浙江省2021届高考数学一轮复习第四章导数及其应用第3节导数与函数的极值最值课件 33页

第 3 节　导数与函数的极值、最值 考试要求　 1. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 2. 会用导数求函数的极大值、极小值 ( 其中多项式函数不超过三次 ) ； 3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值 ( 其中多项式函数不超过三次 ). 知 识 梳 理 1 . 函数的极值与导数 (1) 判断 f ( x 0 ) 是极值的方法 一般地，当函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续且 f ′( x 0 ) ＝ 0 ， ① 如果在 x 0 附近的左侧 f ′( x ) ＞ 0 ，右侧 f ′( x ) ＜ 0 ，那么 f ( x 0 ) 是 _______ ； ② 如果在 x 0 附近的左侧 f ′( x )____0 ，右侧 f ′( x )____0 ，那么 f ( x 0 ) 是极小值 . 极大值 ＜ ＞ (2) 求可导函数极值的步骤 ① 求 f ′( x ) ； ② 求方程 _________ 的根； ③ 检查 f ′( x ) 在方程 f ′( x ) ＝ 0 的根的左右两侧的符号 . 如果左正右负，那么 f ( x ) 在这个根处取得 _______ ；如果左负右正，那么 f ( x ) 在这个根处取得 _______ . f ′( x ) ＝ 0 极大值 极小值 2 . 函数的最值与导数 (1) 函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上有最值的条件 如果在区间 [ a ， b ] 上函数 y ＝ f ( x ) 的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值 . (2) 设函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上连续且在 ( a ， b ) 内可导，求 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大值和最小值的步骤如下： ① 求 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内的极值； ② 将 f ( x ) 的各极值与 ________ 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 . f ( a ) ， f ( b ) [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 若函数 f ( x ) 的图象连续不断，则 f ( x ) 在 [ a ， b ] 内一定有最值 . 2. 若函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 内是单调函数，则 f ( x ) 一定在区间端点处取得最值 . 3. 若函数 f ( x ) 在开区间 ( a ， b ) 内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点 . 4. 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能 . 5. 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论 . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) 函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 .( 　　 ) (2) 函数的极大值不一定比极小值大 .( 　　 ) (3) 对可导函数 f ( x ) ， f ′( x 0 ) ＝ 0 是 x 0 为极值点的充要条件 .( 　　 ) (4) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值 .( 　　 ) 解析　 (1) 函数在某区间上或定义域内的极大值不一定唯一； (3) x 0 为 f ( x ) 的极值点的充要条件是 f ′( x 0 ) ＝ 0 ，且 x 0 两侧导数符号异号 . 答案 　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) √ 2. ( 选修 2 － 2P32A4 改编 ) 如图是 f ( x ) 的导函数 f ′( x ) 的图象，则 f ( x ) 的极小值点的个数为 ( 　　 ) A.1 　　 B.2 C.3 　　 D.4 解析　 由题意知在 x ＝－ 1 处 f ′( － 1) ＝ 0 ，且其左右两侧导数符号为左负右正 . 答案 　 A 3. 函数 f ( x ) ＝－ x 3 ＋ 3 x ＋ 1 有 ( 　　 ) A. 极小值－ 1 ，极大值 1 B. 极小值－ 2 ，极大值 3 C. 极小值－ 2 ，极大值 2 D. 极小值－ 1 ，极大值 3 解析 　因为 f ( x ) ＝－ x 3 ＋ 3 x ＋ 1 ，故有 y ′ ＝－ 3 x 2 ＋ 3 ，令 y ′ ＝－ 3 x 2 ＋ 3 ＝ 0 ，解得 x ＝ ±1 ，于是，当 x 变化时， f ′( x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表： x ( － ∞ ，－ 1) － 1 ( － 1 ， 1) 1 (1 ，＋ ∞ ) f ′( x ) － 0 ＋ 0 － f ( x )  极小值  极大值  所以 f ( x ) 的极小值为 f ( － 1) ＝－ 1 ， f ( x ) 的极大值为 f (1) ＝ 3. 答案　 D 4. 函数 f ( x ) ＝ ln x － ax 在 x ＝ 1 处有极值，则常数 a ＝ ________. 答案　 1 答案　 ( － 9 ，－ 5) 6. 已知 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线方程为 y ＝ x － 1 ，且 f ′( x ) ＝ ln x ＋ 1 ，则函数 f ( x ) ＝ ________ ，函数 f ( x ) 的最小值为 ________. 考点一　用导数解决函数的极值问题 随着 x 的变化， f ′( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表： x (0 ， 2) 2 (2 ，＋ ∞ ) f ′( x ) － 0 ＋ f ( x )  极小值  ∴ f ( x ) 有极小值 f (2) ＝－ 4ln 2 ，无极大值 . 