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- 2021-06-15 发布
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2013年广东省高考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2﹣2x=0,x∈R},则S∩T=( )
A.{0} B.{0,2} C.{﹣2,0} D.{﹣2,0,2}
2.(5分)函数f(x)=的定义域为( )
A.(﹣1,+∞) B.[﹣1,+∞) C.(﹣1,1)∪(1,+∞) D.[﹣1,1)∪(1,+∞)
3.(5分)若i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数x+yi的模是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.(5分)已知sin(+α)=,cosα=( )
A. B. C. D.
5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是( )
A.1 B.2 C.4 D.7
6.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )
A. B. C. D.1
7.(5分)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )
A. B.x+y+1=0 C.x+y﹣1=0 D.
8.(5分)设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
9.(5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )
A. B. C. D.
10.(5分)设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:
①给定向量,总存在向量,使;
②给定向量和,总存在实数λ和μ,使;
③给定单位向量和正数μ,总存在单位向量和实数λ,使;
④给定正数λ和μ,总存在单位向量和单位向量,使;
上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题:本大题共3小题.每小题5分,满分15分.(一)必做题(11~13题)
11.(5分)设数列{an}是首项为1,公比为﹣2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|= .
12.(5分)若曲线y=ax2﹣lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= .
13.(5分)已知变量x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值是 .
选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
14.(5分)(坐标系与参数方程选做题)
已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为 .
15.(几何证明选讲选做题)
如图,在矩形ABCD中,,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED= .
四、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(12分)已知函数.
(1)求的值;
(2)若,求.
17.(13分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
分组(重量)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
频数(个)
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;
(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?
(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.
18.(13分)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF,其中BC=.
(1)证明:DE∥平面BCF;
(2)证明:CF⊥平面ABF;
(3)当AD=时,求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG.
19.(14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=an+12﹣4n﹣1,n∈N*,且a2,a5,a14构成等比数列.
(1)证明:a2=;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有.
20.(14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离为
,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值.
21.(14分)设函数f(x)=x3﹣kx2+x(k∈R).
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,﹣k]上的最小值m和最大值M.
2013年广东省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2﹣2x=0,x∈R},则S∩T=( )
A.{0} B.{0,2} C.{﹣2,0} D.{﹣2,0,2}
【分析】根据题意,分析可得,S、T分别表示二次方程的解集,化简S、T,进而求其交集可得答案.
【解答】解:分析可得,
S为方程x2+2x=0的解集,则S={x|x2+2x=0}={0,﹣2},
T为方程x2﹣2x=0的解集,则T={x|x2﹣2x=0}={0,2},
故集合S∩T={0},
故选:A.
【点评】本题考查集合的交集运算,首先分析集合的元素,可得集合的意义,再求集合的交集.
2.(5分)函数f(x)=的定义域为( )
A.(﹣1,+∞) B.[﹣1,+∞) C.(﹣1,1)∪(1,+∞) D.[﹣1,1)∪(1,+∞)
【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1>0且x﹣1≠0,进而可求得x的范围.
【解答】解:要使函数有意义需,
解得x>﹣1且x≠1.
∴函数的定义域是(﹣1,1)∪(1,+∞).
故选:C.
【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法,熟练解不等式组是基础,属于基础题.
3.(5分)若i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数x+yi的模是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【分析】利用复数的运算法则把i(x+yi)可化为3+4i,利用复数相等即可得出x=4,y=﹣3.再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5.
【解答】解:∵i(x+yi)=xi﹣y=3+4i,x,y∈R,∴x=4,﹣y=3,即x=4,y=﹣3.
∴|x+yi|=|4﹣3i|==5.
故选:D.
【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键.
4.(5分)已知sin(+α)=,cosα=( )
A. B. C. D.
【分析】已知等式中的角变形后,利用诱导公式化简,即可求出cosα的值.
【解答】解:sin(+α)=sin(2π++α)=sin(+α)=cosα=.
故选:C.
【点评】此题考查了诱导公式的作用,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.
5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是( )
A.1 B.2 C.4 D.7
【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3,可得:进入循环的条件为i≤3,即i=1,2,3.模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.
【解答】解:当i=1时,S=1+1﹣1=1;
当i=2时,S=1+2﹣1=2;
当i=3时,S=2+3﹣1=4;
当i=4时,退出循环,输出S=4;
故选:C.
