高二数学教案：第6讲 椭圆（二） 12页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 椭圆（二）‎ 教学内容 ‎1. 掌握直线与椭圆的位置关系，并能够应用韦达定理解题；‎ ‎2. 会应用椭圆性质解决综合题目。‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1. 如何判断直线与椭圆的位置关系？‎ 直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离，判断直线与椭圆的位置关系，可以利用直线方程与椭圆方程联立，看联立后方程解的个数：‎ ‎（1），无解则相离；‎ ‎（2），一解则相切；‎ ‎（3），两解则相交。‎ ‎2. 直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题，直线与椭圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦，那么直线与椭圆相交的弦长公式是什么？‎ 直线与椭圆相交的弦长公式：.‎ ‎3. 设直线与椭圆相交于、两点，设的中点为，用中点的坐标，表示直线AB的斜率. ‎ ‎4. 练习：‎ ‎（1） 椭圆上的点到直线的最大距离是 （ ） ‎ ‎ A．3 B． C． D．‎ 答案：D ‎（2）已知椭圆：，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，求弦的长。‎ 由题意知：与联立消去得：。‎ 设、，则是上面方程的二实根，由违达定理，，，‎ 又因为都是直线上的点，‎ 所以 ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 已知椭圆的焦点为、，在直线上找一点.求以、为焦点，通过点且长轴最短的椭圆方程. ‎ 解：方法一：由已知可得和.‎ ‎ 设椭圆方程.‎ ‎ 联立方程，整理得.‎ ‎ 由得.‎ ‎ 不难判断椭圆长轴最短就是椭圆与直线的公共点到两焦点、的距离和最小.‎ ‎ 所以直线应与椭圆相切，当且仅当△=0.‎ ‎ ，即.‎ ‎ ∴和（舍去）.‎ ‎ ∴.‎ ‎ 方法二：由椭圆长轴最短得最小，即直线上的点使最小.‎ ‎ 根据平面几何的对称原理知的最小值是的长，‎ 其中是关于直线的对称点，‎ 不妨设，‎ 由与关于轴对称，‎ 则有解得，即.‎ 则所求椭圆长轴=即.‎ ‎∴，.‎ 椭圆方程为.‎ 试一试：已知点是交点在轴上的椭圆上一点，点到两焦点、的距离分别是和，的平分线交轴于点.求椭圆的标准方程.‎ ‎【答案】.‎ 例2. 已知直线与椭圆交于两点，是中点，为原点。‎ ‎（I）当直线与直线平行（不重合）时，求直线的斜率；‎ ‎（II）若，证明，并求线段长取最大值时，直线的方程 解析：（I）令，则： ‎ ‎ 两式相减得 ‎（II）由 时 ‎ 此时 试一试：已知直线交椭圆（）于两点，为中点，求证 ‎【解析】：设，中点 代入方程，得 两式相减，得 由于为中点，有，‎ 两边同除以，得 即， ‎ 例3. 已知椭圆，左右焦点分别为，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形，直线经过点，倾斜角为，与椭圆交于两点．‎ ‎（1）若，求椭圆方程；‎ ‎（2）对（1）中椭圆，求的面积；‎ ‎（3）是椭圆上任意一点，若存在实数，使得，试确定的关系式．‎ 解（1）由已知，可得，， ‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴. ‎ ‎ （2）设，，直线， ‎ 代入椭圆方程得，，，‎ ‎，， ‎ ‎∴.‎ ‎ （3）由已知椭圆方程为 ①， ‎ 右焦点的坐标为， ‎ ‎ 直线所在直线方程为 ②， ‎ ‎ 由①②得：，‎ 设，，则，，‎ 设，由得，‎ ‎，， ‎ ‎∵点在椭圆上，‎ ‎∴，‎ 整理得：，‎ ‎ ③，‎ ‎ 又点在椭圆上，故 ④， ⑤，‎ ‎ 由③④⑤式得．