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- 2021-06-15 发布
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海南中学2020届高三年级摸底考试
数学试题
命题人:余书胜 审核人:文德良
(考试用时为120分钟,满分分值为150分.)
注意事项:
1本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卷上,写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析:利用一元二次不等式的解法化简集合,利用求值域得出集合,根据交集的定义可得.
详解:因为集合,
,
所以,故选A.
点睛:本题主要考查了解一元二次不等式,求集合的交集,属于容易题,在解题过程中要注意交集时要考虑端点是否可以取到,这是一个易错点,同时将不等式与集合融合,体现了知识点之间的交汇.
2.是虚数单位,则复数在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
- 22 -
【答案】C
【解析】
,在复平面上对应的点位于第三象限.故选.
3.已知点在幂函数图像上,设,,,则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点在幂函数上,可求得幂函数解析式,进而判断大小即可.
【详解】因为点在幂函数图像上
所以,所以
即,
,,
即
为R上的单调递增函数
所以
所以选A
【点睛】本题考查了指数幂与对数大小比较,函数单调性的简单应用,属于基础题.
4.某地区的高一新生中,来自东部平原地区的学生有2400人,中部丘陵地区的学生有1600人,西部山区的学生有1000人.计划从中选取100人调查学生的视力情况,现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异,而这三个地区男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )
A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样
- 22 -
C. 系统抽样 D. 按地区分层抽样
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抽样方法的特征,即可得出结论.
【详解】由于该地区东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异,故按地区分层抽样.
【点睛】本题主要考查抽样方法,熟记每种抽样方法的特征即可,属于基础题型.
5.已知等差数列的前项和为,若,则( )
A. 80 B. 90 C. 100 D. 110
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差,即可求解.
【详解】根据等差数列前项和的片段和性质:
也是等差数列,
又,
故可得:10,30,50成等差数列,故:
,解得.
故选:B.
【点睛】本题考查等差数列前项和片段和性质.
6.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
- 22 -
【答案】D
【解析】
因为,所以函数的奇函数,排除答案A 、C ,又当时,,,函数单调递减,故排除答案B,应选答案D.
7.若M为所在平面内一点,且满足,则为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
采用数形结合,根据向量的加法,减法运算,以及向量的垂直关系,可得结果.
【详解】,
即
如图,取的中点
所以,又
- 22 -
所以,可知
所以可得是的垂直平分线,
所以是等腰三角形,
故选:B
【点睛】本题考查向量的加法、减法运算,还考查了向量的垂直关系,考验计算与化简,属基础题.
8.从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为
A. 48 B. 72 C. 90 D. 96
【答案】D
【解析】
因甲不参加生物竞赛,则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时,共有•=72种选择方案;②当甲学生不参加任何比赛时,共有=24种选择方案.综上所述,所有参赛方案有72+24=96种
故答案为96
点睛:本题以选择学生参加比赛为载体,考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识,属于基础题.
9.已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如下图所示,则该凸多面体的体积( )
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面展开图,还原几何体,将其拆分为正四棱锥和正方体即可求解对应的体积.
【详解】根据平面展开图,还原几何体可得:
- 22 -
故该几何体是由棱长为1的正方体和底边棱长为1的正四棱锥组合而成.
则其体积为
故选:A.
【点睛】本题考查由展开图还原几何体,涉及几何体体积的求解.
10.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过且斜率为1的直线交椭圆于、两点,则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出直线方程,联立椭圆方程,求弦长;用点到直线距离公式求高;由面积公式求解.
【详解】设直线AB方程为,
联立椭圆方程
整理可得:,
设,
故弦长=.
由点到直线的距离公式可得:
- 22 -
又点,直线AB:
则点到直线AB的距离
故.
故选:C.
【点睛】本题考查椭圆中三角形面积的问题,属基础知识题.
11.,满足,且对任意,都有.当取最小值时,函数的单调递减区间为( ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意求出参数,再求三角函数单调区间.
