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- 2021-06-15 发布
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（数学选修 1-1）第一章 常用逻辑用语
[基础训练 A 组]
一、选择题
1．下列语句中是命题的是（ ）
A．周期函数的和是周期函数吗？ B．
0sin 45 1
C．
2 2 1 0x x D．梯形是不是平面图形呢？
2．在命题“若抛物线
2y ax bx c 的开口向下，则 2| 0x ax bx c ”的
逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）
A．都真 B．都假 C．否命题真 D．逆否命题真
3．有下述说法：① 0a b 是
2 2a b 的充要条件. ② 0a b 是
ba
11
的充要条件.
③ 0a b 是
3 3a b 的充要条件.则其中正确的说法有（ ）
A．0 个 B．1个 C． 2 个 D．3个
4．下列说法中正确的是（ ）
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“ a b ”与“ a c b c ”不等价
C．“
2 2 0a b ,则 ,a b全为0 ”的逆否命题是“若 ,a b全不为0 , 则
2 2 0a b ”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
5．若 : , 1A a R a , :B x的二次方程
2 ( 1) 2 0x a x a 的一个根大于零,
另一根小于零,则 A是 B的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知条件 : 1 2p x ，条件
2: 5 6q x x ，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
1．命题：“若 a b 不为零，则 ,a b都不为零”的逆否命题是 。
2． 1 2: ,A x x 是方程
2 0( 0)ax bx c a 的两实数根； 1 2: bB x x
a
,
则 A 是 B的 条件。
3．用“充分、必要、充要”填空：
① p q 为真命题是 p q 为真命题的_____________________条件；
② p 为假命题是 p q 为真命题的_____________________条件；
③ : 2 3A x ,
2: 4 15 0B x x , 则 A 是 B的___________条件。
4．命题“
2 2 3 0ax ax 不成立”是真命题，则实数 a的取值范围是_______。
5．“ a b Z ”是“
2 0x ax b 有且仅有整数解”的__________条件。
三、解答题
1．对于下述命题 p，写出“ p ”形式的命题，并判断“ p”与“ p ”的真假：
（1） :p 91 ( )A B （其中全集
*U N ， |A x x 是质数 ， |B x x 是正奇数 ）.
（2） :p 有一个素数是偶数；.
（3） :p 任意正整数都是质数或合数；
（4） :p 三角形有且仅有一个外接圆.
2．已知命题 ),0(012:,64: 22 aaxxqxp 若非 p是 q的充分不必要条件，求 a
的取值范围。
3．若
2 2 2a b c ，求证： , ,a b c不可能都是奇数。
4．求证：关于 x 的一元二次不等式
2 1 0ax ax 对于一切实数 x 都成立的充要条件是
0 4a
新课程高中数学测试题组
（数学选修 1-1）第一章 常用逻辑用语
[综合训练 B 组]
一、选择题
1．若命题“ p q ”为假，且“ p ”为假，则（ ）
A． p或 q为假 B． q假
C． q真 D．不能判断 q的真假
2．下列命题中的真命题是（ ）
A． 3 是有理数 B．
22 是实数
C． e是有理数 D． |x x是小数 R
3．有下列四个命题：
①“若 0x y , 则 ,x y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若 1q ,则
2 2 0x x q 有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题为（ ）
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
4．设 a R ，则 1a 是
1 1
a
的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．命题：“若
2 2 0( , )a b a b R ，则 0a b ”的逆否命题是（ ）
A．若 0( , )a b a b R ，则
2 2 0a b
B．若 0( , )a b a b R ，则
2 2 0a b
C．若 0, 0( , )a b a b R 且 ，则
2 2 0a b
D．若 0, 0( , )a b a b R 或 ，则
2 2 0a b
6．若 ,a b R ,使 1a b 成立的一个充分不必要条件是( )
A． 1a b B． 1a C． 0.5, 0.5a b 且 D． 1b
二、填空题
1．有下列四个命题：
①、命题“若 1xy ，则 x， y互为倒数”的逆命题；
②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若 1m ，则 022 mxx 有实根”的逆否命题；
④、命题“若 A B B ，则 A B ”的逆否命题。
其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）。
2．已知 ,p q都是 r的必要条件， s是 r的充分条件, q是 s的充分条件，
则 s是 q的 ______条件， r是 q的 条件， p是 s的 条件.
3．“△ ABC中,若
090C ,则 ,A B 都是锐角”的否命题为 ；
4．已知 、 是不同的两个平面，直线 ba 直线, ，命题 bap 与: 无公共点；
命题 //:q ， 则 qp是 的 条件。
5．若“ 2,5x 或 | 1 4x x x x 或 ”是假命题，则 x的范围是___________。
三、解答题
1．判断下列命题的真假：
（1）已知 , , , ,a b c d R 若 , , .a c b d a b c d 或 则
（2）
3 2,x N x x
（3）若 1,m 则方程
2 2 0x x m 无实数根。
（4）存在一个三角形没有外接圆。
2．已知命题
2: 6, :p x x q x Z 且“ p q且 ”与“非 q”同时为假命题，求 x的值。
3．已知方程
2 2(2 1) 0x k x k ,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件。
4．已知下列三个方程：
2 2 2 24 4 3 0, ( 1) 0, 2 2 0x ax a x a x a x ax a 至少
有一个方程有实数根，求实数 a的取值范围。
新课程高中数学测试题组
（数学选修 1-1）第一章 常用逻辑用语
[提高训练 C 组]
一、选择题
1．有下列命题：① 2004 年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；
③梯形不是矩形；④方程
2 1x 的解 1x 。其中使用逻辑联结词的命题有（ ）
A．1个 B． 2 个 C．3个 D． 4 个
2．设原命题：若 2a b ，则 ,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题
的真假情况是（ ）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
3．在△ ABC中，“ 30A ”是“
2
1sin A ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．一次函数
n
x
n
my 1
的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ）
A． 1, 1m n 且 B． 0mn C． 0, 0m n 且 D． 0, 0m n 且
5．设集合 | 2 , | 3M x x P x x ,那么“ x M ,或 x P ”是“ x M P ”的
（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．命题 :p 若 ,a b R ，则 1a b 是 1a b 的充分而不必要条件；
命题 :q 函数 1 2y x 的定义域是 , 1 3, ，则（ ）
A．“ p或 q”为假 B．“ p且 q”为真
C． p真 q假 D． p假 q真
二、填空题
1．命题“若△ ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题
是 ；
2．用充分、必要条件填空：① 1, 2x 且y 是 3x y 的
② 1, 2x 或y 是 3x y 的
3.下列四个命题中
①“ 1k ”是“函数
2 2cos siny kx kx 的最小正周期为 ”的充要条件；
②“ 3a ”是“直线 2 3 0ax y a 与直线3 ( 1) 7x a y a 相互垂直”的充要条件；
③ 函数
3
4
2
2
x
xy 的最小值为 2
其中假命题的为 （将你认为是假命题的序号都填上）
4．已知 0ab ，则 1 ba 是 02233 baabba 的__________条件。
5．若关于 x的方程
2 2( 1) 2 6 0x a x a .有一正一负两实数根，
则实数a的取值范围________________。
三、解答题
1．写出下列命题的“ p ”命题：
（1）正方形的四边相等。
（2）平方和为0 的两个实数都为0 。
（3）若 ABC 是锐角三角形， 则 ABC 的任何一个内角是锐角。
（4）若 0abc ，则 , ,a b c中至少有一个为0 。
（5）若 ( 1)( 2) 0, 1 2x x x x 则 且 。
2．已知
1: 1 2
3
xp
； )0(012: 22 mmxxq 若 p 是 q 的必要非充分条
件，求实数m的取值范围。
3．设0 , , 1a b c ，
求证： (1 ) , (1 ) , (1 )a b b c c a 不同时大于
4
1
.
