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  • 2021-06-15 发布

江苏省启东中学2021届高三上学期期初考试数学试题(PDF含答案版)

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高二数学试卷 第 1 页 共 10 页 2020~2021 学年第一学期期初考试试题答案 高三数学 命题人: 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.设全集  1,2,3,4U  ,集合    1,3 , 4S T  ,则 C S T  等于( ) A. 2,4 B. 4 C. D. 1,3,4 【答案】A 2 . 在 ABC 中 , E 为 AC 上 一 点 , 3   AC AE , P 为 BE 上 任 一 点 , 若 ( 0, 0)       AP mAB nAC m n ,则 3 1 m n 的最小值是( ) A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】D 3.已知 Ra  ,则“ 1a  ”是“ 1 1a  ”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A 4.设     ,0 1 2 1 , 1 x xf x x x       ,若    1f a f a  ,则 1f a      ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C 5.已知函数 2( ) ln( 1)f x x x    ,则函数 ( 1) y f x 的图象大致为( ) 高二数学试卷 第 2 页 共 10 页 A. B. C. D. 【答案】A 6.函数 2 , ( , ]1 xy x m nx   的最小值为 0,则 m 的取值范围是( ) A.(1,2) B.(-1,2) C.[1,2) D.[-1,2) 【答案】D 7.设函数     2 1ln 1 1f x x x     ,则使    2 1f x f x  成立的 x 的取值范围是( ) A. 1 ,13      B.  1, 1,3       C. 1 1,3 3     D. 1 1, ,3 3             【答案】A 8.若直角坐标平面内 A 、B 两点满足:①点 A 、B 都在函数 ( )f x 的图象上;②点 A 、B 关于原点对称,则称点 ( )A B, 是函数 ( )f x 的一个“姊妹点对”.点对 ( )A B, 与 ( )B A, 可看 高二数学试卷 第 3 页 共 10 页 作是同一个“姊妹点对”,已知函数 2 2 0 ( ) 2 0x x x x f x xe      ,则 ( )f x 的“姊妹点对”有( ) A. 0 个 B.1个 C. 2 个 D.3 个 【答案】C 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分。 9.下列命题正确的是( ) A.若随机变量  ~ 100,X B p ,且   20E X  ,则 1 1 52D X       B.已知函数  f x 是定义在 R 上的偶函数,且在[0, ) 上单调递减  1 0f  ,则不等式  2log 0f x  的解集为 1 ,22      C.已知 xR ,则“ 0x  ”是“ 1 1x   ”的充分不必要条件 D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关,由最小二乘法求得其回归直线 方程为 ˆ 0.3y x m  ,若样本中心点为 , 2.8m  ,则 4m  【答案】BD 10.设 a ,b , c 为实数且 a b ,则下列不等式一定成立的是( ) A. 1 1 a b  B. 2020 1a b  C. ln lna b D.    2 21 1a c b c   【答案】BD 11.关于函数 1 2( ) 1 1xf x x e      下列结论正确的是( ) A.图像关于 y 轴对称 B.图像关于原点对称 C.在 ,0 上单调递增 D.  f x 恒大于 0 高二数学试卷 第 4 页 共 10 页 【答案】ACD 12 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 的 图 象 连 续 不 断 , 若 存 在 常 数 ( )t t R , 使 得 ( ) ( ) 0f x t tf x   对任意的实数 x 成立,则称 f(x)是回旋函数. 给出下列四个命题中,正确的命题是( ) A.常值函数 ( ) ( 0)f x a a  为回旋函数的充要条件是 t= -1; B.若 (0 1)xy a a   为回旋函数,则 t>l; C.函数 2( )f x x 不是回 旋函数; D.若 f(x)是 t=2 的回旋函数,则 f(x)在[0,4030]上至少有 2015 个零点. 【答案】ACD 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应..... 位置上...。 13.