人教a版高中数学选修1-1课时提升作业（十九）3-1-3导数的几何意义探究导学课型word版含答案 8页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(十九) 导数的几何意义 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.曲线 y=x3-3x 在点(2,2)的切线斜率是 ( ) A.9 B.6 C.-3 D.-1 【解析】选 A.Δy=(2+Δx)3-3(2+Δx)-23+6=9Δx+6(Δx)2+(Δx)3, =9+6Δx+(Δx)2, = (9+6Δx+(Δx)2)=9, 由导数的几何意义可知,曲线 y=x3-3x 在点(2,2)处的切线斜率是 9. 2.曲线 f(x)=3x+x2 在点(1,f(1))处的切线方程为 ( ) A.y=5x-1 B.y=-5x+1 C.y= x+1 D.y=- x-1 【解析】选 A.k= =5. f(1)=4.由点斜式得 y-4=5(x-1),即 y=5x-1. 3.下面说法正确的是 ( ) A.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线 B.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则 f′(x0)必存在 C.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则 f′(x0)有可能存在 【解析】选 C.f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,当切线垂直于 x 轴时,切线的斜率不存在,但存在切线. 【补偿训练】曲线 y= x3-2 在点 处切线的倾斜角为 ( ) A.30° B.45° C.135° D.60° 【解析】选 B.Δy= (-1+Δx)3-2- ×(-1)3+2=Δx-(Δx)2+ (Δx)3, =1-Δx+ (Δx)2, = =1, 所以曲线 y= x3-2 在点 处切线的斜率是 1,倾斜角为 45°. 4.(2015·武汉高二检测)已知曲线 y= 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为 , 则直线 l 的方程为 ( ) A.4x-y+9=0 B.4x-y+9=0 或 4x-y+25=0 C.4x+y+9=0 或 4x+y-25=0 D.以上均不对 【解析】选 C.y′= =-4,所以 k=-4,所以切线方程为 y-4=-4(x-1),即 4x+y-8=0, 设 l:4x+y+c=0(c≠-8),由题意 = , 所以 c=9 或-25. 5.(2015·丽水高二检测)已知曲线 y= x2-2 上一点 P ,则在点 P 处的切线的倾斜角 为 ( ) A.30° B.45° C.135° D.150° 【解析】选 B.在点 P 处的切线的斜率 k=f′(1) = = = = =1. 设切线的倾斜角为α,则 tanα=1, 又 0°≤α≤180°,所以α=45°. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.若抛物线 y=x2 与直线 2x+y+m=0 相切,则 m=________. 【解析】设切点为 P(x0,y0),易知,y′=2x. 由 得 即 P(-1,1). 又 P(-1,1)在直线 2x+y+m=0 上, 故 2×(-1)+1+m=0,即 m=1. 答案:1 7.曲线 y=x2-3x 的一条切线的斜率为 1,则切点坐标为________. 【解析】设 f(x)=y=x2-3x,切点坐标为(x0,y0), f′(x0)= = =2x0-3=1, 故 x0=2,y0= -3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2). 答案:(2,-2) 8.(2015·惠州高二检测)如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8, 则 f(5)+f′(5)=________. 【解析】因为点 P 在切线上,所以 f(5)=-5+8=3, 又因为 f′(5)=k=-1, 所以 f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.在曲线 E:y=x2 上求出满足下列条件的点 P 的坐标. (1)在点 P 处与曲线 E 相切的直线平行于直线 y=4x-5. (2)在点 P 处与曲线 E 相切的直线与 x 轴成 135°的倾斜角. 【解析】f′(x)= = =2x,设 P(x0,y0)为所求的点. (1)因为切线与直线 y=4x-5 平行,所以 2x0=4,x0=2,y0=4,即 P(2,4). (2)因为切线与 x 轴成 135°的倾斜角,所以其斜率为-1,即 2x0=-1,得 x0=- , 即 y0= ,即 P . 10.(2015·天水高二检测)已知曲线 C:y= 经过点 P(2,-1),求 (1)曲线在点 P 处的切线的斜率. (2)曲线在点 P 处的切线的方程. (3)过点 O(0,0)的曲线 C 的切线方程. 【解析】(1)将 P(2,-1)代入 y= 中得 t=1, 所以 y= .所以 = = = , 所以 = , 所以曲线在点 P(2,-1)处切线的斜率为 k= =1. (2)曲线在点 P 处的切线方程为 y+1=x-2,即 x-y-3=0. (3)因为点 O(0,0)不在曲线 C 上,设过点 O 的曲线 C 的切线与曲线 C 相切于点 M(x0,y0),则切 线斜率 k= = , 由于 y0= ,所以 x0= ,所以切点 M ,切线斜率 k=4,切线方程为 y-2=4 ,即 y=4x. 【补偿训练】试求过点 P(1,-3)且与曲线 y=x2 相切的直线的斜率. 【解析】设切点坐标为(x0,y0),则有 y0= . 因为 y′= 了 = =2x. 所以 k=2x0. 所以切线方程为 y- =2x0(x-x0), 将点(1,-3)代入,得:-3- =2x0-2 , 所以 -2x0-3=0,所以 x0=-1 或 x0=3. 