【详解】因为,
故关于对称,
即:,
解得. ①
又
故,
- 22 -
解得 ②
由①②可得:
令,则
,
又,故其最小值为6
此时,又,故
解得.
综上所述:
令
解得:
故选:A.
【点睛】本题考查三角函数解析式的求解以及单调区间的求解;难点是求解析式,本题属于求解析式的复杂题.
12.设函数是定义在上的偶函数,对任意,都有,且当时,,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将方程有三个根,转化为图像有三个交点,数形结合即可.
【详解】有三个根,
等价于与图像有三个交点,
- 22 -
根据题意,是周期为4的周期函数,
在同一直角坐标系中画出函数图像,如下所示:
由图可知,若满足题意,
则在处的函数值小于3,且
在处的函数值大于3,
故:,
解得
故选:B.
【点睛】本题考查方程根的个数,涉及函数的周期性,单调性,属综合基础题.
第Ⅱ卷
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量,,若,则向量与向量的夹角为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由,利用数量积为零可求得,从而得,求得,利用,从而可得结果.
【详解】,
- 22 -
则,
,
即,解得,
,
则,
则,
又,故答案为.
【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式,属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式,一是,二是,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角, (此时往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是;(3)向量垂直则;(4)求向量 的模(平方后需求).
14.当时,不等式恒成立,则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
将不等式恒成立转化为最值问题,利用均值不等式求解即可.
【详解】当时,不等式恒成立
等价于在时恒成立
即等价于;
- 22 -
而因为,
故,当且仅当时取得最大值.
故:
故答案为:.
【点睛】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题,分离参数,转化为最值问题,是一般思路;本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.
15.已知,则的值为 .
【答案】
【解析】
试题分析:令,得,令,得,
联立得:,故答案为.
考点:二项式定理的应用.
【方法点晴】本题考查二项式定理应用之通过赋值法求展开式的系数和问题,属于常规题,难度中等;常见的通法是通过赋值使得多项式中的变为和,在本题中要使即给等式中的赋值,求出展开式的常数项;要使即给等式中赋值求出展开式的各项系数和即,两式相减得到要求的值.
16.若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则_____.
【答案】或
【解析】
【分析】
设出两个切点坐标,利用导数的几何意义,以及过两点的直线斜率公式可列方程组,从而求出切点坐标,进而可得切线斜率.
【详解】详解:设与和,分别切于点,,
- 22 -
由导数的几何意义可得:,即,①
则切线方程为,即,
或,即,②
将①代入②得,
又直线是曲线的切线,也是曲线的切线,
则,
即,
则或,
即或,
故答案为:或.
【点睛】本题考查了应用导数的几何意义求切点处切线的斜率,重点考查了运算能力,属中档题.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知.
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1),单调递减区间为;(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)利用二倍角的正弦公式,余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为,然后利用正弦型函数的周期公式可得周期,利用正弦函数的递减区间可得的递减区间;
- 22 -
(2)根据正弦函数的性质可得最大最小值.
【详解】(1),
∴的最小正周期.
由,得,
∴的单调递减区间为.
(2)∵,
∴,
当,即时,函数取得最小值,为;
当,即时,函数取得最大值,为.
故函数在区间上最大值为3,最小值为0.
【点睛】本题考查了二倍角的正弦,余弦公式,考查了两角和的正弦公式的逆用,考查了三角形函数的周期,单调区间,最值,属于中档题.
18.已知正项数列的前项和为,满足,,是等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)由为等比数列,根据特殊的几项,结合已知,即可求解;
- 22 -
(2)由(1)中所求得,再裂项求和即可.
【详解】(1)设的公比为,由题知,
且有:,
所以:,
即:,代入,
得,
所以或者(舍去)
所以:,
所以:
由
得:,所以:
所以:
所以:.
(2)因为,所以,
,
所以数列的前项和为
.