4.命题 :p 方程
2 1 0x mx 有两个不等的正实数根，
命题 :q 方程
24 4( 2) 1 0x m x 无实数根。若“ p或 q”为真命题，求m的取值范围。
（数学选修 1-1）第二章 圆锥曲线
[基础训练 A 组]
一、选择题
1．已知椭圆 1
1625
22
yx
上的一点 P到椭圆一个焦点的距离为3，
则 P到另一焦点距离为（ ）
A． 2 B．3 C．5 D．7
2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6 ，则椭圆的方程为（ ）
A． 1
169
22
yx
B． 1
1625
22
yx
C． 1
1625
22
yx
或 1
2516
22
yx
D．以上都不对
3．动点 P到点 )0,1(M 及点 )0,3(N 的距离之差为 2 ，则点 P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
4．设双曲线的半焦距为 c，两条准线间的距离为 d ，且 dc ，
那么双曲线的离心率 e等于（ ）
A． 2 B．3 C． 2 D． 3
5．抛物线 xy 102 的焦点到准线的距离是（ ）
A．
2
5
B．5 C．
2
15
D．10
6．若抛物线
2 8y x 上一点P到其焦点的距离为9，则点 P的坐标为（ ）。
A． (7, 14) B． (14, 14) C． (7, 2 14) D． ( 7, 2 14)
二、填空题
1．若椭圆
2 2 1x my 的离心率为
3
2
，则它的长半轴长为_______________.
2．双曲线的渐近线方程为 2 0x y ，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。
3．若曲线
2 2
1
4 1
x y
k k
表示双曲线，则 k的取值范围是 。
4．抛物线 xy 62 的准线方程为＿＿＿＿＿.
5．椭圆 55 22 kyx 的一个焦点是 )2,0( ，那么 k 。
三、解答题
1． k为何值时，直线 2y kx 和曲线
2 22 3 6x y 有两个公共点？有一个公共点？
没有公共点？
2．在抛物线
24y x 上求一点，使这点到直线 4 5y x 的距离最短。
3．双曲线与椭圆有共同的焦点 1 2(0, 5), (0,5)F F ，点 (3, 4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的
一个交点，求渐近线与椭圆的方程。
4．若动点 ( , )P x y 在曲线
2 2
2 1( 0)
4
x y b
b
上变化，则
2 2x y 的最大值为多少？
（数学选修 1-1）第二章 圆锥曲线
[综合训练 B 组]
一、选择题
1．如果 222 kyx 表示焦点在 y轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是（ ）
A． ,0 B． 2,0 C． ,1 D． 1,0
2．以椭圆 1
1625
22
yx
的顶点为顶点，离心率为 2 的双曲线方程（ ）
A． 1
4816
22
yx
B． 1
279
22
yx
C． 1
4816
22
yx
或 1
279
22
yx
D．以上都不对
3．过双曲线的一个焦点 2F 作垂直于实轴的弦 PQ， 1F 是另一焦点，若∠
21
QPF ，
则双曲线的离心率 e等于（ ）
A． 12 B． 2 C． 12 D． 22
4． 21 ,FF 是椭圆 1
79
22
yx
的两个焦点， A为椭圆上一点，且∠
0
21 45FAF ，则
Δ 1 2AF F 的面积为（ ）
A．7 B．
4
7
C．
2
7
D．
2
57
5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆 096222 yxyx 的圆心的抛物线的
方程是（ ）
A． 23xy 或
23xy B． 23xy
C． xy 92 或
23xy D． 23xy 或 xy 92
6．设 AB为过抛物线 )0(22 ppxy 的焦点的弦，则 AB 的最小值为（ ）
A．
2
p
B． p C． p2 D．无法确定
二、填空题
1．椭圆
2 2
1
8 9
x y
k
的离心率为
1
2
，则 k的值为______________。
2．双曲线
2 28 8kx ky 的一个焦点为 (0,3)，则 k的值为______________。
3．若直线 2 yx 与抛物线 xy 42 交于 A、B两点，则线段 AB的中点坐标是______。
4．对于抛物线
2 4y x 上任意一点Q，点 ( ,0)P a 都满足 PQ a ，则 a的取值范围是____。
5．若双曲线 1
4
22
m
yx
的渐近线方程为 xy
2
3
，则双曲线的焦点坐标是_________．
6．设 AB是椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
的不垂直于对称轴的弦，M 为 AB的中点，O为坐标原点，
则 AB OMk k ____________。
三、解答题
1．已知定点 ( 2, 3)A ，F 是椭圆
2 2
1
16 12
x y
的右焦点，在椭圆上求一点M ，
使 2AM MF 取得最小值。
2． k代表实数，讨论方程
2 22 8 0kx y 所表示的曲线
3．双曲线与椭圆 1
3627
22
yx
有相同焦点，且经过点 ( 15,4) ，求其方程。
4．已知顶点在原点，焦点在 x轴上的抛物线被直线 2 1y x 截得的弦长为 15 ，
求抛物线的方程。
（数学选修 1-1）第二章 圆锥曲线
[提高训练 C 组]
一、选择题
1．若抛物线 xy 2
上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P的坐标为（ ）
A．
1 2( , )
4 4
B．
1 2( , )
8 4
C．
1 2( , )
4 4
D．
1 2( , )
8 4
2．椭圆 1
2449
22
yx
上一点P与椭圆的两个焦点 1F 、 2F 的连线互相垂直，
则△ 21FPF 的面积为（ ）
A． 20 B． 22 C． 28 D． 24
3．若点 A的坐标为 (3, 2) ， F 是抛物线 xy 22 的焦点，点M 在
抛物线上移动时，使 MAMF 取得最小值的M 的坐标为（ ）
A． 0,0 B．
1,
2
1
C． 2,1 D． 2,2
4．与椭圆 1
4
2
2
yx
共焦点且过点 (2,1)Q 的双曲线方程是（ ）
A． 1
2
2
2
yx
B． 1
4
2
2
yx
C． 1
33
22
yx
D． 1
2
2
2
yx
5．若直线 2 kxy 与双曲线 622 yx 的右支交于不同的两点，
那么 k的取值范围是（ ）
A．（
3
15,
3
15
） B．（
3
15,0 ） C．（ 0,
3
15
） D．（ 1,
3
15
）
6．抛物线
22xy 上两点 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 关于直线 mxy 对称，
且
2
1
21 xx ，则m等于（ ）
A．
2
3
B． 2 C．
2
5
D．3
二、填空题
1．椭圆 1
49
22
yx
的焦点 1F 、 2F ，点 P为其上的动点，当∠ 1F P 2F 为钝角时,点 P横
坐标的取值范围是 。
2．双曲线
2 2 1tx y 的一条渐近线与直线 2 1 0x y 垂直，则这双曲线的离心率为___。
3．若直线 2y kx 与抛物线
2 8y x 交于 A、B两点，若线段 AB的中点的横坐标是2 ，
则 AB ______。
4．若直线 1y kx 与双曲线
2 2 4x y 始终有公共点，则 k取值范围是 。
5．已知 (0, 4), (3, 2)A B ，抛物线
2 8y x 上的点到直线 AB的最段距离为__________。
三、解答题
1．当
0 00 180从 到 变化时，曲线
2 2 cos 1x y 怎样变化？
2．设 1 2,F F 是双曲线 1
169
22
yx
的两个焦点，点 P在双曲线上，且
0
1 2 60F PF ，
求△ 1 2F PF 的面积。
3．已知椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x
， A、 B是椭圆上的两点，线段 AB的垂直
平分线与 x轴相交于点 0( ,0)P x .证明： .