当 x0=-1 时,k=-2;当 x0=3 时,k=6. 所以所求直线的斜率为-2 或 6. (20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.设 f(x)为可导函数且满足 =-1,则过曲线 y=f(x)上点(1,f(1))处的切 线斜率为( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 【解析】选 B. = = =f′(1)=-1. 【补偿训练】(2015·聊城高二检测)设函数 f(x)满足 =-1,则曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线的斜率是 ( ) A.2 B.-1 C. D.-2 【解析】选 B.因为 = =f′(1)=k=-1,所以 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的 斜率是-1. 2.(2015·贵阳高二检测)已知函数 y=f(x)的图象如图,f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是 ( ) A.0>f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)f′(xB)>0 【解析】选 B.f′(xA)和 f′(xB)分别表示函数图象在点 A,B 处的切 线斜率,故 f′(xA)f′(xB) B.f′(xA)=f′(xB) C.f′(xA)kB,根据导数的几何意义 有:f′(xA)> f′(xB). 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.函数 y=f(x)= 在 x=1 处的切线方程为________. 【解析】f(1)= =1,f′(1)= = = =-1, 则切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0. 答案:x+y-2=0 4.(2015·南京高二检测)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x), f′(0)>0,对于任意实数 x,有 f(x)≥0,则 的最小值为________. 【解题指南】由导数的定义,先求出 f′(0)的值,从而求出 的表达式,再利用“对于任意 实数 x,有 f(x)≥0”这一条件,借助不等式的知识即可求解. 【解析】由导数的定义,得 f′(0)= = = =b. 又因为对于任意实数 x,有 f(x)≥0, 则 所以 ac≥ ,所以 c>0. 所以 = ≥ ≥ =2. 答案:2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.直线 l:y=x+a(a≠0)和曲线 C:y=x3-x2+1 相切. (1)求切点的坐标. (2)求 a 的值. 【解析】(1)设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0,y0)点,则 f′(x)= = =3x2-2x. 由题意知,k=1,即 3 -2x0=1,解得 x0=- 或 x0=1. 于是切点的坐标为 或(1,1). (2)当切点为 时, =- +a,a= ; 当切点为(1,1)时,1=1+a,a=0(舍去). 所以 a 的值为 . 【补偿训练】设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行,求 a 的值. 【解析】因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0) =(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-( +a -9x0-1) =(3 +2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3, 所以 =3 +2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2. 当Δx 无限趋近于零时, 无限趋近于 3 +2ax0-9,即 f′(x0)=3 +2ax0-9, 所以 f′(x0)=3 -9- . 当 x0=- 时,f′(x0)取最小值-9- .因为斜率最小的切线与 12x+y=6 平行,所以该切线斜率为 -12,所以-9- =-12. 解得 a=±3.又 a<0,所以 a=-3. 6.(2015·厦门高二检测)试求过点 M(1,1)且与曲线 y=x3+1 相切的直线方程. 【解析】 = = =3xΔx+3x2+Δx2. =3x2,因此 y′=3x2,设过(1,1)点的切线与 y=x3+1 相切于点 P(x0, +1),据导数的几 何意义,函数在点 P 处的切线的斜率为 k=3 ①, 过(1,1)点的切线的斜率 k= ②, 所以 3 = ,解得 x0=0 或 x0= ,所以 k=0 或 k= ,因此 y=x3+1 过点 M(1,1)的切线方程有 两个,分别为 y-1= (x-1)和 y=1,即 27x-4y-23=0 或 y=1. 【误区警示】本题易错将点(1,1)当成了曲线 y=x3+1 上的点.因此在求过某点的切线时,一定 要先判断点是否在曲线上,再据不同情况求解. 【补偿训练】若抛物线 y=4x2 上的点 P 到直线 y=4x-5 的距离最短,求点 P 的坐标. 【解题指南】抛物线上到直线 y=4x-5 的距离最短的点,是平移该直线与抛物线相切时的切点. 解答本题可先求导函数,再求 P 点的坐标. 【解析】由点 P 到直线 y=4x-5 的距离最短知,过点 P 的切线方程与直线 y=4x-5 平行. 设 P(x0,y0),则 y′= = = = (8x+4Δx)=8x, 由 得 故所求的 P 点坐标为 . 【拓展延伸】求最值问题的两种方法 (1)目标函数法:通过设变量构造目标函数,利用函数求最值. (2)数形结合法:根据问题的几何意义,利用图形的特殊位置求最值. 关闭 Word 文档返回原板块