【点评】本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理.
6.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )
A. B. C. D.1
【分析】由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,其中PA⊥底面ABC,PA=2,AB⊥BC,AB=BC=1.据此即可得到体积.
【解答】解:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,其中PA⊥底面ABC,PA=2,AB⊥BC,AB=BC=1.
∴.
因此V===.
故选:B.
【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.
7.(5分)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )
A. B.x+y+1=0 C.x+y﹣1=0 D.
【分析】设所求的直线为l,根据直线l垂直于y=x+1,设l方程为y=﹣x+b,即x+y+b=0.根据直线l与圆x2+y2=1相切,得圆心0到直线l的距离等于1,由点到直线的距离公式建立关于b的方程,解之可得b=±,最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程.
【解答】解:设所求的直线为l,
∵直线l垂直于直线y=x+1,可得直线l的斜率为k=﹣1
∴设直线l方程为y=﹣x+b,即x+y﹣b=0
∵直线l与圆x2+y2=1相切,
∴圆心到直线的距离d=,解之得b=±
当b=﹣时,可得切点坐标(﹣,﹣),切点在第三象限;
当b=时,可得切点坐标(,),切点在第一象限;
∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限,
∴b=﹣不符合题意,可得b=,直线方程为x+y﹣=0
故选:A.
【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限,求直线l的方程.着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题.
8.(5分)设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法,可判断A;
根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征,可判断B;
根据线面平行的性质定理,线面垂直及面面垂直的判定定理,可判断C;
根据面面垂直及线面平行的几何特征,可判断D.
【解答】解:若l∥α,l∥β,则平面α,β可能相交,此时交线与l平行,故A错误;
若l⊥α,l⊥β,根据垂直于同一直线的两个平面平行,可得B正确;
若l⊥α,l∥β,则存在直线m⊂β,使l∥m,则m⊥α,故此时α⊥β,故C错误;
若α⊥β,l∥α,则l与β可能相交,可能平行,也可能线在面内,故D错误;
故选:B.
【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系,熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键.
9.(5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )
A. B. C. D.
【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上,由焦点坐标得到c,再由离心率求出a,由b2=a2﹣c2求出b2,则椭圆的方程可求.
【解答】解:由题意设椭圆的方程为.
因为椭圆C的右焦点为F(1,0),所以c=1,又离心率等于,
即,所以a=2,则b2=a2﹣c2=3.
所以椭圆的方程为.
故选:D.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单性质,属中档题.
10.(5分)设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:
①给定向量,总存在向量,使;
②给定向量和,总存在实数λ和μ,使;
③给定单位向量和正数μ,总存在单位向量和实数λ,使;
④给定正数λ和μ,总存在单位向量和单位向量,使;
上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】选项①由向量加减的几何意义可得;选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性;选项④λ和μ为正数,这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来.
【解答】解:选项①,给定向量和,只需求得其向量差即为所求的向量,
故总存在向量,使,故①正确;
选项②,当向量,和在同一平面内且两两不共线时,向量,可作基底,
由平面向量基本定理可知结论成立,故可知②正确;
选项③,取=(4,4),μ=2,=(1,0),
无论λ取何值,向量λ都平行于x轴,而向量μ的模恒等于2,
要使成立,根据平行四边形法则,向量μ的纵坐标一定为4,
故找不到这样的单位向量使等式成立,故③错误;
选项④,因为λ和μ为正数,所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量,
这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来,
故不一定能使成立,故④错误.
故选:B.
【点评】本题考查命题真假的判断与应用,涉及平面向量基本定理及其意义,属基础题.
二、填空题:本大题共3小题.每小题5分,满分15分.(一)必做题(11~13题)
11.(5分)设数列{an}是首项为1,公比为﹣2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|= 15 .
【分析】根据条件求得等比数列的通项公式,从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值.
【解答】解:∵数列{an}是首项为1,公比为﹣2的等比数列,∴an=a1•qn﹣1=(﹣2)n﹣1,
∴a1=1,a2=﹣2,a3=4,a4=﹣8,∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15,
故答案为15.
【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式,属于基础题.
12.(5分)若曲线y=ax2﹣lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= .
【分析】先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k的值.
