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- 2021-06-15 发布
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5.4.1
正弦函数、余弦函数的图象
必备知识
·
自主学习
1.
正弦曲线
(1)
正弦曲线
正弦函数
y=sin x
,
x∈R
的图象叫正弦曲线
.
(2)
正弦函数图象的画法
①几何法:
(ⅰ)
利用正弦线画出
y=sin x
,
x∈[0
,
2π]
的图象;
(ⅱ)
将图象向左、向右平行移动
(
每次
2π
个单位长度
).
②“
五点法”:
(ⅰ)
画出正弦曲线在
[0
,
2π]
上的图象的五个关键点
(0
,
0)
,
______
,
(π
,
0)
,
_______
,
(2π
,
0)
,用光滑的曲线连接;
(ⅱ)
将所得图象向左、向右平行移动
(
每次
2π
个单位长度
).
(3)
本质:正弦曲线是正弦函数的图形表示,是正弦函数的一种直观表示
.
(4)
应用:根据正弦曲线,能帮助学生更直观地认识正弦函数,进而根据正弦
曲线,推导正弦函数的一些常用性质
.
【
思考
】
在作
y=2+sin x
的图象时,应抓住哪些关键点?
提示:
作正弦函数
y=2+sin x
,
x∈[0
,
2π]
的图象时,起关键作用的点有以
下五个:
(0
,
2)
, ,
(π
,
2)
, ,
(2π
,
2).
2.
余弦曲线
(1)
余弦曲线
余弦函数
y=cos x
,
x∈R
的图象叫余弦曲线
.
(2)
余弦函数图象的画法
①要得到
y=cos x
的图象,只需把
y=sin x
的图象向
___
平移 个单位长度即
可
.
②
用“五点法”画余弦曲线
y=cos x
在
[0
,
2π]
上的图象时,所取的五个关键
点分别为
(0
,
1)
, ,
_________
, ,
_________
,再用光滑的曲线
连接
.
左
(π
,
-1)
(2π
,
1)
【
思考
】
y=cos x(x∈R)
的图象可由
y=sin x(x∈R)
的图象平移得到的原因是什么?
提示:
因为
cos x=sin
,所以
y=sin x(x∈R)
的图象向左平移 个单位
长度可得
y=cos x(x∈R)
的图象
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”,错的打“
×”)
(1)“
五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五
点
.(
)
(2)
余弦函数
y=cos x
的图象与
y=sin x
的图象形状和位置都不一样
.(
)
(3)
函数
y=sin x
与
y=sin(-x)
的图象完全相同
. (
)
提示:
(1)×.
取的五个点的横坐标分别为
0
, ,
π
,
π
,
2π.
(2)×.
函数
y=cos x
的图象与
y=sin x
的图象形状一样,只是位置不同
.
(3)×.
二者图象不同,关于
x
轴对称
.
2.
以下对正弦函数
y=sin x
的图象描述不正确的是
(
)
A.
在
x∈[2kπ
,
2(k+1)π](k∈Z)
上的图象形状相同,只是位置不同
B.
介于直线
y=1
与直线
y=-1
之间
C.
关于
x
轴对称
D.
与
y
轴仅有一个交点
【
解析
】
选
C.
画出
y=sin x
的图象
(
图略
)
,根据图象可知
A
,
B
,
D
三项都正确
.
3.(
教材二次开发:例题改编
)
函数
y=-xcos x
的部分图象是
(
)
【
解析
】
选
D.
因为
y=-xcos x
是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除
A
,
C
项;当
x∈
时,
y=-xcos x<0
,所以排除
B
项
.
关键能力
·
合作学习
类型一 正弦函数、余弦函数图象的初步认识
(
数学抽象
)
【
题组训练
】
1.
用“五点法”作
y=sin 2x
的图象时,首先描出的五个点的横坐标是
(
)
A.0
, ,
π
, ,
2π B.0
, , , ,
π
C.0
,
π
,
2π
,
3π
,
4π D.0
, , , ,
2.
下列图象中,是
y=-sin x
在
[0
,
2π]
上的图象的是
(
)
3.