当 a >0 时，随着 x 的变化， f ′( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表： 当 a <0 时，随着 x 的变化， f ′( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表： 规律方法 　函数极值的两类热点问题 (1) 求函数 f ( x ) 极值这类问题的一般解题步骤为： ① 确定函数的定义域； ② 求导数 f ′( x ) ； ③ 解方程 f ′( x ) ＝ 0 ，求出函数定义域内的所有根； ④ 列表检验 f ′( x ) 在 f ′( x ) ＝ 0 的根 x 0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 f ( x ) 在 x 0 处取极大值，如果左负右正，那么 f ( x ) 在 x 0 处取极小值 . (2) 由函数极值求参数的值或范围 . 讨论极值点有无 ( 个数 ) 问题，转化为讨论 f ′( x ) ＝ 0 根的有无 ( 个数 ). 然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为 0 ，而导数为 0 的点不一定是极值点，要检验导数为 0 的点两侧导数是否异号 . 解　 (1) 因为 f ( x ) ＝ [ ax 2 － (4 a ＋ 1) x ＋ 4 a ＋ 3]e x ，所以 f ′( x ) ＝ [ ax 2 － (2 a ＋ 1) x ＋ 2]e x . ① 当 a ≤ 0 时， f ′( x ) ＜ 0 ，此时 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减，所以不存在极小值 . 考点二　用导数解决函数的最值问题 规律方法 　 (1) 求函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大值和最小值的步骤： ① 求函数在 ( a ， b ) 内的极值； ② 求函数在区间端点的函数值 f ( a ) ， f ( b ) ； ③ 将函数 f ( x ) 的极值与 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 . (2) 含参数的函数的最值一般先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值 . 含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论 . 考点三　函数极值与最值的综合问题 【例 3 】 已知函数 f ( x ) ＝ e x － ax ， a >0. (1) 记 f ( x ) 的极小值为 g ( a ) ，求 g ( a ) 的最大值； (2) 若对任意实数 x ，恒有 f ( x ) ≥ 0 ，求 f ( a ) 的取值范围 . 解 　 (1) 函数 f ( x ) 的定义域是 ( － ∞ ，＋ ∞ ) ， f ′( x ) ＝ e x － a . 令 f ′( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ ln a ，易知当 x ∈ (ln a ，＋ ∞ ) 时， f ′( x )>0 ，当 x ∈ ( － ∞ ， ln a ) 时， f ′( x )<0 ，所以函数 f ( x ) 在 x ＝ ln a 处取极小值， g ( a ) ＝ f ( x ) 极小值 ＝ f (ln a ) ＝ e ln a － a ln a ＝ a － a ln a . g ′( a ) ＝ 1 － (1 ＋ ln a ) ＝－ ln a ，当 0< a <1 时， g ′( a )>0 ， g ( a ) 在 (0 ， 1) 上单调递增； 当 a >1 时， g ′( a )<0 ， g ( a ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递减 . 所以 a ＝ 1 是函数 g ( a ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上的极大值点，也是最大值点，所以 g ( a ) max ＝ g (1) ＝ 1. (2) 显然，当 x ≤ 0 时， e x － ax ≥ 0( a >0) 恒成立 . f ( a ) ＝ e a － a 2 ， a ∈ (0 ， e] ， f ′( a ) ＝ e a － 2 a ，易知 e a － 2 a ≥ 0 对 a ∈ (0 ， e] 恒成立，故 f ( a ) 在 (0 ， e] 上单调递增，所以 f (0) ＝ 1< f ( a ) ≤ f (e) ＝ e e － e 2 ，即 f ( a ) 的取值范围是 (1 ， e e － e 2 ]. 规律方法　 1.(1) 求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小 . (2) 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论 . 2. 本题分离参数，构造函数，把问题转化为求函数的最值问题，优化了解题过程 . 此时， f ( x ) ＝ ( x － 3)( x ＋ 3) 2 ， f ′( x ) ＝ 3( x ＋ 3)( x － 1). 令 f ′( x ) ＝ 0 ，得 x ＝－ 3 或 x ＝ 1. 当 x 变化时， f ′( x ) ， f ( x ) 的变化如下表： x ( － ∞ ，－ 3) － 3 ( － 3 ， 1) 1 (1 ，＋ ∞ ) f ′( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x )  极大值  极小值  所以 f ( x ) 的极小值为 f (1) ＝ (1 － 3)(1 ＋ 3) 2 ＝－ 32. (2) 证明 　因为 a ＝ 0 ， c ＝ 1 ，所以 f ( x ) ＝ x ( x － b )( x － 1) ＝ x 3 － ( b ＋ 1) x 2 ＋ bx ， f ′( x ) ＝ 3 x 2 － 2( b ＋ 1) x ＋ b . 因为 0< b ≤ 1 ，所以 Δ ＝ 4( b ＋ 1) 2 － 12 b ＝ (2 b － 1) 2 ＋ 3>0 ，则 f ′( x ) 有 2 个不同的零点，设为 x 1 ， x 2 ( x 1 < x 2 ). 由 f ′( x ) ＝ 0 ，得 当 x 变化时， f ′( x ) ， f ( x ) 变化如下表： x ( － ∞ ， x 1 ) x 1 ( x 1 ， x 2 ) x 2 ( x 2 ，＋ ∞ ) f ′( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x )  极大值  极小值  所以 f ( x ) 的极大值 M ＝ f ( x 1 ). 法二　 因为 0< b ≤ 1 ， 所以 x 1 ∈ (0 ， 1). 当 x ∈ (0 ， 1) 时， f ( x ) ＝ x ( x － b )( x － 1) ≤ x ( x － 1) 2 . 当 x 变化时， g ′( x ) ， g ( x ) 变化如下表：