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- 2021-06-15 发布
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高二数学试卷 第 1 页 共 10 页
2020~2021 学年第一学期期初考试试题答案
高三数学
命题人:
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 1,2,3,4U ,集合 1,3 , 4S T ,则 C S T 等于( )
A. 2,4 B. 4 C. D. 1,3,4
【答案】A
2 . 在 ABC 中 , E 为 AC 上 一 点 , 3
AC AE , P 为 BE 上 任 一 点 , 若
( 0, 0)
AP mAB nAC m n ,则 3 1
m n
的最小值是( )
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】D
3.已知 Ra ,则“ 1a ”是“
1 1a
”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】A
4.设
,0 1
2 1 , 1
x xf x
x x
,若 1f a f a ,则 1f a
( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】C
5.已知函数 2( ) ln( 1)f x x x
,则函数 ( 1) y f x 的图象大致为( )
高二数学试卷 第 2 页 共 10 页
A. B.
C. D.
【答案】A
6.函数 2 , ( , ]1
xy x m nx
的最小值为 0,则 m 的取值范围是( )
A.(1,2) B.(-1,2)
C.[1,2) D.[-1,2)
【答案】D
7.设函数 2
1ln 1 1f x x x
,则使 2 1f x f x 成立的 x 的取值范围是( )
A. 1 ,13
B. 1, 1,3
C. 1 1,3 3
D. 1 1, ,3 3
【答案】A
8.若直角坐标平面内 A 、B 两点满足:①点 A 、B 都在函数 ( )f x 的图象上;②点 A 、B
关于原点对称,则称点 ( )A B, 是函数 ( )f x 的一个“姊妹点对”.点对 ( )A B, 与 ( )B A, 可看
高二数学试卷 第 3 页 共 10 页
作是同一个“姊妹点对”,已知函数
2 2 0
( ) 2 0x
x x x
f x
xe
,则 ( )f x 的“姊妹点对”有( )
A. 0 个 B.1个 C. 2 个 D.3 个
【答案】C
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多
项符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分。
9.下列命题正确的是( )
A.若随机变量 ~ 100,X B p ,且 20E X ,则 1 1 52D X
B.已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数,且在[0, ) 上单调递减 1 0f ,则不等式
2log 0f x 的解集为 1 ,22
C.已知 xR ,则“ 0x ”是“ 1 1x ”的充分不必要条件
D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关,由最小二乘法求得其回归直线
方程为 ˆ 0.3y x m ,若样本中心点为 , 2.8m ,则 4m
【答案】BD
10.设 a ,b , c 为实数且 a b ,则下列不等式一定成立的是( )
A. 1 1
a b
B. 2020 1a b
C. ln lna b D. 2 21 1a c b c
【答案】BD
11.关于函数 1 2( ) 1 1xf x x e
下列结论正确的是( )
A.图像关于 y 轴对称 B.图像关于原点对称
C.在 ,0 上单调递增 D. f x 恒大于 0
高二数学试卷 第 4 页 共 10 页
【答案】ACD
12 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 的 图 象 连 续 不 断 , 若 存 在 常 数 ( )t t R , 使 得
( ) ( ) 0f x t tf x 对任意的实数 x 成立,则称 f(x)是回旋函数.
给出下列四个命题中,正确的命题是( )
A.常值函数 ( ) ( 0)f x a a 为回旋函数的充要条件是 t= -1;
B.若 (0 1)xy a a 为回旋函数,则 t>l;
C.函数 2( )f x x 不是回 旋函数;
D.若 f(x)是 t=2 的回旋函数,则 f(x)在[0,4030]上至少有 2015 个零点.
【答案】ACD
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应.....
位置上...。
13.已知 4log 9a , 2log 5b ,则 22 a b __________.