22
0
22
a
bax
a
ba
4．已知椭圆
2 2
1
4 3
x y
，试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同
两点关于直线 4y x m 对称。
（数学选修 1-1）第一章 导数及其应用
[基础训练 A 组]
一、选择题
1．若函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 内可导，且 0 ( , )x a b 则 0 0
0
( ) ( )lim
h
f x h f x h
h
的值为（ ）
A． '
0( )f x B． '
02 ( )f x C． '
02 ( )f x D．0
2．一个物体的运动方程为
21 tts 其中 s的单位是米， t的单位是秒，
那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A．7 米/秒 B．6 米/秒
C．5米/秒 D．8米/秒
3．函数
3y x x= + 的递增区间是（ ）
A． ),0( B． )1,(
C． ),( D． ),1(
4． 3 2( ) 3 2f x ax x ,若 ' ( 1) 4f ,则 a的值等于（ ）
A．
3
19
B．
3
16
C．
3
13
D．
3
10
5．函数 )(xfy 在一点的导数值为0 是函数 )(xfy 在这点取极值的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．必要非充分条件
6．函数 344 xxy 在区间 2,3 上的最小值为（ ）
A．72 B．36 C．12 D．0
二、填空题
1．若
3 '
0( ) , ( ) 3f x x f x ，则 0x 的值为_________________；
2．曲线 xxy 43 在点 (1, 3) 处的切线倾斜角为__________；
3．函数
sin xy
x
的导数为_________________；
4 ． 曲 线 xy ln 在 点 ( ,1)M e 处 的 切 线 的 斜 率 是 _________ ， 切 线 的 方 程 为
_______________；
5．函数 5523 xxxy 的单调递增区间是___________________________。
三、解答题
1．求垂直于直线 2 6 1 0x y 并且与曲线
3 23 5y x x 相切的直线方程。
2．求函数 ( )( )( )y x a x b x c 的导数。
3．求函数
5 4 3( ) 5 5 1f x x x x 在区间 4,1 上的最大值与最小值。
4．已知函数
23 bxaxy ，当 1x 时，有极大值3；
（1）求 ,a b的值；（2）求函数 y的极小值。
（数学选修 1-1）第一章 导数及其应用
[综合训练 B 组]
一、选择题
1．函数 ( )3 23 9 2 2y x x x x= - - - < < 有（ ）
A．极大值5，极小值 27
B．极大值5，极小值 11
C．极大值5，无极小值
D．极小值 27 ，无极大值
2．若
'
0( ) 3f x ，则 0 0
0
( ) ( 3 )lim
h
f x h f x h
h
（ ）
A． 3 B． 6
C． 9 D． 12
3．曲线
3( ) 2f x x x= + - 在 0p 处的切线平行于直线 4 1y x= - ，则 0p 点的坐标为（ ）
A． (1,0) B． (2,8)
C． (1,0) 和 ( 1, 4) D． (2,8) 和 ( 1, 4)
4． ( )f x 与 ( )g x 是定义在 R上的两个可导函数，若 ( )f x , ( )g x 满足
' '( ) ( )f x g x ,则
( )f x 与 ( )g x 满足（ ）
A． ( )f x ( )g x B． ( )f x ( )g x 为常数函数
C． ( )f x ( ) 0g x D． ( )f x ( )g x 为常数函数
5．函数
x
xy 14 2 单调递增区间是（ ）
A． ),0( B． )1,( C． ),
2
1( D． ),1(
6．函数
x
xy ln
的最大值为（ ）
A． 1e B． e C． 2e D．
3
10
二、填空题
1．函数 2cosy x x 在区间[0, ]
2
上的最大值是 。
2．函数
3( ) 4 5f x x x 的图像在 1x 处的切线在 x 轴上的截距为________________。
3．函数
32 xxy 的单调增区间为 ，单调减区间为___________________。
4．若
3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a 在 R增函数，则 , ,a b c的关系式为是 。
5．函数
3 2 2( ) ,f x x ax bx a 在 1x 时有极值10，那么 ba, 的值分别为________。
三、解答题
1．已知曲线 12 xy 与
31 xy 在 0xx 处的切线互相垂直，求 0x 的值。
2．如图，一矩形铁皮的长为 8cm，宽为 5cm，在四个角上截去
四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长
为多少时，盒子容积最大？
3． 已知 cbxaxxf 24)( 的图象经过点 (0,1) ，且在 1x 处的切线方程是 2y x
（1）求 )(xfy 的解析式；（2）求 )(xfy 的单调递增区间。
4．平面向量
1 3( 3, 1), ( , )
2 2
a b
，若存在不同时为0 的实数 k和 t，使
2( 3) , ,x a t b y ka tb
且 x y
，试确定函数 ( )k f t 的单调区间。
（数学选修 1-1） 第一章 导数及其应用
[提高训练 C 组]
一、选择题
1．若 ( ) sin cosf x x ,则 ' ( )f 等于（ ）
A． sin B． cos C． sin cos D． 2sin
2．若函数
2( )f x x bx c 的图象的顶点在第四象限，则函数
' ( )f x 的图象是（ ）
3．已知函数 1)( 23 xaxxxf 在 ),( 上是单调函数,则实数a的
取值范围是（ ）
A． ),3[]3,( B． ]3,3[
C． ),3()3,( D． )3,3(
4．对于 R上可导的任意函数 ( )f x ，若满足
'( 1) ( ) 0x f x ，则必有（ ）
A． (0) (2) 2 (1)f f f B. (0) (2) 2 (1)f f f
C. (0) (2) 2 (1)f f f D. (0) (2) 2 (1)f f f
5．若曲线
4y x 的一条切线 l与直线 4 8 0x y 垂直，则 l的方程为（ ）
A． 4 3 0x y B． 4 5 0x y C． 4 3 0x y D． 4 3 0x y
6．函数 )(xf 的定义域为开区间 ),( ba ，导函数 )(xf 在 ),( ba 内的图象如图所示，
则函数 )(xf 在开区间 ),( ba 内有极小值点（ ）
a
b
x
y )(xfy
O
A．1个 B． 2 个 C．3个 D． 4 个
二、填空题
1．若函数 ( ) ( )2f x x x c= - 在 2x 处有极大值，则常数 c的值为_________；
2．函数 xxy sin2 的单调增区间为 。
3．设函数 ( ) cos( 3 )(0 )f x x ，若 ( ) ( )f x f x 为奇函数，则 =__________