已知 4log 9a , 2log 5b ,则 22  a b __________. 【答案】45 14.已知 a R ,命题“存在 x R ,使 2 3 0  x ax a ”为假命题,则 a 的取值范围为 __________. 【答案】  12,0 15.已知数列 na 的首项为 4 ,且满足    12 1 0n nn a na n N      ,则下列命题: ① na n     是等差数列;② na 是递增数列;③设函数   2 1 1 2 x n n af x x a          ,则存在 某个区间   , 1n n n N   ,使得  f x 在 , 1n n  上有唯一零点;则其中正确的命题序 号为__________. 【答案】②③ 16.已知集合  0 0 1A x x   .给定一个函数 ( )y f x ,定义集合 高二数学试卷 第 5 页 共 10 页  1( ),n nA y y f x x A    ,若 1n nA A   对任意的 *n N 成立,则称该函数 ( )y f x 具有性质“ ” (I)具有性质“ ”的一个一次函数的解析式可以是_________; (Ⅱ)给出下列函数:① 1y x ;② 2 1 y x ;③ cos( ) 22  y x ,其中具有性质“ ” 的函数的序号是_________.(本题第一空 2 分,第二空 3 分) 【答案】 1 y x (答案不唯一) ①② 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。请在答题卡指定区域.......内作答。解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 已知集合   2| log 3 3A x x   ,  | 2 1 3B x m x m     . (1)若 3m  ,则 A B ; (2)若 A B B ,求实数 m 的取值范围. 【解析】 (1)若 3m  ,则  | 5 6B x x   , 依题意      2 2 2| log 3 3 | log 3 log 8A x x x x       | 3 5x x    , 故  | 3 6A B x x    ; (2)因为 A B B ,故 B A ; 若 2 1 3m m   ,即 4m≥ 时, B   ,符合题意; 若 2 1 3m m   ,即 4m  时, 2 1 3 3 5 m m       , 解得 1 2m   ; 综上所述,实数 m 的取值范围为   1,2 4,  . 高二数学试卷 第 6 页 共 10 页 18.(本小题满分 12 分) 已知    23 6 6f x x a a x     . (1)解关于 a 的不等式  1 0f  ; (2)若不等式  f x b 的解集为  1,3 ,求实数 ,a b 的值. 【解析】 (1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6, ∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3, ∴原不等式可化为 a2-6a-3<0,解得 3-2 3 b 的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0 的两根为-1,3, 等价于  61+3= 3 61 3= 3 a a b       解得 3 3 3 a b      . 19.(本小题满分 12 分) 设函数 2( ) (ln 1)f x x a x   . (1)当 1a  时,求 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程; (2)当 2 ea  时,判断函数 ( )f x 在区间 0, 2 a      是否存在零点?并证明. 【解析】 (Ⅰ)  f x 的定义域为  0,  ,   1f x ax    ,若 0a  ,则   0f x  ,  f x 在 0,  是 高二数学试卷 第 7 页 共 10 页 单调递增;若 0a  ,则当 10,x a     时   0f x  ,当 1 ,x a      时   0f x  ,所以  f x 在 10, a      单调递增,在 1 ,a     单调递减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知当 0a  时  f x 在 0,  无最大值,当 0a  时  f x 在 1x a  取得最大 值,最大值为 1 1 1ln 1 ln 1.f a a aa a a                       因此 1 2 2 ln 1 0f a a aa           .令   ln 1g a a a   ,则  g a 在 0,  是增函 数,  1 0g  ,于是,当 0 1a  时,   0g a  ,当 1a  时   0g a  ,因此 a 的取值范围是  0,1 . 20.(本小题满分 12 分) 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色 小镇”.