北师版高中数学必修一第2讲：集合的关系与运算（教师版） 8页

1 集合的关系与运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。 2、 了解空集的含义与性质。 3、 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 4、 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 一、子集： 一般地，对于两个集合 A 与 B ，如果集合 A 的任何．．一个元素都是集合 B 的元素，我们就说集合 A 包含于集合 B ，或集合 B 包含集合 B 。 记作: ABBA  或 ， 读作： A 包含于 B 或 B 包含 A 。 特别提醒：1、“ A 是 B 的子集”的含义是：集合 A 的任何．．一个元素都是集合 B 的元素，即由 x A ， 能推出 x B 。如：   1, 1 1,0,1,2   ；   深圳人 中国人 。2、当“ A 不是 B 的子集”时， 我们记作：“  A B B A  或 ”，读作：“ A 不包含于 B ，（或 B 不包含 A ）”。如：   1,2,3 1,3,4,5 。 3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合 A ，它的任何一个元素都属于集合 A 本身，记 作 A A 。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合 A ，有 A  。5、在子集的 定义中，不能理解为子集 A 是集合 B 中部分元素组成的集合。因为若 A  ，则 A 中不含有任何元 素；若 A = B ，则 A 中含有 B 中的所有元素，但此时都说集合 A 是集合 B 的子集。 二、集合相等： 一般地，对于两个集合 A 与 B ，如果集合 A 的任何．．一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 的 任何．．一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B ，记作 A = B 。 特别提醒：集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法，即欲证 A B ， 只需证 A B 与 B A 都成立即可。 三、真子集： 对于两个集合 A 与 B ，如果 BA  ，并且 BA  ，我们就说集合 A 是集合 B 的真子集， 记作：A B 或 B A, 读作 A 真包含于 B 或 B 真包含 A 2 特别提醒：1、空集是任何非空集合的真子集。2、对集合 A ， B ，C ，如果 A B ， B C ， 那么 A C 。3、两个集合 A 、 B 之间的关系： A B A B B A A B A B A B A B A B                   且 四、并集： 1、并集的概念： 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的并集。 记作：A  B，读作： A 并 B 。 符号语言表达式为： A  B  x x A x B  ，或 。 韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分） 如：｛1,2,3,6｝  ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝。 特别提醒：（1）定义中“或”字的意义：用“或”字连接的并列成份之间不一定是互相排斥的。 “ x A x B ，或 ” 这 一 条 件 包 含 下 列 三 种 情 况 ： x A x B ，但 ； x B x A ，但 ； x A x B ，且 。（2）对于 A  B  x x A x B  ，或 ，不能认为是由 A 的所有元素和 B 的所 有元素组成的集合，因为 A 与 B 可能有公共元素，所以上述看法，从集合元素的互异性看是错误的。 2、并集的性质： （1） ,A B A A B B   ； （2）A A A ； （3）A A  ； （4）A B B A  。 3、讨论两集合在各种关系下的并集情况： （1）若 A B ，则 A B B ，如图①； （2）若 B A ，则 A B A ，如图②； ① ② ③ （3）若 A B ，则 A B A （ A B B ），如图③； （4）若 A 与 B 相交，则 A B  图④中的阴影部分； （5）若 A 与 B 相离，则 A B  图⑤中的阴影部分。 ④ ⑤ 五、交集： 1、交集的概念： 一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的交集。 记作： A  B ；读作： A 交 B 。 符号语言表达式为： A  B  x x A x B  ，且 韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）： 如：｛1,2,3,6｝  ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝． 特别提醒：对于 A  B  x x A x B  ，且 ，是指 A  B 中的任一元素都是 A 与 B 的公共 元素，同时这些公共元素都属于 A  B 。还有并不是任何两个集合总有公共元素，当集合 A 与集合 B 没有公共元素时，不能说 A 与 B 没有交集，而是 A  B   。 2、交集的运算性质： （1） ,A B A A B B   ；（2） A A A ；（3） A    ；（4） A B B A  。 3 3、讨论两集合在各种关系下的交集情况： （1）若 A B ，则 A B A ，如图①； （2）若 B A ，则 A B B ，如图②； ① ② ③ （3）若 A B ，则 A B A （ A B B ），如图③； （4）若 A 与 B 相交，则 A B  图④中的阴影部分； （5）若 A 与 B 相离，则 A B   ，如图⑤。 ④ ⑤ 六：全集与补集： 1、全集的概念： 如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集， 全集通常用U 表示。 2、补集的概念： 一般地，设U 是一个集合， A 是U 的一个子集（即 A U ），由U 中所有不属于 A 的元素组 成的集合，叫做U 中子集 A 的补集（或余集）。 记作：∁UA；读作： A 在U 中的补集； 符号语言表达式为：∁UA  ,x x U x A  且 ； 韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）： 类型一 子集、真子集的概念 例 1：已知集合 M 满足{1,2} ⊆ M {1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合 M. 解析：由条件知，集合 M 中一定有元素 1,2，可能含有 3,4,5 中的部分数．故满足条件的集合 M 可以是：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5} 答案：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5} 练习 1：写出满足{3,4} P ⊆ {0,1,2,3,4}的所有集合 P. 答案：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}． 练习 2： (2014～2015 学年度重庆一中高一上学期期中测试)以下表示正确的是( ) A．∅＝0 B．∅＝{0} C．∅∈{0} D．∅ ⊆ {0} 答案：D 类型二 集合相等关系的应用 例 2：已知集合{x2，x＋y,0}＝{x，y x ，1}，求 x2 015＋y2 015 的值为________． 解析：由题意知，0∈{x，y x ，1}， 又∵x≠0，∴y＝0. ∴集合{x2，x＋y,0}＝{x2，x,0}． 又 1∈{x2，x,0}，且 x≠1，∴x2＝1，∴x＝－1. 故 x2 015＋y2 015＝(－1)2 015＋02 015＝－1. 答案：-1 练习 1：已知集合 A＝{2，a，b}，集合 B＝{2a,2，b2}，若 A＝B，求 a、b 的值． 4 答案： a＝0 b＝1 或 a＝1 4 b＝1 2 . 练习 2：将下列两集合相等的组的序号填在横线上 。 1     2 , , 2 1 ,P x x n n Z Q x x n n Z       ； 2    2 1, , 2 1,P x x n n N Q x x n n N         3    2 1 10 , ,2 n P x x x Q x x n Z              答案：①③ 类型三 由集合关系求参数取值范围 例 3：已知集合 A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－16}．