【解答】解:由题意得,
∵在点(1,a)处的切线平行于x轴,
∴2a﹣1=0,得a=,
故答案为:.
【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大.
13.(5分)已知变量x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值是 5 .
【分析】先画出线性约束条件表示的可行域,再将目标函数赋予几何意义,最后利用数形结合即可得目标函数的最值.
【解答】解:画出可行域如图阴影部分,
由 得A(1,4)
目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线,其纵截距越大z越大,
由图数形结合可得当动直线过点A(1,4)时,z最大=1+4=5.
故答案为:5.
【点评】本题主要考查了线性规划,以及二元一次不等式组表示平面区域的知识,数形结合的思想方法,属于基础题.
选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
14.(5分)(坐标系与参数方程选做题)
已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为 (θ为参数) .
【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,然后化直角坐标方程为参数方程.
【解答】解:由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,即x2+y2﹣2x=0.
化圆的方程为标准式,得(x﹣1)2+y2=1.
令,得.
所以曲线C的参数方程为.
故答案为.
【点评】本题考查了圆的参数方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,解答此题的关键是熟记互化公式,是中档题.
15.(几何证明选讲选做题)
如图,在矩形ABCD中,,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED= .
【分析】由矩形ABCD,得到三角形ABC为直角三角形,由AB与BC的长,利用勾股定理求出AC的长,进而得到AB为AC的一半,利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°,且利用射影定理求出EC的长,在三角形ECD中,利用余弦定理即可求出ED的长.
【解答】解:∵矩形ABCD,∴∠ABC=90°,
∴在Rt△ABC中,AB=,BC=3,根据勾股定理得:AC=2,
∴AB=AC,即∠ACB=30°,EC==,
∴∠ECD=60°,
在△ECD中,CD=AB=,EC=,
根据余弦定理得:ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=,
则ED=.
故答案为:
【点评】此题考查了余弦定理,勾股定理,直角三角形的性质,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
四、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(12分)已知函数.
(1)求的值;
(2)若,求.
【分析】(1)把x=直接代入函数解析式求解.
(2)先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值,然后将x=θ﹣代入函数解析式,并利用两角和与差公式求得结果.
【解答】解:(1)
(2)∵,,
∴.
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解,考查了和差角公式的运用,属于知识的简单综合.
17.(13分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
分组(重量)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
频数(个)
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;
(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?
(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.
【分析】(1)用苹果的重量在[90,95)的频数除以样本容量,即为所求.
(2)根据重量在[80,85)的频数所占的比例,求得重量在[80,85)的苹果的个数.
(3)用列举法求出所有的基本事件的个数,再求出满足条件的事件的个数,即可得到所求事件的概率.
【解答】解:(1)苹果的重量在[90,95)的频率为.
(2)重量在[80,85)的有个.
(3)设这4个苹果中,重量在[80,85)段的有1个,编号为1. 重量在[95,100)段的有3个,编号分别为2、3、4,从中任取两个,可能的情况有:
(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共6种.
设任取2个,重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件为A,则事件A包含有(1,2)(1,3)(1,4)共3种,
所以.
【点评】本题考查古典概型问题,用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件,应用列举法来解题是这一部分的最主要思想.本题还考查分层抽样的定义和方法,利用了
总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比,属于基础题.
18.(13分)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF,其中BC=.
(1)证明:DE∥平面BCF;
(2)证明:CF⊥平面ABF;
(3)当AD=时,求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG.
【分析】(1)在等边三角形ABC中,由AD=AE,可得,在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立,故有DE∥BC,再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF.
(2)由条件证得AF⊥CF ①,且.在三棱锥A﹣BCF中,由,可得BC2=BF2+CF2,从而 CF⊥BF②,结合①②,证得CF⊥平面ABF.
(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.再由
,运算求得结果.
【解答】解:(1)在等边三角形ABC中,AD=AE,∴,在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立,
∴DE∥BC.
又∵DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,
∴DE∥平面BCF.
(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AF⊥BC,即AF⊥CF ①,且.
∵在三棱锥A﹣BCF中,,∴BC2=BF2+CF2,∴CF⊥BF②.
又∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面ABF.
(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.
∴=.
【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用,用等体积法求三棱锥的体积,属于中档题.
19.(14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=an+12﹣4n﹣1,n∈N*,且a2,a5,a14构成等比数列.
