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- 2021-06-15 发布
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第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积
课下练兵场
命 题 报 告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题(题号)
稍难题
(题号)
几何体的面积
1
6、7
几何体的体积
2、3
8、10
5、12
与简单组合体、
展开折叠问题
4
9、11
一、选择题
1.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( )
A.32π B.16π C.12π D.8π
解析:由三视图知,该几何体是半径为2的半球体,其表面积S=12π.
答案:C
2.如图,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的
正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的
体积是 ( )
A. B. C. D.
解析:由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为1,侧棱长为1,斜高为,连结顶点和底面中心即为高,可求高为,所以体积为V=·1·1·=.
答案:B
3.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,
则四面体ABCD的外接球的体积为 ( )
A.π B.π C.π D.π
解析:由题意知,球心到四个顶点的距离相等,
所以球心在对角线AC上,且其半径为AC长度的一半,
则V球=π×()3=.
答案:C
4.(2010·福州质检)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 ( )
A.π B.π C.π+8 D.12π
解析:由三视图可知,该几何体为底面半径是2,高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体,则该几何体的体积为π×22×2+π=π.
答案:A
5.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为 ( )
A. B. C. D.
解析:如图所示,可知AC=,BD=1,BC=b,AB=a.
设CD=x,AD=y,
则x2+y2=6,x2+1=b2,y2+1=a2,
消去x2,y2得
a2+b2=8≥,
所以(a+b)≤4,
当且仅当a=b=2时等号成立,此时x=,y=,
所以V=××1××=.
答案:D
6.将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面),所得几何体的表面积为 ( )
A.7 B.6 C.3 D.9
解析:原正四面体的表面积为4×=9,每截去一个小正四面体,表面减小三个小正三角形,增加一个小正三角形,故表面积减少4×2×=2,故所得几何体的表面积为7.
答案:A
二、填空题
7.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2a的等腰三角形,俯视图是半径为a的半圆,则该几何体的表面积是________.
解析:由题目所给三视图可得,该几何体为圆锥的一半,那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和.又该圆锥的侧面展开图为扇形,所以侧面积为×2a×2πa=2πa2,底面积为πa2,观察三视图可知,轴截面为边长为2a的正三角形,所以轴截面面积为×2a×2a×=a2,则该几何体的表面积为πa2+a2.
答案:πa2+a2
8.已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为120°,底面圆的半径为1,则该圆锥的体积为________.
解析:因为扇形弧长为2π,所以圆锥母线长为3,高为2,所求体积V= ×π×12×2=.
答案:π
9.(2010·安徽师大附中模拟)一个三棱锥的三视图如图所示,其正视图、侧视图、俯视图的面积分别是1,2,4,则这个几何体的体积为________.
解析:设正视图两直角边长分别为a,c,左视图两直角边长为b,c,则俯视图两直角边长为a,b.
∴解得a2b2c2=64,∴abc=8,
由于这个几何体为三棱锥,所以其体积
V=×abc=.
答案:
三、解答题
10.已知正方体AC1的棱长为a,E,F分别为棱AA1与CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积.
解:因为EB=BF=FD1=D1E= =a,
所以四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形,连接EF,
则△EFB≌△EFD1,
由于三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1等底同高,
所以VA1-EBFD1=2VA1-EFB=2VF-EBA1
=2··S△EBA1·a=a3.
11.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm).
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(2)求这个几何体的表面积及体积.
解:(1)这个几何体的直观图如图所示.
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体.
由PA1=PD1=,A1D1=AD=2,
可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积
S=5×22+2×2×+2××()2
=22+4 (cm2),
所求几何体的体积V=23+×()2×2=10(cm3).
12.(2009·宁夏、海南高考)如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°.
(1)证明:AB⊥PC;
(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.
解:(1)证明:因为△PAB是等边三角形,
∠PAC=∠PBC=90°,
所以Rt△PBC≌Rt△PAC,
可得AC=BC.
如图,取AB中点D,连结PD、CD,
则PD⊥AB,CD⊥AB,所以AB⊥平面PDC,
所以AB⊥PC.
(2)作BE⊥PC,垂足为E,连结AE.
因为Rt△PBC≌Rt△PAC,
所以AE⊥PC,AE=BE.
由已知,平面PAC⊥平面PBC,
故∠AEB=90°.
因为Rt△AEB≌Rt△PEB,
所以△AEB,△PEB,△CEB都是等腰直角三角形.
由已知PC=4,得AE=BE=2,
△AEB的面积S=2.
因为PC⊥平面AEB,
所以三棱锥P-ABC的体积
V=×S×PC=
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