‎ 试一试：已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点是椭圆上一动点，求直线的中点的轨迹方程；‎ ‎（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，探究：直线是否过定点，并说明理由．‎ ‎【正确答案】‎ ‎（1）由已知可得，， ‎ ‎ 所求椭圆方程为． ‎ ‎（2）设点，的中点坐标为，‎ ‎ 则 ‎ 由，得，代入上式 ‎ 得 ‎ ‎（3）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．‎ 设，，‎ 由 得． ‎ 则，． ‎ 由已知，‎ 所以，‎ 即． ‎ 所以，整理得．‎ 故直线的方程为，，即．‎ 所以直线过定点． ‎ 若直线的斜率不存在，设方程为，‎ 设，，‎ 由已知，‎ 得．此时方程为，显然过点．‎ 综上，直线过定点． ‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.‎ ‎【答案】：设A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 则+=1， ①‎ ‎+=1. ②‎ ‎①－②，得 ‎+=0.‎ ‎∴=－·.‎ 又∵M为AB中点，‎ ‎∴x1+x2=2，y1+y2=2.‎ ‎∴直线l的斜率为－.‎ ‎∴直线l的方程为y－1=－（x－1），‎ 即3x+4y－7=0.‎ ‎2. 已知椭圆. ‎ ‎（1）若它的弦被平分，求所在直线方程；‎ ‎（2）求过点的弦的中点的轨迹方程.‎ 解：（1）方法一（参数法）：设直线的方程为.‎ ‎ 由得.‎ 设、，‎ 则.‎ ‎ 因为为中点，‎ ‎ 则.‎ ‎ 解得，代入.‎ ‎ 则的方程为.‎ ‎ ‎ ‎ 方法二（点差法）：设、，而他们都在椭圆上，‎ 则.‎ 两式做差得：.‎ 整理得.‎ 又为中点，‎ ‎∴，.‎ 代入得.‎ 即直线斜率为.‎ ‎ 所以直线方程为.‎ ‎ （2）设、，中点，‎ ‎ 则.‎ ‎ 两式做差得，‎ ‎ 整理得.‎ ‎ 又为中点，‎ ‎ ∴，.‎ ‎ 又四点共线，‎ ‎ 则.‎ ‎ ∴.‎ ‎ 整理得.‎ ‎ 的轨迹方程为.‎ ‎3. 已知直线交椭圆于两点，,求椭圆方程。‎ ‎【答案】：设椭圆方程为 ‎ 整理得： ①‎ 设 方程①变形为：‎ ‎ 有得，‎ 所以椭圆方程为 ‎ ‎ 本节课主要知识点：直线与椭圆的位置关系，点差法的应用 ‎【巩固练习】‎ ‎1. 已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．‎ ‎（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；‎ ‎（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．‎ 解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．‎ 设两点坐标分别为．‎ 由 得．‎ 所以．‎ 又因为边上的高等于原点到直线的距离．‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）设所在直线的方程为，‎ 由得．‎ 因为在椭圆上，所以．‎ 设两点坐标分别为，则，，‎ 所以．‎ 又因为的长等于点到直线的距离，即．‎ 所以．‎ 所以当时，边最长，（这时）‎ 此时所在直线的方程为．‎ ‎2. 如图所示，点分别是椭圆长轴的左右端点，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且位于轴上方，‎ ‎（1）求点的坐标 ‎（2）设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值。‎ ‎【答案】：（1）设，由点在椭圆上，且位于轴上方，，，‎ 则 因为位于轴上方，故 ‎（2）直线方程为，设点，则到直线的距离为，于是，又，解得 ‎ 设椭圆上的点到点的距离为，则 ‎ ‎ ‎ 由于，故当时，取最小值 ‎【预习思考】‎ ‎1. 双曲线的定义：‎ ‎2. 双曲线的图像与性质：‎ 图像 x y O 标准方程 范围 ‎ ‎ 顶点 ‎ ‎ 对称性 ‎ ‎ 焦点 ‎ ‎ ‎，，的意义 ‎ ‎ 渐近线 ‎ ‎