高中数学第三章不等式3-4基本不等式第1课时基本不等式达标检测含解析新人教A版必修5 5页

基本不等式 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．(多选)下列求最值的运算中，运算方法错误的有(　　)‎ A．当x<0时，x＋＝－≤－2· ＝－2，故x<0时的最大值是－2‎ B．当x>1时，x＋≥2 ，当且仅当x＝取等号，解得x＝－1或2，又由x>1，所以取x＝2，故x>1时的最小值为2＋＝4‎ C．由于x2＋＝x2＋4＋－4≥2 －4＝2，故x2＋的最小值是2‎ D．当x，y>0，且x＋4y＝2时，由于2＝x＋4y≥2＝4，所以≤，又＋≥2 ＝≥＝4，故当x，y>0，且x＋4y＝2时，＋的最小值为4‎ 解析：对于A项，根据基本不等式，可判定是正确的；‎ 对于B项，当x>1时，x－1＋＋1≥2 ＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝取等号，即x＝＋1时，最小值为2＋1，所以B项不正确；‎ 对于C项，由于x2＋＝x2＋4＋－4≥2 －4＝2，‎ 当且仅当x2＋4＝，即x2＋4＝3时，此时不成立，所以C项不正确；‎ 对于D项，两次基本不等式的等号成立条件不相同，第一次是x＝4y，第二次是x＝y，所以不正确．‎ 答案：BCD ‎2．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则(　　)‎ A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3‎ - 5 -‎ 解析：因为a2＋b2≥2ab，‎ 所以(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，‎ 即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，‎ 所以a2＋b2≥2.‎ 答案：C ‎3．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则(　　)‎ A.＞ B.＜ C.＝ D.≤ 解析：因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d＞0且不相等，所以b＋c＞2，故＞.‎ 答案：A ‎4．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　)‎ A．a2＋b2≥2|ab|‎ B．a2＋b2＝2|ab|‎ C．a2＋b2≤2|ab|‎ D．a2＋b2＞2|ab|‎ 解析：因为a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，‎ 所以a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．‎ 答案：A ‎5．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是(　　)‎ A.<< B.≥≥ C.>> D.<< 解析：a>b>0，>，<＝.‎ 从而>>.‎ 答案：C 二、填空题 ‎6．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat____loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．‎ 解析：因为a2＋a－2>0，所以a>1或a<－2(舍)，‎ - 5 -‎ 所以y＝logax是增函数，‎ 又≥，所以loga≥loga＝logat.‎ 答案：≤‎ ‎7．设a>0，b>0，给出下列不等式：‎ ‎①a2＋1>a；②≥4；‎ ‎③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.‎ 其中恒成立的是________(填序号)．‎ 答案：①②③‎ ‎8．若0＜a＜b且a＋b＝1，试判断、a、b、2ab、a2＋b2的大小顺序：_________________________________________________.‎ 解析：因为0＜a＜b，a＋b＝1，‎ 所以a＜＜b，　　　　　①‎ ‎2ab＜a2＋b2，　　　　　　　②‎ 下面寻找②中数值在①中的位置．‎ 因为a2＋b2＞2＝，‎ a2＋b2＝a·a＋b2＜a·b＋b2＝(1－b)b＋b2＝b，‎ 所以＜a2＋b2＜b.‎ 又2ab＜2＝，2ab＞2×a＝a，‎ 所以a＜2ab＜.‎ 所以a＜2ab＜＜a2＋b2＜b.‎ 答案：a＜2ab＜＜a2＋b2＜b 三、解答题 ‎9．已知a，b，c都是非负实数，试比较＋＋与(a＋b＋c)的大小．‎ 解：对，，分别利用不等式2(a2＋b2)≥(a＋b)2，即可比较出二者的大小．‎ 因为a2＋b2≥2ab，‎ - 5 -‎ 所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，‎ 当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 又因为a，b都是非负实数，‎ 所以≥(a＋b)，当且仅当a＝b时，等号成立. ‎ 同理≥(b＋c)，当且仅当b＝c时，等号成立，≥(c＋a)，当且仅当a＝c时，等号成立．‎ 所以＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ 故＋＋≥(a＋b＋c)．‎ ‎10．已知a，b，c为不全相等的正实数，则abc＝1.‎ 求证：＋＋＜＋＋.‎ 证明：因为 a，b，c都是正实数，且abc＝1，‎ 所以＋≥2＝2，‎ ＋≥2＝2，‎ ＋≥2＝2，‎ 以上三个不等式相加，得 ‎2≥2(＋＋)，‎ 因为a，b，c为不全相等实数，‎ 所以＋＋＜＋＋.‎ B级　能力提升 ‎1．(多选)设a，b∈R，则下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．a2＋b2≥2ab B．a＋≥2‎ C．b2＋1≥2b D．||＋||≥2‎ 解析：当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab成立，故A项正确；当a>0时，a＋≥2，等号成立的条件是a＝1，当a<0时，a＋≤－2，等号成立的条件是a＝－1，故B项不正确；当b∈R时，‎ - 5 -‎ b2＋1－2b＝(b－1)2≥0，所以b2＋1≥2b，故C项正确；>0，>0，所以＋≥2 ＝2，等号成立的条件是当且仅当＝，即a2＝b2，故D项正确．‎ 答案：ACD ‎2．有下列不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≥2；④x2＋≥1，其中正确的是________(填序号)．‎ 解析：因为a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以a2＋1≥2a，故①不正确．对于②，当x>0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x<0时，＝－x－≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，所以②正确．对于③，若a＝b＝－1，则＝－2<2，故③不正确．对于④，x2＋＝x2＋1＋－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确．‎ 答案：②④‎ ‎3．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2)＋＋≥1.‎ 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.‎ 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.‎ - 5 -‎