2020学年高二数学上学期第一次大考试题 理 人教新目标版 9页

‎2019学年度第一学期第一次大考 高二级理科数学试卷 考试时间：120分钟，满分：150分 参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ‎，.‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.请把答案填写在答题卷中）.‎ ‎1．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(　　)‎ A．30 B．25 C．20 D．15‎ ‎2．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为cm的圆，中间有边长为cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．在中，,,，则边的长为（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎5．已知与之间的几组数据如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为．若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．源:学 ‎6．用三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都不 同的概率是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，‎ 若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．x甲>x乙；乙比甲成绩稳定 B．x甲>x乙；甲比乙成绩稳定 C．x甲S ‎ S=S+5 ‎ n=n+2 ‎ T=T+n ‎ 输出T ‎ 结束 ‎ 是 ‎ 否 ‎ ‎:二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出高了 一个容量为的样本，其频率分布直方图如下图所示，‎ 其中高.考.资.支出在元的同学有人，则的值为 ．‎ ‎14．．执行右边的程序框图，输出的 .‎ ‎15．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排 一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）‎ ‎16．在中，设角的对边分别是，且，，‎ 则 ．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：‎ ‎（Ⅰ）3只全是红球的概率；‎ ‎（Ⅱ）3只颜色全相同的概率；‎ ‎（Ⅲ）3只颜色不全相同的概率．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ 若由资料知，对呈线性相关关系，试求：‎ ‎（Ⅰ）请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？‎ ‎（参考数据：）‎ 9‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 湛江统计局就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在）。‎ ‎（I）求居民月收入在的频率；‎ ‎（II）根据频率分布直方图估算出样本数据的平均数和中位数；‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知中，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若为边上一点，且的面积为，求的正弦值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知关于的不等式的解集为，且.‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求集合.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，且 . ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：.‎ 9‎ 高二级理科数学第一次大考考试参考答案 一、选择题答题卡（共12个小题，每小题5分，共60分）。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B B C B C C A A D A 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎ 13． 14. ． ‎ ‎15. 16. ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：‎ ‎（Ⅰ）3只全是红球的概率；（Ⅱ）3只颜色全相同的概率；（Ⅲ）3只颜色不全相同的概率．‎ 解法一：由于是有放回地取球，因此袋中每只球每次被取到的概率均为． ……2分 ‎（Ⅰ）3只全是红球的概率为P1＝··＝． ……5分 ‎（Ⅱ）3只颜色全相同的概率为P2＝2·P1＝2·＝． ……8分 ‎（Ⅲ）3只颜色不全相同的概率为P3＝1－P2＝1－＝． ……10分 解法二：利用树状图我们可以列出有放回地抽取3次球的所有可能结果：‎ ‎ ，． ……3分 由此可以看出，抽取的所有可能结果为8种．所以 ……4分 ‎（Ⅰ）3只全是红球的概率为P1＝． ……5分 ‎（Ⅱ）3只颜色全相同的概率为P2＝＝． ……8分 ‎（Ⅲ）3只颜色不全相同的概率为P3＝1－P2＝1－＝． ……10分 9‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ ‎4.4‎ ‎11.4‎ ‎22.0‎ ‎32.5‎ ‎42.0‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）依题列表如下： ‎ ‎．………………6分 ‎．‎ 回归直线方程为．………………8分 ‎（Ⅱ）当时，万元．‎ 即估计使用10年时,维修费约为万元．………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（I）月收入在的频率为 。……4分 ‎（II），，‎ ‎，‎ 在、、、、、的频率分别为、、、、、 ……………6分 平均数为：‎ ‎………………9分 ‎ ‎ ‎ 样本数据的中位数为（元）；…………12分 9‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）因，所以，由得，‎ ‎，…2分 ‎，‎ 所以，即.…5分 又因为，所以，从而得，‎ 所以.……6分 ‎（Ⅱ）由已知得，所以，……7分 在中，由余弦定理得，，‎ ‎，……10分 由正弦定理得，，故.……12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ），当时，有，即 ‎ ，即的取值范围是………………4分 ‎（Ⅱ） ……5分 ‎（由（1）知） ………………6分 又由知：……………………7分 当时，，则集合 …………9分 当时，原不等式解集为空集………………………………………10分 当时，，则集合……………………11分 综上所述：当时，集合；‎ 9‎ 当时，原不等式解集为空集；‎ 当时，，则集合.……………………12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）当时，.　 ……………………………1分 ‎ ‎　 当时，‎ ‎. ………………………………3分 ‎∵不适合上式,‎ ‎∴　　 …………………………………4分 ‎（Ⅱ）证明: ∵. 当时， ……………5分 当时，,　　　 ①‎ ‎.　 　②‎ ‎①－②得:‎ ‎　 　 ‎ 得， ‎ 此式当时也适合.‎ · ‎∴N.　　………………8分 · ‎　∵， ∴. ………9分 ‎ 当时，，…………10分 · ‎∴. ∵，∴.　 ………………11分 9‎ · 故，即. ‎ 综上，． ………………………………12分 9‎