4．设
3 21( ) 2 5
2
f x x x x ，当 ]2,1[x 时， ( )f x m 恒成立，则实数m的
取值范围为 。
5．对正整数 n，设曲线 )1( xxy n 在 2x 处的切线与 y轴交点的纵坐标为 na ，则
数列
1
na
n
的前 n项和的公式是
三、解答题
1．求函数
3(1 cos 2 )y x 的导数。
2．求函数 2 4 3y x x 的值域。
3．已知函数
3 2( )f x x ax bx c 在
2
3
x 与 1x 时都取得极值
(1)求 ,a b的值与函数 ( )f x 的单调区间
(2)若对 [ 1, 2]x ，不等式
2( )f x c 恒成立，求 c的取值范围。
4．已知
2
3( ) log x ax bf x
x
, (0, )x ，是否存在实数 a b、 ,使 )(xf 同时满足下列
两个条件：（1） )(xf 在 (0,1) 上是减函数，在 1, 上是增函数；（2） )(xf 的最小值是1，
若存在，求出 a b、 ，若不存在，说明理由.
新课程高中数学训练题组参考答案
（数学选修 1-1） 第一章 常用逻辑用语 [基础训练 A 组]
一、选择题
1．B 可以判断真假的陈述句
2．D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题
3．A ①
2 20a b a b ，仅仅是充分条件
② 0a b
ba
11
，仅仅是充分条件；③
3 30a b a b ，仅仅是充分条件
4．D 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性
5．A : , 1 2 0A a R a a ，充分，反之不行
6．A : 1 2, 3 1p x x ，
2 2: 5 6 , 5 6 0, 3, 2q x x x x x x 或
p q ，充分不必要条件
二、填空题
1．若 ,a b至少有一个为零，则 a b 为零
2．充分条件 A B
3．必要条件；充分条件；充分条件， : 1 5, : 2 19 2 19,A x B x A B
4．[ 3,0] 2 2 3 0ax ax 恒成立，当 0a 时， 3 0 成立；当 0a 时，
2
0
4 12 0
a
a a
得 3 0a ； 3 0a
5．必要条件 左到右来看：“过不去”，但是“回得来”
三、解答题
1．解：（1） : 91 , 91p A B 或 ； p真， p 假；
（2） :p 每一个素数都不是偶数； p真， p 假；
（3） :p 存在一个正整数不是质数且不是合数； p假， p 真；
（4） :p 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆。
2．解： : 4 6, 10, 2, | 10, 2p x x x A x x x 或 或
2 2: 2 1 0 1 , 1 , | 1 , 1q x x a x a x a B x x a x a ， 或 记 或
而 ,p q A B，即
1 2
1 10 , 0 3
0
a
a a
a
。
3．证明：假设 , ,a b c都是奇数，则
2 2 2, ,a b c 都是奇数
得
2 2a b 为偶数，而
2c 为奇数，即
2 2 2a b c ，与
2 2 2a b c 矛盾
所以假设不成立，原命题成立
4．证明：
2 1 0( 0)ax ax a 恒成立
2
0
4 0
a
a a
0 4a
（数学选修 1-1） 第一章 常用逻辑用语 [综合训练 B 组]
一、选择题
1．B “ p ”为假，则 p为真，而 p q （且）为假，得 q为假
2．B
22 属于无理数指数幂，结果是个实数； 3 和 e都是无理数； |x x R是小数
3．C 若 0x y , 则 ,x y互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真；
“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等相等” 为假命题；
若 1 4 4 0,q q 即 4 4 0q ,则
2 2 0x x q 有实根，为真命题
4．A 1a
1 1
a
，“过得去”；但是“回不来”，即充分条件
5．D 0a b 的否定为 ,a b至少有一个不为0
6．D 当 1, 0a b 时，都满足选项 ,A B，但是不能得出 1a b
当 0.5, 0.5a b 时，都满足选项C，但是不能得出 1a b
二、填空题
1．①，②，③ A B B ，应该得出 B A
2．充要，充要，必要 , ; , ;q s r q q s r q s r r q s r p
3．若
090C ,则 ,A B 不都是锐角 条件和结论都否定
4．必要 q p 从 p到 q，过不去，回得来
0, 0
0, 0
0, 0
0, 0
a b
a b
a b
a b
其中之一
的否定是
另外三个
5． 1,2 2,5x 和 | 1 4x x x x 或 都是假命题，则
2, 5
1 4
x x
x
或
三、解答题
1．解：（1）为假命题，反例：1 4 5 2 1 5 4 2 ，或 ，而
（2）为假命题，反例：
3 20,x x x 不成立
（3）为真命题，因为 1 4 4 0m m 无实数根
（4）为假命题，因为每个三角形都有唯一的外接圆。
2．解：非 q为假命题，则 q为真命题； p q且 为假命题，则 p为假命题，即
2 6,x x x Z 且 ，得
2
2
6 0
, 2 3,
6 0
x x
x x Z
x x
1,0,1, 2x 或
3．解：令
2 2( ) (2 1)f x x k x k ，方程有两个大于1的实数根
2 2(2 1) 4 0
2 1 1
2
(1) 0
k k
k
f
即
10
4
k
所以其充要条件为
10
4
k
4．解：假设三个方程：
2 2 2 24 4 3 0, ( ) 0, 2 2 0x ax a x a x a x ax a 都没有实
数根，则
2
1
2 2
2
2
1
(4 ) 4( 4 3) 0
( 1) 4 0
(2 ) 4( 2 ) 0
a a
a a
a a
，即
3 1
2 2
1 , 1
3
2 0
a
a a
a
或 ，得
3 1
2
a
3 , 1
2
a a 或 。
（数学选修 1-1） 第一章 常用逻辑用语 [提高训练 C 组]
一、选择题
1．C ①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④ 中有“或”
2．A 因为原命题若 2a b ，则 ,a b 中至少有一个不小于1的逆否命题为，若 ,a b都小于1，
则 2a b 显然为真，所以原命题为真；原命题若 2a b ，则 ,a b 中至少有一个不小于1的
逆命题为，若 ,a b 中至少有一个不小于1，则 2a b ，是假命题，反例为 1.2, 0.3a b
3．B 当
0170A 时，
0 0 1sin170 sin10
2
，所以“过不去”；但是在△ ABC中，
0 0 01sin 30 150 30
2
A A A ，即“回得来”
4．B 一次函数
n
x
n
my 1
的图象同时经过第一、三、四象限
10, 0 0, 0 0m m n mn
n n
且 且 ，但是 0mn 不能推导回来
5．A “ x M ,或 x P ”不能推出“ x M P ”，反之可以
6．D 当 2, 2a b 时，从 1a b 不能推出 1a b ，所以 p假， q显然为真
