2015年数学理高考课件4-3 平面向量的数量积及平面向量的应用 39页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．　 2. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．　 3. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．　 4. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 第三节　平面向量的数量积及平面向量的应用 平面向量的数量积 (2) 范围 向量夹角 θ 的范围是 ， a 与 b 同向时，夹角 θ ＝ ； a 与 b 反向时，夹角 θ ＝ . (3) 向量垂直 如果向量 a 与 b 的夹角是 ，则 a 与 b 垂直，记作 . 2 ． 平面向量数量积 (1) a ， b 是两个非零向量，它们的夹角为 θ ，则数量 | a || b | · cos θ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a · b ，即 a · b ＝ . 规定 0 · a ＝ 0 . 当 a ⊥ b 时， θ ＝ 90° ，这时 a · b ＝ . (2) a · b 的几何意义 a · b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 的乘积． 0° ≤ θ ≤ 180° 0° 180° 90° a ⊥ b | a || b | · cos θ 0 | b |cos θ ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角． 2 ．两向量的夹角为锐角 ⇔ cos θ >0 且 cos θ ≠ 1. 3 ．向量的投影是一个实数，其值可正，可负，可为零． 2 ． (2014 年昆明模拟 ) 已知向量 a ， b 的夹角为 120° ，且 | a | ＝ 1 ， | b | ＝ 2 ，则向量 a － b 在向量 a ＋ b 方向上的投影是 ________ ． 数量积的性质及运算律 1 ．向量数量积的性质 (1) 如果 e 是单位向量，则 a · e ＝ e · a ＝ ． (2) a ⊥ b ⇔ . | a |cos〈 a ， e 〉 a · b ＝ 0 | a | 2 (5)| a · b | | a||b |. 2 ． 数量积的运算律 (1) 交换律： a · b ＝ . (2) 分配律： ( a ＋ b ) · c ＝ . (3) 对 λ ∈ R ， λ ( a · b ) ＝ ＝ ． ≤ b · a a · c ＋ b · c ( λ a ) · b a · ( λ b ) ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．在实数运算中，若 a ， b ∈ R ，则 | ab | ＝ | a | · | b | ，但对于向量 a ， b 却有 | a · b | ≤ | a | · | b | ，当且仅当 a ∥ b 时等号成立．这是因为 | a · b | ＝ | a | · | b | · |cos θ | ，而 |cos θ | ≤ 1. 2 ．实数运算满足消去律：若 bc ＝ ca ， c ≠ 0 ，则有 b ＝ a . 在向量数量积的运算中，若 a · b ＝ a · c ( a ≠ 0) ，则不一定得到 b ＝ c . 3 ．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即 ( a · b ) · c 不一定等于 a · ( b · c ) ，这是由于 ( a · b ) · c 表示一个与 c 共线的向量，而 a · ( b · c ) 表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线． 答案： C 平面向量数量积的有关结论 已知非零向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ____________________[ 通关方略 ]____________________ 在实数运算中，若 ab ＝ 0 ，则 a 与 b 中至少有一个为 0 ，而在向量数量积的运算中，不能从 a · b ＝ 0 推出 a ＝ 0 或 b ＝ 0 成立．实际上由 a · b ＝ 0 可推出以下四种结论： ① a ＝ 0 ， b ＝ 0 ； ② a ＝ 0 ， b ≠ 0 ； ③ a ≠ 0 ， b ＝ 0 ； ④ a ≠ 0 ， b ≠ 0 ，但 a ⊥ b . 答案： A 答案： B 平面向量数量积的运算 [ 答案 ] 　 (1)C 　 (2)2 反思总结 数量积的运算一是已知向量的坐标，利用坐标法；二是结合平面向量的线性运算将所求向量用已知向量线性表示，再计算数量积． 平面向量的夹角与模 变式训练 1 ．已知 a ， b 都是单位向量，且 | a ＋ b | ≥ 1 ，则 a ， b 的夹角 θ 的取值范围是 ________ ． 数量积研究垂直问题及应用 反思总结 1 ． 利用数量积研究垂直时注意给出的形式： (1) 可用定义式 a · b ＝ 0 ⇔ | a || b |cos θ ＝ 0 ； (2) 可用坐标式 a · b ＝ 0 ⇔ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 0. 2 ．在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量表示为共同的基底向量，再利用数量积进行求解． —— 函数思想与数形结合思想在数量积中的应用 向量夹角与模的范围问题是近几年来高考命题的热点内容，它不仅考查了数量积的应用，同时还考查了学生综合解题能力，常涉及函数思想与数形结合思想． 函数思想在数量积中的应用 [ 答案 ] 　 2 由题悟道 模的最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数，利用函数值域的方法确定最值．体现了函数思想的运用，多与二次函数与基本不等式相联系． 数形结合思想在数量积的应用 由题悟道 根据条件，巧用图形、确定夹角的范围，充分利用向量的线性运算与几何定义，数形结合，这是解决夹角与模常用的思想方法之一． 答案： D 2 ．已知 a ， b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足 ( a － c ) · ( b － c ) ＝ 0 ，则 | c | 的最大值是 ________ ． 本小节结束 请按 ESC 键返回