(1)证明:a2=;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有.
【分析】(1)对于,令n=1即可证明;
(2)利用,且,(n≥2),两式相减即可求出通项公式.
(3)由(2)可得=.利用“裂项求和”即可证明.
【解答】解:(1)当n=1时,,
∵
(2)当n≥2时,满足,且,
∴,
∴,
∵an>0,∴an+1=an+2,
∴当n≥2时,{an}是公差d=2的等差数列.
∵a2,a5,a14构成等比数列,∴,,解得a2=3,
由(1)可知,,∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2,
∴{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列.
∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1.
(3)由(2)可得式=.
∴
【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)是解题的关键.
20.(14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值.
【分析】(1)利用焦点到直线l:x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程,即可解得c,从而得出抛物线C的方程;
(2)先设,,由(1)得到抛物线C的方程求导数,得到切线PA,PB的斜率,最后利用直线AB的斜率的不同表示形式,即可得出直线AB的方程;
(3)根据抛物线的定义,有,,从而表示出|AF|•|BF|,再由(2)得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2,将它表示成关于y0的二次函数的形式,从而即可求出|AF|•|BF|的最小值.
【解答】解:(1)焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离,解得c=1,
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设,,
由(1)得抛物线C的方程为,,所以切线PA,PB的斜率分别为,,
所以PA:①PB:②
联立①②可得点P的坐标为,即,,
又因为切线PA的斜率为,整理得,
直线AB的斜率,
所以直线AB的方程为,
整理得,即,
因为点P(x0,y0)为直线l:x﹣y﹣2=0上的点,所以x0﹣y0﹣2=0,即y0=x0﹣2,
所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0.
(3)根据抛物线的定义,有,,
所以=,
由(2)得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2,
所以=.
所以当时,|AF|•|BF|的最小值为.
【点评】本题以抛物线为载体,考查抛物线的标准方程,考查利用导数研究曲线的切线方程,考查计算能力,有一定的综合性.
21.(14分)设函数f(x)=x3﹣kx2+x(k∈R).
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,﹣k]上的最小值m和最大值M.
【分析】(1)当k=1时,求出f′(x)=3x2﹣2x+1,判断△即可得到单调区间;
(2)解法一:当k<0时,f′(x)=3x2﹣2kx+1,其开口向上,对称轴,且过(0,1).分△≤0和△>0即可得出其单调性,进而得到其最值.
解法二:利用“作差法”比较:当k<0时,对∀x∈[k,﹣k],f(x)﹣f(k)及f(x)﹣f(﹣k).
【解答】解:f′(x)=3x2﹣2kx+1
(1)当k=1时f′(x)=3x2﹣2x+1,
∵△=4﹣12=﹣8<0,∴f′(x)>0,f(x)在R上单调递增.
(2)当k<0时,f′(x)=3x2﹣2kx+1,其开口向上,对称轴,且过(0,1)
(i)当,即时,f′(x)≥0,f(x)在[k,﹣k]上单调递增,
从而当x=k时,f(x)取得最小值m=f(k)=k,
当x=﹣k时,f(x)取得最大值M=f(﹣k)=﹣k3﹣k3﹣k=﹣2k3﹣k.
(ii)当,即时,令f′(x)=3x2﹣2kx+1=0
解得:,注意到k<x2<x1<0,
∴m=min{f(k),f(x1)},M=max{f(﹣k),f(x2)},
∵,∴f(x)的最小值m=f(k)=k,
∵,
∴f(x)的最大值M=f(﹣k)=﹣2k3﹣k.
综上所述,当k<0时,f(x)的最小值m=f(k)=k,最大值M=f(﹣k)=﹣2k3﹣k
解法2:(2)当k<0时,对∀x∈[k,﹣k],都有f(x)﹣f(k)=x3﹣kx2+x﹣k3+k3﹣k=(x2+1)(x﹣k)≥0,
故f(x)≥f(k).
f(x)﹣f(﹣k)=x3﹣kx2+x+k3+k3+k=(x+k)(x2﹣2kx+2k2+1)=(x+k)[(x﹣k)2+k2+1]≤0,
故f(x)≤f(﹣k),而 f(k)=k<0,f(﹣k)=﹣2k3﹣k>0.
所以 ,f(x)min=f(k)=k.
【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键.
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