二、填空题
1．若△ ABC的两个内角相等，则它是等腰三角形
2．既不充分也不必要，必要 ①若 1.5, 1.5 3x y x y 且 ，1 4 3, 1x 而
② 1, 2x 或y 不能推出 3x y 的反例为若 1.5, 1.5 3x y x y 且 ，
3x y 1, 2x 或y 的证明可以通过证明其逆否命题 1, 2 3x y x y 且
3．①，②，③ ①“ 1k ”可以推出“函数
2 2cos siny kx kx 的最小正周期为 ”
但是函数
2 2cos siny kx kx 的最小正周期为 ，即
2cos 2 , , 1
2
y kx T k
k
② “ 3a ”不能推出“直线 2 3 0ax y a 与直线3 ( 1) 7x a y a 相互垂直”
反之垂直推出
2
5
a ；③ 函数
2 2
2
2 2 2
4 3 1 13
3 3 3
x xy x
x x x
的最小值为 2
令
2
min
1 4 33 , 3, 3
33
x t t y
4．充要
3 3 2 2 2 2( 1)( )a b ab a b a b a ab b
5． ( , 3) 2 6 0a
三、解答题
1．解（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为0 的两个实数不都为0 ；
（3）若 ABC 是锐角三角形， 则 ABC 的某个内角不是锐角。
（4）若 0abc ，则 , ,a b c中都不为0 ；
（5）若 ( 1)( 2) 0, 1 2x x x x 则 或 。
2．解： 1: 1 2, 2, 10, | 2, 10
3
xp x x A x x x
或 或
2 2: 2 1 0, 1 , 1 , | 1 , 1q x x m x m x m B x x m x m 或 或
p 是 q 的必要非充分条件， B A，即
1 2
9, 9
1 10
m
m m
m
。
3．证明：假设 (1 ) , (1 ) , (1 )a b b c c a 都大于
4
1
，即
1 1(1 ) , (1 ) ,
4 4
a b b c
1(1 )
4
c a ，而
1 1 1 1(1 ) , (1 ) ,
2 2 2 2
a b b ca b b c
1 1(1 ) ,
2 2
c a c a
得
1 1 1 3
2 2 2 2
a b b c c a
即
3 3
2 2
，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立。
4．解：“ p或 q”为真命题，则 p为真命题，或 q为真命题，或 q和 p都是真命题
当 p为真命题时，则
2
1 2
1 2
4 0
0
1 0
m
x x m
x x
，得 2m ；
当 q为真命题时，则
216( 2) 16 0, 3 1m m 得
当 q和 p都是真命题时，得 3 2m
1m
（数学选修 1-1） 第二章 圆锥曲线 [基础训练 A 组]
一、选择题
1．D 点 P到椭圆的两个焦点的距离之和为 2 10,10 3 7a
2．C
2 2 22 2 18, 9,2 6, 3, 9, 1a b a b c c c a b a b
得 5, 4a b ，
2 2
1
25 16
x y
或 1
2516
22
yx
3．D 2, 2PM PN MN 而 ， P 在线段MN 的延长线上
4．C
2 2
2 2 2
2
2 , 2 , 2, 2a cc c a e e
c a
5．B 2 10, 5p p ，而焦点到准线的距离是 p
6．C 点 P到其焦点的距离等于点 P到其准线 2x 的距离，得 7, 2 14P px y
二、填空题
1．1, 2或 当 1m 时，
2 2
1, 111
x y a
m
；
当0 1m 时，
2 2 2 2
2 2
2
3 1 11, 1 , , 4, 21 1 4 4
y x a be m m a a
a m
m
2．
2 2
1
20 5
x y
设双曲线的方程为
2 24 , ( 0)x y ，焦距
22 10, 25c c
当 0 时，
2 2
1, 25, 20
4
4
x y
；
当 0 时，
2 2
1, ( ) 25, 20
4
4
y x
3． ( , 4) (1, ) (4 )(1 ) 0, ( 4)( 1) 0, 1, 4k k k k k k 或
4．
3
2
x 32 6, 3,
2 2
pp p x
5．1 焦点在 y轴上，则
2 2
2 51, 1 4, 15 1
y x c k
k
k
三、解答题
1．解：由
2 2
2
2 3 6
y kx
x y
，得
2 22 3( 2) 6x kx ，即
2 2(2 3 ) 12 6 0k x kx
2 2 2144 24(2 3 ) 72 48k k k
当
272 48 0k ，即
6 6,
3 3
k k 或 时，直线和曲线有两个公共点；
当
272 48 0k ，即
6 6,
3 3
k k 或 时，直线和曲线有一个公共点；
当
272 48 0k ，即
6 6
3 3
k 时，直线和曲线没有公共点。
2．解：设点
2( , 4 )P t t ，距离为 d ，
2 24 4 5 4 4 5
17 17
t t t td
当
1
2
t 时， d 取得最小值，此时
1( ,1)
2
P 为所求的点。
3．解：由共同的焦点 1 2(0, 5), (0,5)F F ，可设椭圆方程为
2 2
2 2 1
25
y x
a a
；
双曲线方程为
2 2
2 2 1
25
y x
b b
，点 (3, 4)P 在椭圆上，
2
2 2
16 9 1, 40
25
a
a a
双曲线的过点 (3, 4)P 的渐近线为
225
by x
b
，即
2
2
4 3, 16
25
b b
b
所以椭圆方程为
2 2
1
40 15
y x
；双曲线方程为
2 2
1
16 9
y x
4．解：设点 (2cos , sin )P b ，
2 2 22 4cos 2 sin 4sin 2 sin 4x y b b
令
2 2 ,sin , ( 1 1)T x y t t ，
24 2 4, ( 0)T t bt b ，对称轴
4
bt
当 1, 4
4
b b 即 时， max 1| 2tT T b ；当0 1, 0 4
4
b b 即 时，
2
max
4
| 4
4bt
bT T
2
2
max
4,0 4( 2 ) 4
2 , 4
b bx y
b b
（数学选修 1-1） 第二章 圆锥曲线 [综合训练 B 组]
一、选择题
1．D 焦点在 y轴上，则
2 2 21, 2 0 12 2
y x k
k
k
2．C 当顶点为 ( 4,0) 时，
2 2
4, 8, 4 3, 1
16 48
x ya c b ；
当顶点为 (0, 3) 时，
2 2
3, 6, 3 3, 1
9 27
y xa c b
3．C Δ 1 2PF F 是等腰直角三角形， 2 1 2 12 , 2 2PF F F c PF c
1 2
12 ,2 2 2 2 , 2 1
2 1
cPF PF a c c a e
a
4．C 1 2 1 2 2 12 2, 6, 6F F AF AF AF AF
2 2 2 0 2
2 1 1 2 1 1 2 1 12 cos 45 4 8AF AF F F AF F F AF AF
2 2
1 1 1 1
7(6 ) 4 8, ,
2
AF AF AF AF
1 7 2 72 2
2 2 2 2
S
5．D 圆心为 (1, 3) ，设