【答案】45
14.已知 a R ,命题“存在 x R ,使 2 3 0 x ax a ”为假命题,则 a 的取值范围为
__________.
【答案】 12,0
15.已知数列 na 的首项为 4 ,且满足 12 1 0n nn a na n N
,则下列命题:
① na
n
是等差数列;② na 是递增数列;③设函数
2
1
1
2
x
n
n
af x x a
,则存在
某个区间 , 1n n n N ,使得 f x 在 , 1n n 上有唯一零点;则其中正确的命题序
号为__________.
【答案】②③
16.已知集合 0 0 1A x x .给定一个函数 ( )y f x ,定义集合
高二数学试卷 第 5 页 共 10 页
1( ),n nA y y f x x A ,若 1n nA A 对任意的 *n N 成立,则称该函数
( )y f x 具有性质“ ”
(I)具有性质“ ”的一个一次函数的解析式可以是_________;
(Ⅱ)给出下列函数:① 1y x
;② 2 1 y x ;③ cos( ) 22
y x ,其中具有性质“ ”
的函数的序号是_________.(本题第一空 2 分,第二空 3 分)
【答案】 1 y x (答案不唯一) ①②
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。请在答题卡指定区域.......内作答。解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 10 分)
已知集合 2| log 3 3A x x , | 2 1 3B x m x m .
(1)若 3m ,则 A B ;
(2)若 A B B ,求实数 m 的取值范围.
【解析】
(1)若 3m ,则 | 5 6B x x ,
依题意 2 2 2| log 3 3 | log 3 log 8A x x x x | 3 5x x ,
故 | 3 6A B x x ;
(2)因为 A B B ,故 B A ;
若 2 1 3m m ,即 4m≥ 时, B ,符合题意;
若 2 1 3m m ,即 4m 时, 2 1 3
3 5
m
m
,
解得 1 2m ;
综上所述,实数 m 的取值范围为 1,2 4, .
高二数学试卷 第 6 页 共 10 页
18.(本小题满分 12 分)
已知 23 6 6f x x a a x .
(1)解关于 a 的不等式 1 0f ;
(2)若不等式 f x b 的解集为 1,3 ,求实数 ,a b 的值.
【解析】
(1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,
∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3,
∴原不等式可化为 a2-6a-3<0,解得 3-2 3 b 的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0 的两根为-1,3,
等价于
61+3= 3
61 3= 3
a a
b
解得 3 3
3
a
b
.
19.(本小题满分 12 分)
设函数 2( ) (ln 1)f x x a x .
(1)当 1a 时,求 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程;
(2)当 2
ea 时,判断函数 ( )f x 在区间 0, 2
a
是否存在零点?并证明.
【解析】
(Ⅰ) f x 的定义域为 0, , 1f x ax
,若 0a ,则 0f x , f x 在 0, 是
高二数学试卷 第 7 页 共 10 页
单调递增;若 0a ,则当 10,x a
时 0f x ,当 1 ,x a
时 0f x ,所以 f x
在 10, a
单调递增,在 1 ,a
单调递减.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知当 0a 时 f x 在 0, 无最大值,当 0a 时 f x 在 1x a
取得最大
值,最大值为 1 1 1ln 1 ln 1.f a a aa a a
因此
1 2 2 ln 1 0f a a aa
.令 ln 1g a a a ,则 g a 在 0, 是增函
数, 1 0g ,于是,当 0 1a 时, 0g a ,当 1a 时 0g a ,因此 a 的取值范围是
0,1 .
20.(本小题满分 12 分)
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色
小镇”.经调研发现:某珍稀水果树的单株产量W (单位:千克)与施用肥料 x (单位:
千克)满足如下关系:
25 3 , 0 2
( ) 50 , 2 51
x x
W x x xx
,肥料成本投入为10x 元,其它成
本投入(如培育管理、施肥等人工费) 20x 元.已知这种水果的市场售价大约为 15 元/
千克,且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为 ( )f x (单位:元).