【点睛】本题考查通项公式的求解,以及裂项相消求和法,属数列中综合基础题.
- 22 -
19.“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书),比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多,是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用,出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的,而且和其他国家相比,我国国民的阅读量如此之低,也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站,由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内看书人员进行年龄调查,随机抽取了一天40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:,,,,,后得到如图所示的频率分布直方图.问:
(1)估计在40名读书者中年龄分布在的人数;
(2)求40名读书者年龄的平均数和中位数;
(3)若从年龄在的读书者中任取2名,求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.
【答案】(1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下:
0
1
2
数学期望
【解析】
试题分析:(1)由频率分布直方图知年龄在[40,70)的频率为(0.020+0.030+0.025)×10,进而得出40 名读书者中年龄分布在[40,70)的人数.(2)40
- 22 -
名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1.计算频率为处所对应的数据即可得出中位数.(3)年龄在[20,30)的读书者有2人,年龄在[30,40)的读书者有4人,所以X的所有可能取值是0,1,2.利用超几何分布列计算公式即可得出.
试题解析:
(1)由频率分布直方图知年龄在的频率为,
所以40名读书者中年龄分布在的人数为.
(2)40名读书者年龄的平均数为
.
设中位数为,则
解得,即40名读书者年龄的中位数为55.
(3)年龄在的读书者有人,
年龄在的读书者有人,
所以的所有可能取值是0,1,2,
,
,
,
的分布列如下:
0
1
2
数学期望.
20.如图,四棱锥中,底面为菱形,,,点为中点.
- 22 -
(1)证明:;
(2)若点为线段的中点,平面平面,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
分析:(1)由正三角形的性质可得,由等腰三角形的性质可得,由线面垂直的判定定理可得平面,从而可得结论;(2)由(1)知,结合面面垂直的性质可得,平面,以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴,建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量取平面的一个法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
详解:(1)连接,
因为,,所以为正三角形,又点为的中点,所以.
又因为,为的中点,所以.
又,所以平面,又平面,所以.
(2)由(1)知.又平面平面,交线为,所以平面,
- 22 -
以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,
设平面的一个法向量为,
可得得,
由(1)知平面,则取平面的一个法向量,
,故二面角的余弦值为.
点睛:本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
21.已知椭圆,为椭圆与轴的一个交点,过原点的直线交椭圆于两点,且,.
(1)求此椭圆的方程;
(2)若为椭圆上的点且的横坐标,试判断是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
- 22 -
【答案】(1);(2)为定值.
【解析】
【分析】
(1)由求出,由已知条件可得点的坐标,则椭圆的方程易求.
(2)利用斜率公式表示出,结合点在椭圆上,可得为定值.
【详解】(1)因为为椭圆与轴的一个交点,所以.
由,可得,
由等腰直角三角形的性质可得,
代入椭圆方程可得,解得,
所以此椭圆的方程为.
(2)由(1)可得,,
由在椭圆上,可得,
所以,
即是定值,定值为.
【点睛】本题考查椭圆的方程,椭圆中的定值问题.判断是否为定值的一般思路是用参数表示出目标值,再看能否消去参数.
22.己知;
(1)讨论函数的单调性;
(2)当)时,函数有两个零点,证明:.
- 22 -
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
分析:(1)讨论的零点与的关系,判断出的符号,即可得到函数的单调区间;
(2)根据的单调性判断的取值范围,构造函数,利用单调性得出,判断的符号得出的大小关系,从而得到结论.
详解:(1)
①若 ,在上单调递增;
②若
当时,,所以在单调递增,在单调递减;
当时,,所以在单调递增;
(2)由(1)的讨论可知当时,在单调递增,在单调递减,且,,所以两个零点,
①当时,,所以,显然;
②当时,,所以,
令
- 22 -
因为,所以,所以在上单调递减,)
又,所以<0,即,
又因为,在单调递增,
所以,所以,
即,.
而
所以,即
,命题得证.
点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.
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