2 21 12 , ,
6 3
x py p x y ；
设
2 292 , , 9
2
y px p y x
6．C 垂直于对称轴的通径时最短，即当 , ,
2
px y p
min
2AB p
二、填空题
1．
54,
4
或 当 8 9k 时，
2
2
2
8 9 1 , 4
8 4
c ke k
a k
；
当 8 9k 时，
2
2
2
9 8 1 5,
9 4 4
c ke k
a
2． 1 焦点在 y轴上，则
2 2 8 11, ( ) 9, 18 1
y x k
k k
k k
3． (4, 2)
2
2
1 2 1 2 1 2
4
, 8 4 0, 8, 4 4
2
y x
x x x x y y x x
y x
中点坐标为 1 2 1 2( , ) (4, 2)
2 2
x x y y
4． , 2 设
2
( , )
4
tQ t ，由 PQ a 得
2
2 2 2 2 2( ) , ( 16 8 ) 0,
4
t a t a t t a
2 216 8 0, 8 16t a t a 恒成立，则8 16 0, 2a a
5． ( 7,0) 渐近线方程为
2
my x ，得 3, 7m c ，且焦点在 x轴上
6．
2
2
b
a
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则中点 1 2 1 2( , )
2 2
x x y yM
，得 2 1
2 1
,AB
y yk
x x
2 1
2 1
OM
y yk
x x
，
2 2
2 1
2 2
2 1
AB OM
y yk k
x x
，
2 2 2 2 2 2
1 1 ,b x a y a b
2 2 2 2 2 2
2 2 ,b x a y a b 得
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1( ) ( ) 0,b x x a y y 即
2 2 2
2 1
2 2 2
2 1
y y b
x x a
三、解答题
1．解：显然椭圆
2 2
1
16 12
x y
的
14, 2,
2
a c e ，记点M 到右准线的距离为 MN
则
1 , 2
2
MF
e MN MF
MN
，即 2AM MF AM MN
当 , ,A M N 同时在垂直于右准线的一条直线上时， 2AM MF 取得最小值，
此时 3y yM A ，代入到
2 2
1
16 12
x y
得 2 3xM
而点M 在第一象限， (2 3, 3)M
2．解：当 0k 时，曲线
2 2
184
y x
k
为焦点在 y轴的双曲线；
当 0k 时，曲线
22 8 0y 为两条平行的垂直于 y轴的直线；
当0 2k 时，曲线
2 2
18 4
x y
k
为焦点在 x轴的椭圆；
当 2k 时，曲线
2 2 4x y 为一个圆；
当 2k 时，曲线
2 2
184
y x
k
为焦点在 y轴的椭圆。
3．解：椭圆
2 2
1
36 27
y x
的焦点为 (0, 3), 3c ，设双曲线方程为
2 2
2 2 1
9
y x
a a
过点 ( 15,4) ，则 2 2
16 15 1
9a a
，得
2 4, 36a 或 ，而
2 9a ，
2 4a ，双曲线方程为
2 2
1
4 5
y x
。
4．解：设抛物线的方程为
2 2y px ，则
2 2
,
2 1
y px
y x
消去 y得
2
1 2 1 2
2 14 (2 4) 1 0, ,
2 4
px p x x x x x
2 2
1 2 1 2 1 21 5 ( ) 4AB k x x x x x x 22 15 ( ) 4 15
2 4
p
，
则
2
23, 4 12 0, 2, 6
4
p p p p p 或
2 24 12y x y x ，或
（数学选修 1-1） 第二章 圆锥曲线 [提高训练 C 组]
一、选择题
1．B 点 P到准线的距离即点 P到焦点的距离，得 PO PF ，过点 P所作的高也是中线
1
8xP ，代入到 xy 2
得
2
4yP ，
1 2( , )
8 4
P
2．D
2 2 2 2
1 2 1 2 1 214, ( ) 196, (2 ) 100PF PF PF PF PF PF c ，相减得
1 2 1 2
12 96, 24
2
PF PF S PF PF
3．D MF 可以看做是点M 到准线的距离，当点M 运动到和点 A一样高时， MAMF 取
得最小值，即 2yM ，代入 xy 22 得 2xM
4．A
2 4 1 3c c ， ，且焦点在 x轴上，可设双曲线方程为
2 2
2 2 1
3
x y
a a
过点 (2,1)Q
得
2
2 2
2 2
4 1 1 2, 1
3 2
xa y
a a
5．D
2 2
2 2 2 26
, ( 2) 6, (1 ) 4 10 0
2
x y
x kx k x kx
y kx
有两个不同的正根
则
2
2
1 2 2
1 2 2
40 24 0
4 0,
1
10 0
1
k
kx x
k
x x
k
得
15 1
3
k
6．A
2 22 1
2 1 2 1 2 1
2 1
11, 2( ),
2AB
y yk y y x x x x
x x
而 得 ，且 2 1 2 1
2 2
x x y y
( , )
在直线 y x m 上，即 2 1 2 1
2 1 2 1, 2
2 2
y y x x m y y x x m
2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
32( ) 2 ,2[( ) 2 ] 2 ,2 3,
2
x x x x m x x x x x x m m m
二、填空题
1．
3 5 3 5( , )
5 5
可以证明 1 2, ,PF a ex PF a ex 且
2 2 2
1 2 1 2PF PF F F
而
53, 2, 5,
3
a b c e ，则
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) (2 ) , 2 2 20, 1a ex a ex c a e x e x
2
2
1 1 1, ,x x
e e e
即
3 5 3 5
5 5
e
2．
5
2
渐近线为 y t x ，其中一条与与直线 2 1 0x y 垂直，得
1 1,
2 4
t t
2
2 51, 2, 5,
4 2
x y a c e
3． 2 15
2
2 2
1 2 2
8 4 8, (4 8) 4 0, 4
2
y x kk x k x x x
ky kx
得 1, 2k 或 ，当 1k 时，
2 4 4 0x x 有两个相等的实数根，不合题意
当 2k 时，
2 2
1 2 1 2 1 21 5 ( ) 4 5 16 4 2 15AB k x x x x x x
4．
51,
2
2 2
2 2 24
, ( 1) 4, (1 ) 2 5 0
1
x y
x kx k x kx
y kx
当
21 0, 1k k 时，显然符合条件；
当
21 0k 时，则
2 520 16 0,
2
k k
5．
3 5
5
直线 AB为2 4 0x y ，设抛物线
2 8y x 上的点
2( , )P t t
2 2 22 4 2 4 ( 1) 3 3 3 5
55 5 5 5
t t t t td
三、解答题
1．解：当
00 时，
0cos 0 1 ，曲线
2 2 1x y 为一个单位圆；
当
0 00 90 时，0 cos 1 ，曲线
2 2
11 1
cos