(Ⅰ)求 ( )f x 的函数关系式;
(Ⅱ)当施用肥料为多少千克时,该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【解析】
(Ⅰ)由已知 15 20 10 15 30f x W x x x W x x
215 5 3 30 ,0 2,
5015 30 , 2 51
x x x
x x xx
275 30 225,0 2,
750 30 , 2 5.1
x x x
x x xx
高二数学试卷 第 8 页 共 10 页
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
2
2 175 222,0 2,75 30 225,0 2, 5=750 30 , 2 5. 25780 30 1 , 2 5.1 1
x xx x x
f x x x x x xx x
当 0 2x 时, max 2 465f x f ;
当 2 5x 时, 25780 30 11f x xx
25780 30 2 1 4801 xx
当且仅当 25 11 xx
时,即 4x 时等号成立.
因为 465 480 ,所以当 4x 时, max 480f x .
∴当施用肥料为 4 千克时,种植该果树获得的最大利润是 480 元.
21.(本小题满分 12 分)
已知 a∈R,函数 f(x)=x2﹣2ax+5.
(1)若 a>1,且函数 f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数 a 的值;
(2)若不等式 x|f(x)﹣x2| 1 对 x∈[ 1
3
, 1
2
]恒成立,求实数 a 的取值范围.
【解析】
(1)∵f(x)的图象开口向上,对称轴为 x=a>1,
∴f(x)在[1,a]上单调递减,
∴f(1)=a,即 6﹣2a=a,解得 a=2..
(2)不等式 x|f(x)﹣x2| 1 对 x∈[ 1
3
, 1
2 ]恒成立,
即 x|2ax﹣5| 1 对 x∈[ 1
3
, 1
2 ]恒成立,
故 a 2
5 1
2
x
x
且 a 2
5 1
2
x
x
在 x∈[ 1
3
, 1
2 ]恒成立,
令 g(x)
2
2
5 1 1 1 5 25
2 2 2 8
x
x x
,x∈[ 1
3
, 1
2 ],
高二数学试卷 第 9 页 共 10 页
所以 g(x)max=g( 2
5
) 25
8
,
所以 25
8a .
令 h(x)
2
2
5 1 1 1 5 25
2 2 2 8
x
x x
,x∈[ 1
3
, 1
2 ],
所以 h(x)min=h( 1
2
)=7,
所以 7a .
综上: 25 78 a .
22.(本小题满分 12 分)
已知定义域为 R 的 2
2
x
x
bf x a
函数是奇函数.
(1)求 ,a b 的值;
(2)用定义证明 f x 在 , 上为减函数;
(3)若对于任意 t R ,不等式 2 22 2 0 f t t f t k 恒成立,求 k 的范围.
【解析】
(1)∵ ( )f x 为 R 上的奇函数,∴ (0) 0f , 1b .
又 ,得 1a .
经检验 1 1a b , 符合题意.
(2)任取 1 2x x R, ,且 1 2x x ,则
1 2 1 2 2 1
1 2 1 21 2
1 2 1 2 (1 2 )(2 1) (1 2 )(2 1)( ) ( ) 2 1 2 1 (2 1)(2 1)
x x x x x x
x x x xf x f x
高二数学试卷 第 10 页 共 10 页
2 1
1 2
2(2 2 )
(2 1)(2 +1)
x x
x x
.
∵ 1 2x x ,∴ 1 22 2 0x x ,又∴ 1 2(2 1)(2 1) 0x x ,
∴ 1 2( ) ( ) 0f x f x ,∴ ( )f x 为 R 上的减函数
(3)∵ t R ,不等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k 恒成立,
∴ 2 2( 2 ) (2 )f t t f t k ,
∴ ( )f x 为奇函数,∴ 2 2( 2 ) ( 2 )f t t f k t ,
∴ ( )f x 为减函数,∴ 2 22 2t t k t .
即 23 2k t t 恒成立,而 2 21 1 13 2 3( )3 3 3t t t ,
∴ 1
3k
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