经调研发现:某珍稀水果树的单株产量W (单位:千克)与施用肥料 x (单位: 千克)满足如下关系:  25 3 , 0 2 ( ) 50 , 2 51 x x W x x xx         ,肥料成本投入为10x 元,其它成 本投入(如培育管理、施肥等人工费) 20x 元.已知这种水果的市场售价大约为 15 元/ 千克,且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为 ( )f x (单位:元). (Ⅰ)求 ( )f x 的函数关系式; (Ⅱ)当施用肥料为多少千克时,该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 【解析】 (Ⅰ)由已知      15 20 10 15 30f x W x x x W x x      215 5 3 30 ,0 2, 5015 30 , 2 51 x x x x x xx             275 30 225,0 2, 750 30 , 2 5.1 x x x x x xx           高二数学试卷 第 8 页 共 10 页 (Ⅱ)由(Ⅰ)得     2 2 175 222,0 2,75 30 225,0 2, 5=750 30 , 2 5. 25780 30 1 , 2 5.1 1 x xx x x f x x x x x xx x                                 当 0 2x  时,    max 2 465f x f  ; 当 2 5x  时,    25780 30 11f x xx         25780 30 2 1 4801 xx       当且仅当 25 11 xx   时,即 4x  时等号成立. 因为 465 480 ,所以当 4x  时,  max 480f x  . ∴当施用肥料为 4 千克时,种植该果树获得的最大利润是 480 元. 21.(本小题满分 12 分) 已知 a∈R,函数 f(x)=x2﹣2ax+5. (1)若 a>1,且函数 f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数 a 的值; (2)若不等式 x|f(x)﹣x2|  1 对 x∈[ 1 3 , 1 2 ]恒成立,求实数 a 的取值范围. 【解析】 (1)∵f(x)的图象开口向上,对称轴为 x=a>1, ∴f(x)在[1,a]上单调递减, ∴f(1)=a,即 6﹣2a=a,解得 a=2.. (2)不等式 x|f(x)﹣x2| 1 对 x∈[ 1 3 , 1 2 ]恒成立, 即 x|2ax﹣5| 1 对 x∈[ 1 3 , 1 2 ]恒成立, 故 a 2 5 1 2 x x  且 a 2 5 1 2 x x  在 x∈[ 1 3 , 1 2 ]恒成立, 令 g(x) 2 2 5 1 1 1 5 25 2 2 2 8          x x x ,x∈[ 1 3 , 1 2 ], 高二数学试卷 第 9 页 共 10 页 所以 g(x)max=g( 2 5 ) 25 8  , 所以 25 8a  . 令 h(x) 2 2 5 1 1 1 5 25 2 2 2 8         x x x ,x∈[ 1 3 , 1 2 ], 所以 h(x)min=h( 1 2 )=7, 所以 7a  . 综上: 25 78 a  . 22.(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的   2 2   x x bf x a 函数是奇函数. (1)求 ,a b 的值; (2)用定义证明  f x 在 ,  上为减函数; (3)若对于任意 t R ,不等式    2 22 2 0   f t t f t k 恒成立,求 k 的范围. 【解析】 (1)∵ ( )f x 为 R 上的奇函数,∴ (0) 0f  , 1b  . 又 ,得 1a  . 经检验 1 1a b , 符合题意. (2)任取 1 2x x R, ,且 1 2x x ,则 1 2 1 2 2 1 1 2 1 21 2 1 2 1 2 (1 2 )(2 1) (1 2 )(2 1)( ) ( ) 2 1 2 1 (2 1)(2 1) x x x x x x x x x xf x f x              高二数学试卷 第 10 页 共 10 页 2 1 1 2 2(2 2 ) (2 1)(2 +1) x x x x   . ∵ 1 2x x ,∴ 1 22 2 0x x  ,又∴ 1 2(2 1)(2 1) 0x x   , ∴ 1 2( ) ( ) 0f x f x  ,∴ ( )f x 为 R 上的减函数 (3)∵ t R ,不等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    恒成立, ∴ 2 2( 2 ) (2 )f t t f t k    , ∴ ( )f x 为奇函数,∴ 2 2( 2 ) ( 2 )f t t f k t   , ∴ ( )f x 为减函数,∴ 2 22 2t t k t   . 即 23 2k t t  恒成立,而 2 21 1 13 2 3( )3 3 3t t t      , ∴ 1 3k  