y x
为焦点在 y轴上的椭圆；
当
090 时，
0cos90 0 ，曲线
2 1x 为两条平行的垂直于 x轴的直线；
当
0 090 180 时， 1 cos 0 ，曲线
2 2
111
cos
x y
为焦点在 x轴上的双曲线；
当
0180 时，
0cos180 1 ，曲线
2 2 1x y 为焦点在 x轴上的等轴双曲线。
2．解：双曲线 1
169
22
yx
的 3, 5,a c 不妨设 1 2PF PF ，则 1 2 2 6PF PF a
2 2 2 0
1 2 1 2 1 22 cos 60F F PF PF PF PF ，而 1 2 2 10F F c
得
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ) 100PF PF PF PF PF PF PF PF
0
1 2 1 2
164, sin 60 16 3
2
PF PF S PF PF
3．证明：设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则中点 1 2 1 2( , )
2 2
x x y yM
，得 2 1
2 1
,AB
y yk
x x
2 2 2 2 2 2
1 1 ,b x a y a b 2 2 2 2 2 2
2 2 ,b x a y a b 得
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1( ) ( ) 0,b x x a y y
即
2 2 2
2 1
2 2 2
2 1
y y b
x x a
， AB的垂直平分线的斜率 2 1
2 1
,x xk
y y
AB的垂直平分线方程为 1 2 2 1 1 2
2 1
( ),
2 2
y y x x x xy x
y y
当 0y 时，
2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
0 2
2 1
(1 )
2( ) 2
y y x x x xbx
x x a
而 2 12 2a x x a ，
2 2 2 2
0 .a b a bx
a a
4．解：设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， AB的中点 0 0( , )M x y ， 2 1
2 1
1 ,
4AB
y yk
x x
而
2 2
1 13 4 12,x y 2 2
2 23 4 12,x y 相减得
2 2 2 2
2 1 2 13( ) 4( ) 0,x x y y
即 1 2 1 2 0 03( ), 3y y x x y x ， 0 0 0 03 4 , , 3x x m x m y m
而 0 0( , )M x y 在椭圆内部，则
2 29 1,
4 3
m m
即
2 3 2 3
13 13
m 。
新课程高中数学训练题组参考答案
（数学选修 1-1）第一章 导数及其应用 [基础训练 A 组]
一、选择题
1．B 0 0 0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim 2[ ]
2h h
f x h f x h f x h f x h
h h
'0 0
00
( ) ( )2 lim 2 ( )
2h
f x h f x h f x
h
2．C ' '( ) 2 1, (3) 2 3 1 5s t t s
3．C ' 23 1 0y x= + > 对于任何实数都恒成立
4．D ' 2 ' 10( ) 3 6 , ( 1) 3 6 4,
3
f x ax x f a a
5．D 对于
3 ' 2 '( ) , ( ) 3 , (0) 0,f x x f x x f 不能推出 ( )f x 在 0x 取极值，反之成立
6．D ' 3 ' 3 ' '4 4, 0,4 4 0, 1, 1 , 0; 1 , 0y x y x x x y x y 令 当 时 当 时
得 1| 0,xy y 极小值
而端点的函数值 2 3| 27, | 72x xy y ，得 min 0y
二、填空题
1． 1 ' 2
0 0 0( ) 3 3, 1f x x x
2．
3
4
' 2 '
1
33 4, | 1, tan 1,
4xy x k y
3． 2
cos sinx x x
x
' '
'
2 2
(sin ) sin ( ) cos sinx x x x x x xy
x x
4．
1 , 0x ey
e
' '1 1 1 1, | , 1 ( ),x ey k y y x e y x
x e e e
5．
5( , ), (1, )
3
' 2 53 2 5 0, , 1
3
y x x x x 令 得 或
三、解答题
1．解：设切点为 ( , )P a b ，函数
3 23 5y x x 的导数为
' 23 6y x x
切线的斜率
' 2| 3 6 3x ak y a a ，得 1a ，代入到
3 23 5y x x
得 3b ，即 ( 1, 3)P ， 3 3( 1),3 6 0y x x y 。
2．解：
' ' ' '( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )y x a x b x c x a x b x c x a x b x c
( )( ) ( )( ) ( )( )x b x c x a x c x a x b
3．解： )1)(3(515205)( 2234 xxxxxxxf ,
当 0)( xf 得 0x ，或 1x ，或 3x ，
∵0 [ 1,4] ， 1 [ 1,4] ， 3 [ 1,4]
列表:
又 (0) 0, ( 1) 0f f ；右端点处 (4) 2625f ；
∴函数 155 345 xxxy 在区间[ 1, 4] 上的最大值为 2625 ，最小值为0 。
4．解：（1） ' 23 2 ,y ax bx 当 1x 时，
'
1 1| 3 2 0, | 3x xy a b y a b ，
即
3 2 0
, 6, 9
3
a b
a b
a b
x 1 ( 1,0) 0 (0,4)
' ( )f x 0 + 0 +
( )f x 0 ↗ 1 ↗
（2） 3 2 ' 26 9 , 18 18y x x y x x ，令
' 0y ，得 0, 1x x 或
0| 0xy y 极小值
（数学选修 1-1）第一章 导数及其应用 [综合训练 B 组]
一、选择题
1．C ' 23 6 9 0, 1, 3y x x x x 得 ，当 1x 时，
' 0y ；当 1x 时，
' 0y
当 1x 时， 5y 极大值
； x取不到3，无极小值
2．D '0 0 0 0
00 0
( ) ( 3 ) ( ) ( 3 )lim 4lim 4 ( ) 12
4h h
f x h f x h f x h f x h f x
h h
3．C 设切点为 0 ( , )P a b ，
' 2 ' 2( ) 3 1, ( ) 3 1 4, 1f x x k f a a a ，
把 1a ，代入到
3( ) 2f x x x= + - 得 4b ；把 1a ，代入到
3( ) 2f x x x= + - 得
0b ，所以 0 (1,0)P 和 ( 1, 4)
4．B ( )f x , ( )g x 的常数项可以任意
5．C 令
3
' 2
2 2
1 8 1 18 0, (2 1)(4 2 1) 0,
2
xy x x x x x
x x
6．A 令
' '