下列函数图象相同的是
(
)
A.f(x)=sin x
与
g(x)=sin(π+x)
B.f(x)=sin
与
g(x)=sin
C.f(x)=sin x
与
g(x)=sin(-x)
D.f(x)=sin(2π+x)
与
g(x)=sin x
【
解析
】
1.
选
B.
分别令
2x=0
, ,
π
, ,
2π
,可
x=0
, , , ,
π.
2.
选
D.
函数
y=-sin x
的图象与函数
y=sin x
的图象关于
x
轴对称
.
3.
选
D.A
中
g(x)=-sin x
;
B
中
f(x)=-cos x
,
g(x)=cos x
;
C
中
g(x)=-sin x
;
D
中
f(x)=sin x.
【
解题策略
】
利用正弦、余弦函数图象解题
(1)
熟练掌握正余弦函数的图象,必要时用“五点法”作出图象观察
.
(2)
熟练应用诱导公式变形,通过函数解析式的关系确定图象关系
.
(3)
掌握常见的图象变换,如
-f(x)
,
f(-x)
,
f(|x|)
等
.
【
补偿训练
】
函数
y=sin |x|
的图象是
(
)
【
解析
】
选
B.y=sin |x|=
故选
B.
类型二 用“五点法”作三角函数的图象
(
直观想象
)
【
典例
】
用“五点法”作出下列函数的简图
.
(1)y=1-sin x(0≤x≤2
π
)
;
(2)y=2+cos x
,
x∈[0
,
2
π
].
【
思路导引
】
求作三角函数的图象,需要先列表,再描点,最后用平滑曲线连线
.
【
解析
】
(1)①
列表:
②
描点连线,如图所示
.
(2)①
列表:
②
描点连线,如图所示
.
【
解题策略
】
“
五点法”画函数
y=Asin x+b(A≠0)
在
[0
,
2π]
上的简图的步骤
(1)
列表
(2)
描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:
(0
,
y
1
)
, ,
(π
,
y
3
)
, ,
(2π
,
y
5
).
(3)
连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来
.
【
跟踪训练
】
请补充完整下面用“五点法”作出
y=-sin x(0≤x≤2π)
图象的列表
.
①_______
;②
_______
;③
_______.
【
解析
】
用
“
五点法
”
作
y=-sin x(0≤x≤2π)
的图象的五个关键点为
(0
,
0)
, ,
(π
,
0)
, ,
(2π
,
0)
,故①为
π
,②为
0
,③为
1.
答案:
①
π
②
0
③
1
类型三 正弦、余弦函数图象的应用
(
逻辑推理
)
角度
1
零点个数问题
【
典例
】
在同一坐标系中,作函数
y=sin x
和
y=lg x
的图象,根据图象判断出方程
sin x=lg x
的解的个数
.
【
解析
】
建立平面直角坐标系
xOy
,先用五点法画出函数
y=sin x
,
x∈R
的图
象
.
描出点
(1
,
0)
,
(10
,
1)
,并用光滑曲线连接得到
y=lg x
的图象,如图所示
.
由图象可知方程
sin x=lg x
的解有
3
个
.
【
变式探究
】
根据函数图象求方程根的个数问题,是常见的考查模式;将典例中问题改
为:方程
sin x=
的根的个数是
(
)
A.7 B.8 C.9 D.10
【
解析
】
选
A.
在同一坐标系内画出
y=
和
y=sin x
的图象如图所示
.
根据图象可知方程有
7
个根
.
角度
2
利用正、余弦函数的图象解不等式
【
典例
】
在
[0
,
2π]
内,不等式
2sin x-1≥0
的解集为
(
)
A. B.
C. D.
【
思路导引
】
在
[0
,
2π]
上,作出
y=sin x
的图象,再在这个平面直角坐标系
中作出直线
y=
,观察图象,找到满足
sin x≥
的
x
的取值范围
.
【
解析
】
选
D.
因为
2sin x-1≥0
,所以
sin x≥ .
在同一坐标系下,作函数
y=sin x
,
x∈[0
,
2π]
的图象以及直线
y= .
由函数的图象知,
sin =sin π= .
