中 a ， b 为常数，则 Y 也是随机变量，且 E ( aX ＋ b ) ＝ . 3 ． (1) 若 X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ ； (2) 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ . x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ … ＋ x i p i ＋ … ＋ x n p n 平均水平 aE ( X ) ＋ b p np 3 ． (1) 若 X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ ； (2) 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ . p np 方差 1 ．设离散型随机变量 X 的分布列为 则 描述了 x i ( i ＝ 1,2 ， … ， n ) 相对于均值 E ( X ) 的偏离程度，而 D ( X ) ＝ ni ＝ 1 ( x i － E ( X )) 2 p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E ( X ) 的 ．称 D ( X ) 为随机变量 X 的方差，其算术平方根为随机变量 X 的标准差． 2 ． D ( aX ＋ b ) ＝ ． 3 ．若 X 服从两点分布，则 D ( X ) ＝ ． 4 ．若 X ～ B ( n ， p ) ，则 D ( X ) ＝ ． ( x i － E ( X ))2 平均偏离程度 a 2 D ( X ) p (1 － p ) np (1 － p ) ____________________[ 通关方略 ]____________________ 随机变量的均值、方差与样本的平均值、方差的关系 随机变量的均值、方差是常数，它们不依赖于样本的抽取，而样本的平均值、方差是随机变量，它们随着样本的不同而变化． 答案： C 2 ． (2014 年芜湖一模 ) 若 X ～ B ( n ， p ) ，且 E ( X ) ＝ 6 ， D ( X ) ＝ 3 ，则 P ( X ＝ 1) 的值为 ( 　　 ) A ． 3 · 2 － 2 B ． 2 － 4 C ． 3 · 2 － 10 D ． 2 － 8 3 ．有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取两件．若 X 表示取到次品的个数，则 E ( X ) ＝ ________. 正态分布 上方 x ＝ μ x ＝ μ 瘦高 矮胖 分散 2 ．正态分布的三个常用数据 (1) P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ＝ ； (2) P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ ； (3) P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) ＝ . 0.682 6 0.954 4 0.997 4 4 ．设随机变量 X ～ N (1,5 2 ) ，且 P ( X ≤ 0) ＝ P ( X ≥ a － 2) ，则实数 a 的值为 ( 　　 ) A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ． 10 解析： 依题意知 P ( X ≤ 0) ＝ P ( X ≥ 2) ∴ a － 2 ＝ 2 ， ∴ a ＝ 4. 答案： A 5 ．某班有 50 名学生，一次考试的数学成绩 ξ 服从正态分布 N (100,10 2 ) ，已知 P (90 ≤ ξ ≤ 100) ＝ 0.3 ，估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为 ________ ． 答案： 10 离散型随机变量的均值 解析： E (2 X ＋ 4) ＝ 2 E ( X ) ＋ 4 ＝ 2 × 2 ＋ 4 ＝ 8. 反思总结 1 ． 随机变量的均值 ( 数学期望 ) 等于该随机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘积的和． 2 ．均值 ( 数学期望 ) 是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，均值 ( 数学期望 ) 是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均． 3 ． E ( X ) 是一个实数，则 X 作为随机变量是可变的，而 E ( X ) 是不变的． 离散型随机变量的方差 变式训练 1 ．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下： 其中 X 和 Y 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好．试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料． 解析： E ( X ) ＝ 8 × 0.2 ＋ 9 × 0.6 ＋ 10 × 0.2 ＝ 9 ， D ( X ) ＝ (8 － 9) 2 × 0.2 ＋ (9 － 9) 2 × 0.6 ＋ (10 － 9) 2 × 0.2 ＝ 0.4 ； E ( Y ) ＝ 8 × 0.4 ＋ 9 × 0.2 ＋ 10 × 0.4 ＝ 9 ； D ( Y ) ＝ (8 － 9) 2 × 0.4 ＋ (9 － 9) 2 × 0.2 ＋ (10 － 9) 2 × 0.4 ＝ 0.8. 由此可知， E ( X ) ＝ E ( Y ) ＝ 9 ， D ( X )< D ( Y ) ，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料． 正态分布 【 例 3】 　已知某县农民的月均收入 ξ 服从正态分布 N (1 000 ， 40 2 ) ，且 P (920< ξ ≤ 1 080) ＝ 0.954 4 ，则此县农民月均收入在 1 000 元到 1 080 元之间的人数的百分比为 ________ ． [ 答案 ] 　 47.72% 反思总结 求正态总体在某个区间内取值的概率时应注意 (1) 熟记 P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ， P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ， P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) 的值； (2) 充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. ① 正态曲线关于直线 x ＝ μ 对称，从而在关于 x ＝ μ 对称的区间上概率相等． ② P ( X < a ) ＝ 1 － P ( X ≥ a ) ， P ( X < μ － a ) ＝ P ( X ≥ μ ＋ a ) ． 变式训练 解析： 根据正态分布密度曲线的对称性，得 P ( X <2) ＝ p ，故 P (2< X <4) ＝ 1 － 2 p . 答案： C —— 求离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题，属中档题，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求期望与方差的关键，对概型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心． 【 典例 】 　 (2013 年高考陕西卷 )( 本题满分 12 分 ) 在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手 (1 至 5 号 ) 登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名．观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手． (1) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率； (2) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布列及数学期望． [ 教你快速规范审题 ] 1 ．审条件，挖解题信息 2 ．审结论，明解题方向 3 ．建联系，找解题突破口 1 ．审条件，挖解题信息 2 ．审结论，明解题方向 3 ．建联系，找解题突破口 [ 常见失分探因 ] 易忽视各位观众为彼此独立选票 易忽视 X ＝ 1 ， X ＝ 2 时事件的分析，分类不全 计算 E ( X ) 时易出错 [ 教你一个万能模板 ] 本小节结束 请按 ESC 键返回