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  • 2021-06-15 发布

北京市延庆区2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

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延庆区2018—2019学年度模拟考试试卷 ‎ 高三数学(理科) 2019年3月 本试卷共5页,满分150分,考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合,集合,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2.“”是“方程表示双曲线”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎3. 已知,令,,,那么之间的大小关系为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎4.函数在区间上的零点之和是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎5.已知数列中,,若利用下面程序框图计算该数列的第2019项,则判断框内的条件是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎6. 已知曲线(为参数),若曲线上存在点为曲线上一点,则实数 ‎ 的取值范围为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎7. 已知一个正四面体的底面积为,那么它的正视图(如右图)的面积为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎8.‎ ‎名运动员参加一次乒乓球比赛,每名运动员都赛场并决出胜 ‎ 负.设第位运动员共胜场,负场(),则错误的 ‎ 结论是 ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)为定值,与各场比赛的结果无关 ‎(D)为定值,与各场比赛结果无关 ‎ 第Ⅱ卷(非选择题)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎ 9. 已知等比数列的公比为,若,则_____.‎ ‎ 10. 设为虚数单位,如果复数满足,那么的虚部为____.‎ ‎ 11. 如右图,正方形中,为的中点,若,则的值为_____.‎ ‎ 12. 设是定义在上的单调递减函数,能说明“一定存在使得”为假命题 ‎ 的一个函数是_____.‎ ‎13. 已知,设,则_____.‎ ‎14. 已知集合 ,集合满足 ‎ ① 每个集合都恰有7个元素 ; ② .集合中元素的最大值与最小值之和称 ‎ ‎ 为集合的特征数,记为(),则 的最大值与最小值的和为 .‎ 三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.‎ ‎15.(本小题满分13分)‎ ‎ 如图,在中,点在边上,,,.‎ A D B C ‎(Ⅱ)若, 求的长及的面积.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ ‎ 2020年我国全面建成小康社会,其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米. 下表为2007年—2016年中,我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据. 单位:平方米.‎ ‎2007年 ‎2008年 ‎2009年 ‎2010年 ‎2011年 ‎2012年 ‎2013年 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 城镇 ‎18.66‎ ‎20.25‎ ‎22.79‎ ‎25‎ ‎27.1‎ ‎28.3‎ ‎31.6‎ ‎32.9‎ ‎34.6‎ ‎36.6‎ 农村 ‎23.3‎ ‎24.8‎ ‎26.5‎ ‎27.9‎ ‎30.7‎ ‎32.4‎ ‎34.1‎ ‎37.1‎ ‎41.2‎ ‎45.8‎ ‎(Ⅰ)现从上述表格中随机抽取连续两年数据,求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2 ‎ ‎ 平方米的概率; ‎ ‎(Ⅱ)在给出的10年数据中,随机抽取三年,记为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人 ‎ ‎ 均住房建筑面积4平方米的年数,求的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据.记2012—2016年中城镇人均住房面积的方差为,农村人均住房面积的方差为,判断与的大小.(只需写出结论).‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ ‎ 如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,,, 分别为的中点,点在线段上.‎ F C ‎ A ‎ D P M B E ‎(Ⅰ)求证:直线平面;‎ ‎(Ⅱ)若为的中点,求平面与平面 ‎ 所成二面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)设,当为何值时,直线与平面 ‎ ‎ 所成角的正弦值为,求的值.‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ ‎ 已知函数在点处的切线与直线平行.‎ ‎(Ⅰ)求的值; ‎ ‎(Ⅱ)令,求函数的单调区间.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知椭圆G:,左、右焦点分别为、,若点在椭圆上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与椭圆交于两个不同的点,,直线, ‎ ‎ 与轴分别交于,两点,求证:.‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ 已知集合.‎ 对于,定义与之间的距离为.‎ ‎(Ⅰ),写出所有的;‎ ‎(Ⅱ)任取固定的元素,计算集合中元素个数;‎ ‎(Ⅲ)设,中有个元素,记中所有不同元素间的距离的最小值为.‎ ‎ 证明: .‎ 延庆区2018—2019学年度一模统一考试答案 数学(理科) 2019.3 ‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C A A B C B D D 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分)‎ ‎9. ‎ ‎10. ‎ ‎11. ‎ ‎12. ‎ ‎13. ‎ ‎14.‎‎132‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎15.(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)因为, 所以,………………………1分 ‎ …………………2分 ‎ 又因为,所以,…………………3分 ‎ …………5分 ‎ . ……………7分 ‎(Ⅱ)在中,由,…………9分 ‎ 得.…………11分 ‎ ‎ …………12分 ‎ 所以. …………13分 ‎16.(本小题满分13分)‎ ‎(Ⅰ)随机抽取连续两年数据:共9次。…………………1分 ‎ 两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米:共5次。…………………2分 设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件,‎ 因此 …………………3分 ‎(Ⅱ) 所有可能的取值为:0,1,2,3 …………………4分 ‎ …………………8分 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ …………………10分 ‎ …………………11分 ‎(Ⅲ) …………………13分.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)证明:在平行四边形中,因为,,所以.‎ ‎ 由分别为的中点,得, ‎ ‎ 所以. ………………1分 ‎ 因为侧面底面,且,面面 ‎ 且面 所以底面. ………………3分 ‎ 又因为底面,所以. ………………4分 ‎ 又因为,平面,平面, ‎ ‎ 所以平面. ………………5分 ‎ ‎(Ⅱ)解:因为底面,,所以两两垂直,故以 ‎ 分别为轴、轴和轴,建立空间直角坐标系,‎ ‎ 则, ………………6分 ‎ 设平面的法向量为,‎ ‎ 由,,得 ‎ 令, 得. ………………7分 ‎ 为的中点,由(1)知,平面 且, ………8分 ‎ 所以, ………………9分 ‎ 平面与平面所成二面角的余弦值;………………10分 ‎(Ⅲ)‎ ‎ 设,则,‎ ‎ 所以, ………………11分 ‎ ,………………12分 ‎ 由(1)知. 直线与平面所成的角正弦值为 ‎ 所以,即, ………………13分 ‎ 解得. 或 (舍) ………………14分 ‎18.(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ) ………1分 ‎ ………2分 在点处的切线与直线平行 ‎ 解得 ………4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ………5分 函数的定义域是, ………6分 所以,…………7分 令, …………8分 又,…………9分 有恒成立 故在上为增函数, ‎ 由, ‎ 所以函数是上单调递减. …………… 11分 ‎ 有恒成立 故在上为减函数, ‎ 由, ‎ 所以函数是上单调递减. …………… 13分 ‎ 综上, 在 和 单调递减 ‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ)在椭圆上 ‎ 由 ‎ 解得 ………………3分 所以,椭圆的标准方程为 ………………4分 ‎ ‎ ‎(Ⅱ)由得.………………5分 ‎ 因为直线与椭圆有两个交点,并注意到直线不过点, ‎ 所以解得或.……………6分 设,,则,,……………8分 ‎,.……………10分 显然直线与的斜率存在,设直线与的斜率分别为,,‎ 由(Ⅰ)可知 则 ……………11分 ‎.‎ 因为,所以. ……………13分 ‎ 所以. ………………14分 ‎20.(本小题满分13分)‎ 解 (Ⅰ) …………………4分 ‎(Ⅱ)当时,…………………5分 ‎ 当时, …………………6分 ‎ 写出,…………………7分 ‎ 特别的,. ‎ ‎ 所以 元素个数为 …………………8分 ‎(Ⅲ)记,‎ ‎ 我们证明.一方面显然有.另一方面,且,‎ ‎ 假设他们满足.则由定义有,‎ ‎ 与中不同元素间距离至少为相矛盾.‎ ‎ 从而.‎ ‎ 这表明中任意两元素不相等.从而.‎ ‎ 又中元素有个分量,至多有个元素.‎ ‎ 从而.证毕.…………………13分