所以根据图象可知,
sin x≥
的解集为
【
解题策略
】
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)
作出正弦函数在
[0
,
2π]
或 的图象,余弦函数在
[0
,
2π]
或
[-π
,
π]
上的图象
.
(2)
写出适合不等式在给定区间上的解集
.
【
题组训练
】
1.
方程
x
2
-cos x=0
的实数解的个数为
(
)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.
使不等式
-2sin x≥0
在
[-π
,
π]
上成立的
x
的取值范围是
(
)
A. B.
C. ∪ D.
3.
在
(0
,
2π)
内,使
sin x>cos x
成立的
x
的取值范围是
_______.
【
解析
】
1.
选
B.
作函数
y=cos x
与
y=x
2
的图象,如图所示,
由图象可知,原方程有两个实数解
.
2.
选
C.
不等式可化为
sin x≤ .
作图,正弦曲线及直线
y=
如图所示
.
又
x∈[-π
,
π]
,结合图象可知
x
的解集为
3.
在同一坐标系中画出
y=sin x
,
x∈(0
,
2π)
与
y=cos x
,
x∈(0
,
2π)
的图
象如图所示,
由图象可观察出当
x∈
时,
sin x>cos x.
答案:
【
补偿训练
】
y=1+sin x
,
x∈[0
,
2π]
的图象与直线
y=
交点的个数是
(
)
A.0 B.1 C.2 D.3
【
解析
】
选
C.
用
“
五点法
”
作出函数
y=1+sin x
,
x∈[0
,
2π]
的图象,作出
直线
y=
的图象如图所示,
由图可知,这两个函数的图象有
2
个交点
.
1.
用“五点法”画函数
y=2-3sin x
的图象时,首先应描出五点的横坐标是
(
)
A.0
, , , ,
π B.0
, ,
π
, ,
2π
C.0
,
π
,
2π
,
3π
,
4π D.0
, , , ,
【
解析
】
选
B.
所描出的五点的横坐标与函数
y=sin x
的五点的横坐标相同,即
0
, ,
π
, ,
2π
,故选
B.
课堂检测
·
素养达标
2.
函数
y=cos x
与函数
y=-cos x
的图象
(
)
A.
关于直线
x=1
对称
B.
关于原点对称
C.
关于
x
轴对称
D.
关于
y
轴对称
【
解析
】
选
C.
由解析式可知
y=cos x
的图象过点
(a
,
b)
,则
y=-cos x
的图象必过点
(a
,
-b)
,由此推断两个函数的图象关于
x
轴对称
.
3.(
教材二次开发:练习改编
)
在同一平面直角坐标系内,函数
y=sin x
,
x∈[0
,
2π]
与
y=sin x
,
x∈[2π
,
4π]
的图象
(
)
A.
重合
B.
形状相同,位置不同
C.
关于
y
轴对称
D.
形状不同,位置不同
【
解析
】
选
B.
根据正弦曲线的作法可知函数
y=sin x
,
x∈[0
,
2π]
与
y=
sin x
,
x∈[2π
,
4π]
的图象只是位置不同,形状相同
.
4.
如图是下列哪个函数的图象
(
)
A.y=1+sin x
,
x∈[0
,
2π]
B.y=1+2sin x
,
x∈[0
,
2π]
C.y=1-sin x
,
x∈[0
,
2π]
D.y=1-2sin x
,
x∈[0
,
2π]
【
解析
】
选
C.
把 这一点代入选项检验,即可排除
A
、
B
、
D.
5.
在
[0
,
2π]
内,不等式
sin x<-
的解集是
(
)
A.(0
,
π) B.
C. D.
【
解析
】
选
C.
画出
y=sin x
,
x∈[0
,
2π]
的图象如图:
因为
sin =
,所以
sin =-
,
sin =- .
即在
[0
,
2π]
内,满足
sin x=-
的是
x=
或
x= .
可知不等式
sin x<-
的解集是
.
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
正弦函数的图象
几何法
五点法
余弦函数的图象
平移法
五点法
利用五点法作图:(
1
)列表;(
2
)描点;(
3
)画图
正、余弦曲线形状相同,位置不同
直观想象:通过正、余弦函数图象的运用,培养直观想象的核心素养
正弦函数、余
弦函数的图象
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