高考数学复习练习第2部分专题一第二讲数学思想专练(二) 5页

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2021-06-15 发布

高考数学复习练习第2部分专题一第二讲数学思想专练(二)

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‎[数学思想专练(二)]‎ 一、选择题 ‎1．不等式x2－logax<0，在x∈时恒成立，则a的取值范围是(　　)‎ A．01 D．00，b>0)，当ab取最小值时，方程－x＝的实数解的个数是________．‎ 解析：＝≤·2＝，当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，则方程1－x＝，在同一坐标系作出y1＝－(x－1)和y2＝的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为1.‎ 答案：1‎ ‎9．已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：‎ ‎①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<.‎ 其中正确命题的序号是________．‎ 解析：如图所示，作出函数f(x)的图像，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，而a>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在上的最小值为f＝‎2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故④正确．‎ 综上，正确的命题有①③④.‎ 答案：①③④‎ 三、解答题 ‎10．设有函数f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．‎ 解：f(x)≤g(x)，‎ 即a＋≤x＋1，‎ 变形得≤x＋1－a，令y＝，　①‎ y＝x＋1－a，　②‎ ‎①变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；‎ ‎②表示斜率为，纵截距为1－a的平行直线系．‎ 设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为α，则有tan α＝，0<α<，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝，‎ ‎|OA|＝2tan＝2·＝‎ ‎2·＝＝6.‎ 要使f(x)≤g(x)在x∈[－4,0]恒成立，则②所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1－a≥6，即a≤－5.‎ 所以实数a的取值范围是(－∞，－5]．‎ ‎11．已知a>0，函数f(x)＝x|x－a|＋1(x∈R)．‎ ‎(1)当a＝1时，求所有使f(x)＝x成立的x的值；‎ ‎(2)当a∈(0,3)时，求函数y＝f(x)在闭区间[1,2]上的最小值．‎ 解：(1)因为x|x－1|＋1＝x，‎ 所以x＝－1或x＝1.‎ ‎(2)f(x)＝ ‎(其示意图如图所示)‎ ‎①当00，所以当x＝1时，g(x)取极小值g(1)＝.‎ ‎(1)当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有4个解；‎ ‎(2)当a<0时，因为f′(x)＝‎3a(x2－1)，‎ 若x∈(－∞，0]时，f′(x)＝‎3a(x2－1)，当x∈(－1,0]时，f′(x)>0，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝‎2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图像如图(1)所示，从图像可以看出F(x)＝a2不可能有4个解．‎ ‎　　　　　图(1)　　　　　　图(2)‎ ‎(3)当a>0时，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1,0]时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝‎2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图像如图(2)所示，从图像看出方程F(x)＝a2若有4个解，则

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