'
2 2
(ln ) ln 1 ln 0,x x x x xy x e
x x
，当 x e 时，
' 0y ；当 x e 时，
' 0y ，
1( )y f e
e
极大值 ，在定义域内只有一个极值，所以 max
1y
e
二、填空题
1． 3
6
' 1 2sin 0,
6
y x x
，比较0, ,
6 2
处的函数值，得 max 3
6
y
2．
3
7
' 2 ' 3( ) 3 4, (1) 7, (1) 10, 10 7( 1), 0 ,
7
f x x f f y x y x 时
3．
2(0, )
3
2( ,0), ( , )
3
' 2 23 2 0, 0,
3
y x x x x 或
4． 20, 3a b ac 且 ' 2( ) 3 2 0f x ax bx c 恒成立，
则
2
2
0
, 0, 3
4 12 0
a
a b ac
b ac
且
5．4, 11 ' 2 ' 2( ) 3 2 , (1) 2 3 0, (1) 1 10f x x ax b f a b f a a b
2
2 3 3 4
, ,
3 119
a b a a
b ba a b
或 ，当 3a 时， 1x 不是极值点
三、解答题
1．解：
0 0
' ' ' 2 ' 2
1 0 2 02 , | 2 ; 3 , | 3x x x xy x k y x y x k y x
3
3
1 2 0 0
361,6 1,
6
k k x x 。
2．解：设小正方形的边长为 x厘米，则盒子底面长为8 2x ，宽为5 2x
3 2(8 2 )(5 2 ) 4 26 40V x x x x x x
' 2 ' 1012 52 40, 0, 1,
3
V x x V x x 令 得 或 ，
10
3
x （舍去）
(1) 18V V 极大值
，在定义域内仅有一个极大值，
18V 最大值
3．解：（1） cbxaxxf 24)( 的图象经过点 (0,1) ，则 1c ，
' 3 '( ) 4 2 , (1) 4 2 1,f x ax bx k f a b
切点为 (1, 1) ，则 cbxaxxf 24)( 的图象经过点 (1, 1)
得
5 91, ,
2 2
a b c a b 得
4 25 9( ) 1
2 2
f x x x
（2） ' 3 3 10 3 10( ) 10 9 0, 0,
10 10
f x x x x x 或
单调递增区间为
3 10 3 10( ,0), ( , )
10 10
4．解：由
1 3( 3, 1), ( , )
2 2
a b
得 0, 2, 1a b a b
2 2 2 2 2[ ( 3) ] ( ) 0, ( 3) ( 3) 0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b
3 3 31 14 3 0, ( 3 ), ( ) ( 3 )
4 4
k t t k t t f t t t
' 23 3( ) 0, 1, 1
4 4
f t t t t 得 或 ； 23 3 0, 1 1
4 4
t t 得
所以增区间为 ( , 1), (1, ) ；减区间为 ( 1,1) 。
（数学选修 1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练 C 组]
一、选择题
1．A ' '( ) sin , ( ) sinf x x f
2．A 对称轴
'0, 0, ( ) 2
2
b b f x x b ，直线过第一、三、四象限
3．B ' 2( ) 3 2 1 0f x x ax 在 ),( 恒成立，
24 12 0 3 3a a
4．C 当 1x 时，
' ( ) 0f x ，函数 ( )f x 在 (1, ) 上是增函数；当 1x 时，
' ( ) 0f x ，
( )f x 在 ( ,1) 上是减函数，故 ( )f x 当 1x 时取得最小值，即有
(0) (1), (2) (1),f f f f 得 (0) (2) 2 (1)f f f
5．A 与直线 4 8 0x y 垂直的直线 l为 4 0x y m ，即
4y x 在某一点的导数为
4 ，而
34y x ，所以
4y x 在 (1,1) 处导数为 4 ，此点的切线为 4 3 0x y
6．A 极小值点应有先减后增的特点，即
' ' '( ) 0 ( ) 0 ( ) 0f x f x f x
二、填空题
1．6 ' 2 2 ' 2( ) 3 4 , (2) 8 12 0, 2, 6f x x cx c f c c c 或 ， 2c 时取极小值
2． ( , ) ' 2 cos 0y x 对于任何实数都成立
3．
6
' '( ) sin( 3 )( 3 ) 3 sin( 3 )f x x x x
( ) ( ) 2cos( 3 )
3
f x f x x
要使 ( ) ( )f x f x 为奇函数，需且仅需 ,
3 2
k k Z ，
即： ,
6
k k Z 。又0 ，所以 k只能取0 ，从而
6
。
4． (7, ) ]2,1[x 时， max( ) 7f x
5． 12 2n / 1 1
2 2 2 , : 2 2 2 ( 2)n n n
xy n y n x
切线方程为 ，
令 0x ，求出切线与 y轴交点的纵坐标为 0 1 2ny n ，所以 2
1
nna
n
，
则数列
1
na
n
的前 n项和
1
2 1 2
2 2
1 2
n
n
nS
三、解答题
1．解：
3 2 3 6(1 cos 2 ) (2cos ) 8cosy x x x
' 5 ' 548cos (cos ) 48cos ( sin )y x x x x
548sin cosx x 。
2．解：函数的定义域为[ 2, ) ，
' 1 1 1 1
2 4 2 3 2 4 4 12
y
x x x x
当 2x 时，
' 0y ，即[ 2, ) 是函数的递增区间，当 2x 时， min 1y
所以值域为[ 1, ) 。
3．解：（1） 3 2 ' 2( ) , ( ) 3 2f x x ax bx c f x x ax b
由
' 2 12 4( ) 0
3 9 3
f a b ， ' (1) 3 2 0f a b 得
1 , 2
2
a b
' 2( ) 3 2 (3 2)( 1)f x x x x x ，函数 ( )f x 的单调区间如下表：
x
2( , )
3
2
3
2( ,1)
3
1 (1, )
' ( )f x 0 0
( )f x 极大值 极小值
所以函数 ( )f x 的递增区间是
2( , )
3
与 (1, ) ,递减区间是
2( ,1)
3
；
（2） 3 21( ) 2 , [ 1,2]
2
f x x x x c x ，当
2
3
x 时，
2 22( )
3 27
f c
为极大值，而 (2) 2f c ，则 (2) 2f c 为最大值，要使
2( ) , [ 1, 2]f x c x
恒成立，则只需要
2 (2) 2c f c ，得 1, 2c c 或 。
4．解：设
2
( ) x ax bg x
x
∵ ( )f x 在 (0,1) 上是减函数，在[1, ) 上是增函数
∴ ( )g x 在 (0,1) 上是减函数，在[1, ) 上是增函数.
∴
3)1(
0)1('
g
g
∴
31
01
ba
b
解得
1
1
b
a
经检验， 1, 1a b 时， ( )f x 满足题设的两个条件.
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